2020-2021学年河北省石家庄市第一中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年河北省石家庄市第一中学高一上学期第一次
月考数学试题
一、单选题
1．设全集I ＝{0，1，2，3}，∁I M ＝{0，2}，则M ＝（ ） A ．{3} B ．{1，3}
C ．{2，3}
D ．∅
【答案】B
【分析】根据补集的概念，可得集合M
【详解】由题可知：全集I ＝{0，1，2，3}，∁I M ＝{0，2} 所以M={1，3} 故选：B
【点睛】本题考查补集的运算，属基础题.
2．已知R 是实数集，集合{|314}A x x =-<-<，{|10}B x x =->，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{|2}x x <-
B ．{|21}x x -<<
C ．{|2x x ≤-或5}
x
D ．{|2}x x ≤-
【答案】D
【分析】由已知求集合A 、B ，根据图示阴影部分为R
A B ⋂，结合集合的交补运算求
集合即可.
【详解】由题意知：{|25}A x x =-<<，{|1}B x x =<， 根据韦恩图知：阴影部分为R
A B ⋂，而
{|2R
A x x =≤-或5}x ，
∴
{|2}R
A B x x ⋂=≤-.
故选：D
3．已知a R ∈，则“1a ≤”是“2a a ≤”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解一元二次不等式2a a ≤，得到01a ≤≤，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得到结果．
【详解】由2a a ≤，解得01a ≤≤， ∴“1a ≤”是“2a a ≤”的必要不充分条件. 故选：B ．
【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
4．设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a 2+3>2a B ．a 2+b 2>0 C ．a 3+b 3≥a 2b+ab 2 D ．a+
1a
≥2 【答案】A
【详解】分析：由题意排除错误选项即可确定正确选项. 详解：当0a
b 时，220a b +=，选项B 错误；
当1a =-，2b =-时，339a b +=-，226a b ab +=-，不满足3322a b a b ab +≥+，选项C 错误； 当1a =-时，1
2a a
+
=-，选项D 错误； 而()
()2
2
32120a a a +-=-+>，故232a a +>恒成立.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查不等式的性质，排除法求解选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．命题：“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是（ ） A ．2,10x R x x ∀∈-+> B ．2,10x R x x ∀∈-+≤ C ．2,10x R x x ∃∈-+> D ．2
,10x R x x ∃∈-+≥
【答案】A
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案.
【详解】命题:p x R ∃∈，210x x -+≤为特称命题，其否定是:x R ∀∈，210x x -+>， 故选：A
6．设集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}|2B x x A x A =∈∈,
，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】先求出集合B ,再确定元素个数.
【详解】因为{}1,0,1,2,3,4A =-,{}|2B x x A x A =∈∈,
, 所以{}0,1,2B =, 所以集合B 中有3个元素, 故选:C.
【点睛】本题考查集合,属于简单题.
7．已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式直接求解即可 【详解】
0,0,236x y x y >>+=，
623x y ∴=+≥=3∴3
02
xy <≤
， 当且仅当23x y =，即3,12x y ==取等号，所以xy 的取值范围为30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
， 故选：B
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥ B ．13a ≥
C ．12a ≥
D ．13a ≤
【答案】C
【分析】根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解
即可得答案． 【详解】
命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题，
即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36
a x x ≥+能成立
设36()f x x x =+，则36()12f x x x =+≥，当且仅当36x x
=，即6x =时，取
等号，即min ()12f x =，12a ∴≥， 故a 的取值范围是12a ≥． 故选：C ．
【点睛】关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键，属于中档题．
二、多选题
9．下列叙述正确的是（ ） A ．集合N 中的最小数是1
B ．{|1}{|1}x x x x >⊆≥
C ．方程2690x x -+=的解集是{3}
D ．{4,3,2}与{3,2,4}是相等的集合
【答案】BCD
【分析】利用自然数集元素的大小判断A ；利用集合的包含关系判断B ；利用方程的解判断C ；利用集合的基本性质判断D.
【详解】对于A ，集合N 中的最小数是0，不是1，故A 错误； 对于B ，{|1}{|1}x x x x >⊆≥满足集合的包含关系，故B 正确；
对于C ，方程2690x x -+=的解为123x x ==，故其解集是{3}，故C 正确； 对于D ，{4,3,2}与{3,2,4}是相同的集合，满足集合的基本性质，故D 正确. 故选：BCD
10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ) A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc ≥ C ．若0a b >>，则()0a b c -> D ．若a b >，则a c b c ->- 【答案】BD
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】对于A ，取21,12a b c d =>==->=-，此时ac bd =，故A 错误；
对于B ，由2c ≥0时，利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知22ac bc ≥，故B 正确；
对于C ，0a b >>，0a b ∴->，当0c ≤时，()0a b c -≤，故错误； 对于D ，由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故D 正确； 故选：BD
【点睛】易错点睛：本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式方向不变，两边乘以同一个负数，不等号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为0．
11．若“2340x x +-<”是“()2
2
2330x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k
可以是（ ） A ．-8 B ．-5
C ．1
D ．4
【答案】ACD
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据题意知(4,1)-(,)(3,)k k -∞⋃++∞，从
而求得k 的取值范围.
【详解】2340x x +-<，解得41x -<<，
()222330x k x k k -+++>即()[(3)]0x k x k --+>，解得x k <或3x k >+，
由题意知(4,1)
-(,)(3,)k k -∞⋃++∞，所以1k 或34k +≤-，
即(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞. 故选：ACD
【点睛】本题考查一元二次不等式，根据集合的包含关系求参数，属于基础题. 12．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）
A ．1ab ≤
B ≤
C ．333a b +≥
D ．222a b +≥
【答案】AD
【分析】利用2a b +=≥A ；利用
()2
2=++≤+a b a b 判
断B ；利用3
3
2
2
()()a b a b a ab b +=+-+判断C ；利用()2
222a b a b ab +=+-判断D ；
【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，
对于A ，a b +≥，12
a b
+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；
对于B ，
2
24a b =++=+≤2，当且仅当
1a b ==时取等号，故B 错误；
对于C ，()()2
3
3
2
2
()()()32432a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤+=+-+=++-≥⨯-=⎣⎦
，
当且仅当1a b ==时取等号，故C 错误；
对于D ，结合1ab ≤，()2
222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 正确. 故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查基本不等式的应用，完全平方差公式及三次公式
3322()()a b a b a ab b +=+-+的应用是解题的关键，考查了学生的转化求解问题的能
力，属于中档题.
三、填空题
13．已知集合{|12,}A x x x Z =-≤≤∈，集合{|0}B x x =>，则集合A B 的子集
个数为________． 【答案】4 【分析】先求得A B ，由此求得集合A B 的子集个数.
【详解】
{}{|12,}1,0,1,2A x x x Z =-≤≤∈=-，{}0B x x =>，
{}1,2A B ∴=，共有2个元素，故集合A B 的子集个数为224=个.
故答案为：4
14．若1x >，且1x x +=1
x x
-=__________． 【答案】2-
【分析】计算出2
1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值，由1x >，可得出10x x -<，由此可求得1x x -的值.
【详解】1x >，所以，2
110x x x x
--=<，
22
22
2
2111122444x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，因此，12x x -=-. 故答案为：2-.
15．能够说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题的一个x 值为__________． 【答案】3
【分析】取3x =代入验证即可得到答案. 【详解】因为*3x =∈N ，而3223<， ∴说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题． 故答案为：3
【点睛】本题考查命题与简易逻辑，属于基础题． 16．已知1,0x y ，且
12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为________． 【答案】10
【分析】根据2121x y x y +=-++，先利用基本不等式“1”的代换求12x y -+的最小值，再求结果. 【详解】
1,0x y 且
12
11x y
+=-，
()2(1212121)2559
11x x y x y y x y x y ⎛⎫-∴==++≥+-= ⎪-++-⎝⎭
+-（当且仅当
2(1)21
x y
y x -=-，即4,3x y ==时取等号）， ()min 912x y ∴+=-，()min 210x y +∴=
故答案为：10
【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.
四、解答题
17．已知全集U =R ，集合{|4},{|66}A x x B x x =>=-<<． （Ⅰ）求A B 和A B ；
（Ⅱ）求
U
B ．
【答案】（Ⅰ）{}|46A B x x =<<，{}|6A B x x ⋃=>-；（Ⅱ）{|6
U B x x =≤-或}6x ≥
【分析】根据集合的基本运算求解即可. 【详解】（Ⅰ）
{}|4A x x =>,{}|66B x x =-<<，
{}|46A B x x ∴=<<,{}|6A B x x ⋃=>-
（Ⅱ）U =R ，{}|66B x x =-<<，
{|6U B x x ∴=≤-或}6x ≥
18．已知集合{
}2
|20A x x x =--=，{
}
2
|230B x x ax a =++-=． （Ⅰ）若2a =，求A B ；
（Ⅱ）若()B A B ⊆，且B ≠∅，求实数a 的取值集合．
【答案】（Ⅰ）{}1,2A
B =-；（Ⅱ）{}2
【分析】（Ⅰ）解方程求得集合A ，将2a =代入求得集合B ，再利用集合的并集运算即可；
（Ⅱ）由B ≠∅，求得6a ≥或2a ≤，分类讨论集合B 中有且只有一个元素求得a 的值和集合B 中有两个元素满足即{}1,2B =-，求得a 的值，从而得结果.
【详解】（Ⅰ）{}
{}2|201,2A x x x =--==-，
当2a =时，{}
(){
}
{}2
2
|210|101B x x x x x =++==+==-
{}1,2A B ∴=-
（Ⅱ）
B ≠∅，()2
4230a a ∴∆=--≥，解得：6a ≥或2a ≤
①当2a =或6a =时，集合B 中有且只有一个元素， 当2a =时，{}1B =-，{}1A B ⋂=-，满足()B A B ⊆，符合题意；
当6a =时，{}3B =-，A
B =∅，不满足题意；
②当6a >或2a <时，集合B 中有两个元素，要满足()B A
B ⊆，需{}1,2A B ==-；
则方程()22
3260x a x a +-+-=有两个不相等的实数根11x =-，2
2x =，
由韦达定理得2231
62a a -=⎧⎨-=-⎩
，解得：2a =，此时无解；
综上所述实数a 的取值的集合为{}2.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合运算中的交集和并集运算，及利用集合的包含关系求参数，解题的关键是能够通过交集运算及集合的包含关系分类讨论集合B 的可能结果，从而得到实数a 的取值范围，考查学生的逻辑推理与分类讨论思想，属于中档题. 19．已知a >0，b >0，且2a +b =ab . （1）求ab 的最小值； （2）求a +2b 的最小值. 【答案】（1）8；（2）9. 【分析】（1）变换得到
12
1a b
+=，再利用均值不等式计算得到答案. （2）变换122(2)a b a b a b ⎛⎫
+=++
⎪⎝
⎭，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）因为2a +b =ab ，所以
12
1a b
+=，
a >0，
b >0，故121a b =
+≥1212a b ==，即a =2，b =4时取等号， 所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；
（2）12222(2)559b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
22b a
a b
=，即a =b =3时取等号，所以a +2b 的最小值为9. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换
12
1a b
+=是解题的关键. 20．已知不等式231x +<的解集为集合A ，不等式22(22)20x a x a a -+++≤的解集为集合B ，
（Ⅰ）当2a =-时，求集合B ；
（Ⅱ）设条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}
20B x x =-≤≤；（2）[]
3,2--
【分析】（1）解不等式22(22)20x a x a a -+++≤得{}
2B x a x a =≤≤+，再将
2a =-带入即可得答案；
（2）由（1）得{}
2B x a x a =≤≤+，进一步解绝对值不等式得{}
21A x x =-<<-，
故根据题意得A B ，再根据集合关系求解即可.
【详解】（1）解不等式()()2
2
(22)220x a x a a x a x a -+++=---≤得
2a x a ≤≤+，故{}2B x a x a =≤≤+，
所以当2a =-时，{}
20B x x =-≤≤， （2）由（1）得{}
2B x a x a =≤≤+，
解不等式231x +<得21x -<<-，故{}
21A x x =-<<-， ∵
q 是p 的必要不充分条，∴ p 是q 的充分不必要条件，
∴ A
B ，故221
a
a -≥⎧⎨+≤-⎩，解得：32a -≤≤-，
实数a 的取值范围是[]
3,2--
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 21．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费
C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是
()(020100
k
C x x k x =
≥+，为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该
村15年共将消耗的电费之和．
（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； （2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）；（2）当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5
万元．
【详解】试题分析：（1）根据题意知，将其代入()(020100
k
C x x k
x =
≥+，为常数）即可求出参数，
即可求出F 关于x 的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值. 试题解析：
（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.
由(0)24100
k
C =
=,得2400k = 所以24001800
150.50.5,0201005F x x x x x =⨯
+=+≥++ （2
）因为1800
0.5(5)0.250.2559.755F x x =
++-≥=+ 当且仅当
1800
0.5(5)5
x x =++,即55x =时取等号 所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．
（2）导数解法：2
1800
0.5(5)
F x ++'-=
，令0F '=得55x = 当55x <时，0F '<，当55x >时，0F '>． 所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．
【解析】导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．
22．命题12:{|22},{|14}p x x x x x x ∀∈-≤≤∃∈≤≤，使2221
12
49
34x x ax a x +++-≥成
立．是否存在实数a ，使命题p 为真命题？如果存在，求出实数a 的取值范围，如果不存在，请说明理由．
【答案】存在，实数a 的取值范围[]4,0-
【分析】构造函数211
1()3f x x ax a =++-，2222
49
()4x g x x +=，由已知条件将问题转换
为()()12min min f x g x ≥，利用基本不等式求()2min g x ，分类讨论求()1min f x ，构造不等式即可得求出实数a 的取值范围.
【详解】存在实数a ，使得命题p 为真命题，理由如下：
命题12:{|22},{|14}p x x x x x x ∀∈-≤≤∃∈≤≤，使2221
12
49
34x x ax a x +++-≥成立，
令211
1()3f x x ax a =++-，2222
49
()4x g x x +=，
则问题转化为12{|22},{|14}x x x x x x ∀∈-≤≤∃∈≤≤，()()12min min f x g x ≥
2
22222499()344x g x x x x +=≥==+当且仅当2294x x =，即23
2
x =时等号成
立，故()2min 3g x =
2111()3f x x ax a =++-，对称轴为12
a
x =-
，开口向上 （1）当4a ≥，即22
a
-
≤-时，函数1()f x 在[]22-,
上单调递增， ()()1min
2733f x f a =-=-≥，解得：4
3
a ≤，此时无解；
（2）当44a -<<，即222a -<-<时，函数1()f x 在2,2a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在
,22a ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
上单调递增， ()22
1min
3342
2a a a
f x f a ⎛⎫==-+-≥ ⎪⎝⎭-，解得：40a -≤≤，即40a
（3）当4a ≤-，即22
a
-
≥时，函数1()f x 在[]22-,
上单调递减， ()()1min 273f x f a ==+≥，解得：4a ≥-，此时4a =-；
综上可知，实数a 的取值范围为：[]4,0-
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ∀∈,[]
2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()12max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈,[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12max max f x g x <； （3）若[]
1,x a b ∃∈,[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈,[]
2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()1f x 的值域是()2g x 值域的子集 ．。