空间向量基本定理--课件(共25张PPT)

都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
1
= |i|2+ |j|2+ |k|2=3，
4
3
2 √30
3
1
=
√30
.
15
4
=
40
2√10
，|1 |=
9
3
，
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线
平行，可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直
线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；
(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；
(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明:MF∥B1C.
这三个空间向量是不共面的，那么这个三维立体图与这三个
空间向量有什么关系呢?
事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.
激趣诱思
知识点拨
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，
存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的 ，， 叫做空间的一个基底，a，b，c
3.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非
零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在三棱柱ABC-A1B1C1中，可以作为空间向量一个基底的是(
A., , 1 1
C., , 1
答案:C
)
B., 1 , 1
D.1 , , 1 1
是(
)
A.，，
C.1 1 ，1 1 ，1
B.，1 ，1
D.1 ，1 ，1
答案:C
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底.
探究一
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2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若点 F 是侧面 CC1D1D 的中
探究一
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当堂检测
(1)证明:设=i， =j，1 =k，
则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.
1
1
1 1 1
所以 = + =-2k+2 ( + )=2i+2j-2k，1 = 1 +
=-i-k，

1
1
1
1
所以 ·1 = + - ·(-i-k)=- |i|2+ |k|2=0，所以 EF⊥
1
1
1
3
1
)=-2b+2(a+c-2b)=2a-2b+2c.
谢 谢
底，给出下列向量组:①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，
④{x，y，a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(
)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且=e1+2e2-e3，
=-3e1+e2+2e3，=e1+e2-e3，试判断{，，}能否作为
一个基底，则A，B，M，N共面.(
)
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得
xa+yb+zc=0，则有x=y=z=0.(
)
答案: (1)×
(2)√
(3)√
(4)√
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基底的判断
例1(1)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间的一个基
探究一
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4.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 中点，若
=a，=b，=c，则=
.
1
3
1
2
2
2
1
答案: a- b+ c
1
1
1
解析: = 2 ( + )=2(-b+ + )=-2b+2 ( − + −
探究二
探究三
当堂检测
3.下列说法正确的是(
)
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
答案:C
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，
空间基底有无数个；D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C.
当堂检测
反思感悟用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中，任一向量都可以用一个基底表示，且只要基底确定，
则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减
法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，
逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量
算进行拆分→直至向量用a，b，c表示
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解:连接 BO，
1
1
1
1 1
1
则 = 2 = 2 ( + )=2(c-b-a)=-2a-2b+2c.
1
1
1
1
= + = + 2 = + 2 ( + )=-a-2b+2c.
1
= + = + + 2 ( + )
或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行
六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的
向量作为基底.
探究一
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当堂检测
变式训练 2 已知空间四边形 OABC 中，=a，=b，=c，点
M 在 OA 上，且 OM=2MA，N 为 BC 中点，则等于(
)
例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD
的中点，点G在棱CD上，且CG=
1
CD.
3
(1)证明:EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
思路分析选择一个空间基底，将，1 ，1 用基向量表示.(1)
证明 ·1 =0 即可；(2)求与1 夹角的余弦值即可.
空间向量基本定理
核心素养
1.掌握空间向量基本定理.(数学抽
象)
2.了解空间向量正交分解的含义.(数
学抽象)
3.会用空间向量基本定理解决有关
问题.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
我们所在的教室是一个立体图形，即是一个三维立体图，如
果以教室的一个墙角为坐标原点，沿着三条墙缝作射线可以得到
三个空间向量.
心，且 = +m-n1 ，则 m，n 的值分别为(
)
1
1
A.2，-2
1
1
C.-2 ， 2
1
1
B.-2，-2
1
1
D.2 ， 2
答案:A
1
1
2
2
解析:因为 = + = + ( + 1 )= + +
1
2
1
1
2
2
1 ，所以 m= ，n=- .
探究一
所以，， 不共面.
所以{，， }能作为空间的一个基底.
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当堂检测
反思感悟判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成
基底；若不共面，则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在
一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
a+b=λ(b+c)+μ(c+a)，即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面.
1 = ,
∴ 1 = ,
此方程组无解.
0 = + ,
即不存在实数λ，μ，使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a)，
∴a+b，b+c，c+a不共面.
故{a+b，b+c，c+a}能作为空间的一个基底.
空间的一个基底.
探究一
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当堂检测
(1) 答案: C
解析:如图所示，令 a=，b=1 ，c=，
则 x=1 ，y=1 ，
z=，a+b+c=1 .
由于 A，B1，C，D1 四点不共面，可知向量 x，y，z 也不共面，
同理 b，c，z 和 x，y，a+b+c 也不共面，故选 C.
2
2 2
2
2
B1C.
1 1 1
1
(2)解: = 2i+2j-2k，1 = 1 + =-k-3j，
1
| |2=
2
1
1
2
2
+ -
2
1
1
4
1
| |=√3，|1 |2= -- 3
2
4
1
4
=|k|2+9|j|2=4+9
·
∴cos< ，1 >=| |·|1 |
1
1
1
=-a+c+2(-c+b)=-a+2b+2c.
1
1
1
= 2 = 2 = 2a.
探究一
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当堂检测
延伸探究若本例条件不变，试用 a，b，c 表示向量.
1
1
1
2
2
2
解: = + = + ( + )= a+ b-c.
探究一
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(2)解:设=x+y ，则 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)，
即 e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3，
-3 = 1，
∴ + = 2，此方程组无解.
2- = -1，
即不存在实数 x，y，使得=x+y ，
探究一
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当堂检测
用基底表示空间向量
例2
如图所示,四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设
=a,=b,=c,点 E,F 分别是 PC,PB 的中点,试用 a,b,c 表
示: , , , .
思路分析利用图形寻找待求向量与a，b，c的关系→利用向量运
②假设a=λb+μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，
若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基
底.
探究一
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当堂检测
变式训练1若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a+b，b+c，
c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b，b+c，c+a共面，则存在实数λ，μ，使得
解:设=i， =j，1 =k，
则1 = 1 + =-i-k，
= − =
所以 MF∥B1C.
1
2
1
1
2
2
- −
1
1 1
1
1
2
2 2
2
2
+ =- i- k= (-i-k)= 1 ，
探究一
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探究三
当堂检测
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的
分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，
同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关联的不同概念.