高等流体力学(粘性流体力学部分)课件
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及变形率的关系式代入公式，
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
（3）当没有变形时，各切应力分量都等于零，法向应力
简化成体积平均应力 则
xx C11 xx C12 yy C13 zz C14 xy C15 xz C16 yz C17
yy C21 xx C22 yy C23 zz C24 xy C25 xz C26 yz C27
yz C 61 xx C 62 yy C 63 zz C 64 xy C 65 xz C 66 yz C 67
利用流体各向同性的性质，将未知的系数减少到5个。 公式成为：
xx C11 xx C12 yy C12 zz C17
yy C12 xx C11 yy C12 zz C27
x z l 2l 3 xx m 2m 3 yy n 2n 3 zz
' '
l m
2
' '
3
l 3m 2 xy l 2n 3 l 3n 2 xz m 2n 3 m 3n 2 yz
y z l 1l 3 xx m1m 3 yy n 1n 3 zz
对牛顿流体，应用牛顿内摩擦定律：
xy
得 则
dux 1 u (C11 C12 ) 2 y dy
(C11 c12 ) 2
xx 2 xx C12 ( xx yy zz )
yy 2 yy C12 ( xx yy zz )
本构方程（Constitutive equations），联系应力与应变的关系式 表征了物体的力学特性。 一、变形率的坐标变换 设坐标系x , y , z转了一个角度，成为x′，y′，z′ 两个坐标系的方向余弦之间的关系可表示如下，
x
x′ l1
y
m1
z
n1
y′
z′
l2
l3
m2
m3
n2
n3
已知x,y,z坐标系的应力分量，则任意斜面N的法向应力可以写为，
uz ' l3ux m3uy n3uz
则，
ux ' ux uy uz l1 m1 n1 x x x x
பைடு நூலகம்
ux ' ux uy uz l1 m1 n1 y y y y
ux ' ux ux uz l1 m1 n1 z z z z
(3C12 2 )( xx yy zz ) 3
因
3 xx yy xx
则
3C12 2 0
C12
2 3
—Stokes假设 —第二粘滞系数
第一粘滞系数 是在剪切变形中表现出来的一种物性，
第二粘滞系数
是在体积变形中表现出来的一种物性。
x l 1 x m1y n 1z y l 2 x m 2y n 2 z z l 3 x m 3y n 3 z
流速分量u′，v′，w′可以表示为
ux ' l1ux m1uy n1uz
ux ' l2ux m2uy n2uz
2 2 z 'z ' xxl32 yy m3 zz n3 2 xyl3 m3 2 yz m3 n3 2 xzl3 n3
相应的切应力分量 ，
x y zz l 2 xy m2 xz m2 l1 yz l 2 yy m2 xz n2 m1
yy p 2u(0) p
zz p 2u(4 yz) p 8yz
在已给点（2,1,1），法向应力为
xx 10300 8(103 )(1)(1) 10299 .992N m2
yy 10300 N m2 zz 10300 8(103 )(1)(1) 10300 .008N m2 v u x y (0 4xz ) 4 xz 切应力为： xy
x'x' xxl12 yy m12 zz n12 2 xyl1m1 2 yz m1n1 2 xzl1n1
2 2 2 y' y' xxl2 yy m2 zz n2 2 xyl2 m2 2 yz m2 n2 2 xzl2 n2
zz 2 zz C12 ( xx yy zz )
xy 2 xy
xz 2 xz
yz 2 yz
把上式中各法向应力相加，得
xx yy zz 3C12 ( xx yy zz ) 2 ( xx yy zz ) 3
zz l 2 zy m2 zxz n2 n1
' '
' '
z z xxl3 xy m3 xz m3 l1 yz l3 yy m3 yz n3 m1
zz l3 zy m3 zxz n3 n1
本例题说明,已知流速场、 和p以后，从本构方程即可得任一点处 的各个应力分量。
§3-2 粘性流体的运动方程 在实际液体中分离出一个微分平行六面体，各边 长为dx、dy、dz，其质量为ρdxdydz。作用在六 面体上的表面力每面有三个：一个法向正应力， 两个切应力。法向力都是沿内法线方向。
zz C12 xx C12 yy C11 zz C37
xy (C11 C12 ) xy
xz (C11 C12 ) xz
yz (C11 C12 ) yz
5个系数是C11,C12,C17,C27,C37。 根据第三个前提。当变形率等于零时， xx yy zz 则，C17 C27 C37 剩下两个系数C11和C12待定。
w v 2 yz ( 2 z 2z ) y z w u xz (0 4xy ) x z 在已给点的切应力为
xy 103 4(2)(1) 8 103 N m2 yz 103 (2 2) 0 xz 103 (4 2 1) 8 103 N m 2
l m
1
3
l 3m1 xy l 1n 3 l 3n 1 xz m1n 3 m 3n 1 yz
用注标符号表示，以上各式可用一个公式表示，即
' km ij kj mi
二、 牛顿流体的本构方程
牛顿流体的本构方程是建立在下列三个前提的基础之上的： （1）每个应力分量与变形率成线性关系。 （2）流体是各向同性的。
前进
专业：PS图片处理、 抠图、去水印，婚纱 艺术照、儿童宝宝照 片精修美化，轮播海 报设计、LOGO设计、 淘宝店铺装修
主要内容：
质点的应力分析 粘性流体的运动方程
粘性流体运动的基本特性
不可压缩粘性液体流动的无量纲方程组 不可压缩粘性流体的解析解 极慢粘性流体的近似解
前进
结束
§3-1 质点的应力分析
xx
xy
牛顿流体的本构方程
3 x
y
z
z
若动水压强p，
1 p ( xx yy zz ) 3
用张量表示，应力张量可表示为
u i u j 2 u i ij p ij x 3 xi j xi
求x=2m,y=1m,z=1m处的全部应力分量，已知该处压强p=10300N· m-2。 解：从本构方程得法向应力：
2 u v w u xx p 2 3 x y z x 2 u v w u yy p 2 3 y x y z 2 u v w u zz p 2 3 z x y z u v w 4 yz 0 4 yz 0 由已知流速场，得， x y z xx p 2u(4 yz) p 8yz 则法向应力为
又，
ux ' ux ' ux ' ux ' l1 m1 n1 ' x x y z
得：
x x
'
'
'
ux ' ' l12 xx m12 yy n12 zz 2l1m1 xy 2l1n1 xz 2m1n1 yz x
'
2 2 2 同理可得： y y l 2 xx m2 yy n 2 zz 2l 2m2 xy 2l 2n 2 xz 2m2n 2 yz
不可压缩流体的连续方程
ui divu u 0 xi
u j u i 上式可简化为： p ij ij x i x j
例题3.1 牛顿流体的流速场是： u=4xyz , v=z2, w=-2yz2, (m· s-1) 上式中的x,y,z都以m计。流体的粘滞系数 103 Pa s
' '
y z xx l3 xy m3 xz m3 l 2 yz l3 yy m3 yz n3 m2
zz l3 zy m3 zxz n3 n2
' km ij ki mi
质团的变形
x′，y′，z′坐标可以表示为
2 2 z z l32 xx m3 yy n3 zz 2l3 m3 xy 2l3 n3 xz 2m3 n3 yz
' '
同理，
x y l1l 2 xx m1 m2 yy n1 n2 zz
' '
l1m2 l 2 m1 xy l1n2 l 2 n1 xz m1n2 m2 n1 yz
zz C31 xx C32 yy C33 zz C34 xy C35 xz C36 yz C37
xy C41 xx C42 yy C43 zz C44 xy C45 xz C46 yz C47
xz C51 xx C52 yy C53 zz C54 xy C55 xz C56 yz C57
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
（3）当没有变形时，各切应力分量都等于零，法向应力
简化成体积平均应力 则
xx C11 xx C12 yy C13 zz C14 xy C15 xz C16 yz C17
yy C21 xx C22 yy C23 zz C24 xy C25 xz C26 yz C27
yz C 61 xx C 62 yy C 63 zz C 64 xy C 65 xz C 66 yz C 67
利用流体各向同性的性质，将未知的系数减少到5个。 公式成为：
xx C11 xx C12 yy C12 zz C17
yy C12 xx C11 yy C12 zz C27
x z l 2l 3 xx m 2m 3 yy n 2n 3 zz
' '
l m
2
' '
3
l 3m 2 xy l 2n 3 l 3n 2 xz m 2n 3 m 3n 2 yz
y z l 1l 3 xx m1m 3 yy n 1n 3 zz
对牛顿流体，应用牛顿内摩擦定律：
xy
得 则
dux 1 u (C11 C12 ) 2 y dy
(C11 c12 ) 2
xx 2 xx C12 ( xx yy zz )
yy 2 yy C12 ( xx yy zz )
本构方程（Constitutive equations），联系应力与应变的关系式 表征了物体的力学特性。 一、变形率的坐标变换 设坐标系x , y , z转了一个角度，成为x′，y′，z′ 两个坐标系的方向余弦之间的关系可表示如下，
x
x′ l1
y
m1
z
n1
y′
z′
l2
l3
m2
m3
n2
n3
已知x,y,z坐标系的应力分量，则任意斜面N的法向应力可以写为，
uz ' l3ux m3uy n3uz
则，
ux ' ux uy uz l1 m1 n1 x x x x
பைடு நூலகம்
ux ' ux uy uz l1 m1 n1 y y y y
ux ' ux ux uz l1 m1 n1 z z z z
(3C12 2 )( xx yy zz ) 3
因
3 xx yy xx
则
3C12 2 0
C12
2 3
—Stokes假设 —第二粘滞系数
第一粘滞系数 是在剪切变形中表现出来的一种物性，
第二粘滞系数
是在体积变形中表现出来的一种物性。
x l 1 x m1y n 1z y l 2 x m 2y n 2 z z l 3 x m 3y n 3 z
流速分量u′，v′，w′可以表示为
ux ' l1ux m1uy n1uz
ux ' l2ux m2uy n2uz
2 2 z 'z ' xxl32 yy m3 zz n3 2 xyl3 m3 2 yz m3 n3 2 xzl3 n3
相应的切应力分量 ，
x y zz l 2 xy m2 xz m2 l1 yz l 2 yy m2 xz n2 m1
yy p 2u(0) p
zz p 2u(4 yz) p 8yz
在已给点（2,1,1），法向应力为
xx 10300 8(103 )(1)(1) 10299 .992N m2
yy 10300 N m2 zz 10300 8(103 )(1)(1) 10300 .008N m2 v u x y (0 4xz ) 4 xz 切应力为： xy
x'x' xxl12 yy m12 zz n12 2 xyl1m1 2 yz m1n1 2 xzl1n1
2 2 2 y' y' xxl2 yy m2 zz n2 2 xyl2 m2 2 yz m2 n2 2 xzl2 n2
zz 2 zz C12 ( xx yy zz )
xy 2 xy
xz 2 xz
yz 2 yz
把上式中各法向应力相加，得
xx yy zz 3C12 ( xx yy zz ) 2 ( xx yy zz ) 3
zz l 2 zy m2 zxz n2 n1
' '
' '
z z xxl3 xy m3 xz m3 l1 yz l3 yy m3 yz n3 m1
zz l3 zy m3 zxz n3 n1
本例题说明,已知流速场、 和p以后，从本构方程即可得任一点处 的各个应力分量。
§3-2 粘性流体的运动方程 在实际液体中分离出一个微分平行六面体，各边 长为dx、dy、dz，其质量为ρdxdydz。作用在六 面体上的表面力每面有三个：一个法向正应力， 两个切应力。法向力都是沿内法线方向。
zz C12 xx C12 yy C11 zz C37
xy (C11 C12 ) xy
xz (C11 C12 ) xz
yz (C11 C12 ) yz
5个系数是C11,C12,C17,C27,C37。 根据第三个前提。当变形率等于零时， xx yy zz 则，C17 C27 C37 剩下两个系数C11和C12待定。
w v 2 yz ( 2 z 2z ) y z w u xz (0 4xy ) x z 在已给点的切应力为
xy 103 4(2)(1) 8 103 N m2 yz 103 (2 2) 0 xz 103 (4 2 1) 8 103 N m 2
l m
1
3
l 3m1 xy l 1n 3 l 3n 1 xz m1n 3 m 3n 1 yz
用注标符号表示，以上各式可用一个公式表示，即
' km ij kj mi
二、 牛顿流体的本构方程
牛顿流体的本构方程是建立在下列三个前提的基础之上的： （1）每个应力分量与变形率成线性关系。 （2）流体是各向同性的。
前进
专业：PS图片处理、 抠图、去水印，婚纱 艺术照、儿童宝宝照 片精修美化，轮播海 报设计、LOGO设计、 淘宝店铺装修
主要内容：
质点的应力分析 粘性流体的运动方程
粘性流体运动的基本特性
不可压缩粘性液体流动的无量纲方程组 不可压缩粘性流体的解析解 极慢粘性流体的近似解
前进
结束
§3-1 质点的应力分析
xx
xy
牛顿流体的本构方程
3 x
y
z
z
若动水压强p，
1 p ( xx yy zz ) 3
用张量表示，应力张量可表示为
u i u j 2 u i ij p ij x 3 xi j xi
求x=2m,y=1m,z=1m处的全部应力分量，已知该处压强p=10300N· m-2。 解：从本构方程得法向应力：
2 u v w u xx p 2 3 x y z x 2 u v w u yy p 2 3 y x y z 2 u v w u zz p 2 3 z x y z u v w 4 yz 0 4 yz 0 由已知流速场，得， x y z xx p 2u(4 yz) p 8yz 则法向应力为
又，
ux ' ux ' ux ' ux ' l1 m1 n1 ' x x y z
得：
x x
'
'
'
ux ' ' l12 xx m12 yy n12 zz 2l1m1 xy 2l1n1 xz 2m1n1 yz x
'
2 2 2 同理可得： y y l 2 xx m2 yy n 2 zz 2l 2m2 xy 2l 2n 2 xz 2m2n 2 yz
不可压缩流体的连续方程
ui divu u 0 xi
u j u i 上式可简化为： p ij ij x i x j
例题3.1 牛顿流体的流速场是： u=4xyz , v=z2, w=-2yz2, (m· s-1) 上式中的x,y,z都以m计。流体的粘滞系数 103 Pa s
' '
y z xx l3 xy m3 xz m3 l 2 yz l3 yy m3 yz n3 m2
zz l3 zy m3 zxz n3 n2
' km ij ki mi
质团的变形
x′，y′，z′坐标可以表示为
2 2 z z l32 xx m3 yy n3 zz 2l3 m3 xy 2l3 n3 xz 2m3 n3 yz
' '
同理，
x y l1l 2 xx m1 m2 yy n1 n2 zz
' '
l1m2 l 2 m1 xy l1n2 l 2 n1 xz m1n2 m2 n1 yz
zz C31 xx C32 yy C33 zz C34 xy C35 xz C36 yz C37
xy C41 xx C42 yy C43 zz C44 xy C45 xz C46 yz C47
xz C51 xx C52 yy C53 zz C54 xy C55 xz C56 yz C57