人教课标版高中数学必修2《平面与平面平行的性质》教学设计

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
一、教学目标
（一）核心素养
引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，借助直观图形进行抽象总结，探索平面平行的性质及其证明.学生要能用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述面面平行的性质定理.空间几何元素之间的关系渗透化归与转化的数学思想，要让学生体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法.
（二）学习目标
1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述平面与平面平行的性质定理.
2.能应用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间几何问题.
3.体会直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系的相互转化和类比.
（三）学习重点
1. 平面与平面平行的性质定理及其数学语言；
2. 平面与平面平行的性质定理的应用．
（四）学习难点
1.平面与平面平行的性质定理的抽象概括.
2.平面与平面平行的性质定理的应用．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第66页至第67页，填空：
平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 平面与平面平行的性质定理的应用：可以作为直线和直线平行的判定方法，也可以作为直线和平面平行的判定方法，还可用来作空间中的平行线.
（2）写一写：平面与平面平行的性质定理的符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．预习自测
（1）已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是( )
A．平行B．相交C．异面D．不确定
【答案】A
（2）已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________.
【答案】a⊂β或a∥β
（3）已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
【答案】D
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）空间中平面与平面的位置关系有：
①相交；②平行.
（2）平面与平面平行的判定定理：
①文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.此即平面与平面平行的判定定理.
②符号语言为：a b a b P
a b
αα
αβββ
⊂⊂=⎫
⇒
⎬
⎭
，，
，
.
③图形语言为：
【设计意图】复习空间中平面与平面的位置关系，为进一步探讨平面与平面平行的性质定理做铺垫.平面与平面平行的性质定理建立在平面与平面平行的前提下，所以学生应巩固和掌握平面与平面平行的判定定理.
2．问题探究
探究一结合问题，概括出平面与平面平行的性质定理
活动①归纳提炼定理
观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
（1）平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案：是的．
（2）若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案：不一定，也可能异面．
（3）过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
答案：平行．
由此，我们可以概括出以下性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.此即平面与平面平行的性质定理.
另外，从平面与平面平行的定义，我们也可以得到：如果两个平面平行，则一个平面上的直线平行于另一个平面.
平面与平面平行的性质定理的符号语言为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
平面与平面平行的性质定理的图形语言为：
【设计意图】以长方体作为实例，从具体问题到抽象的数学结论，让学生在经历直观感知、合情推理、探究说理的过程中建构新的知识，再通过类比、联想、应用使建构的知识得以完善. 活动②辨析平面与平面平行的性质定理
（1）若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.此说法正确吗？
答案：正确，因平面α与γ没有公共点．
（2）若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．此说法正确吗？
答案：正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a⊂α或a与α无公共点，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 此说法正确吗？
答案：正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.
因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．
因为a⊂α，所以PQ⊂α.
（4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 此说法正确吗？
答案：错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能．
【设计意图】通过概念辨析，加深对平面与平面平行的性质定理中“交线与交线平行”等关键信息的理解，培养学生空间感觉与逻辑推理能力，突出重点．
探究二平面与平面平行的性质定理的证明
活动①证明平面与平面平行的性质定理
如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证a∥b.
证明∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，
∴a⊂α，b⊂β.
又∵α∥β，
∴a，b没有公共点，
又∵a，b同在平面γ内，∴a∥b.
【设计意图】立足培养学生严谨、认真的学习态度.证明过程中通过“a、b同在平面γ内，a、b 没有公共点”得到a∥b，体现了将空间问题转化成平面问题、将复杂问题转化成简单问题的策略，让学生体会化归转化思想在立体几何中的重要作用.
探究三平面与平面平行的性质定理的应用
●活动①牛刀小试，体会方法
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
【知识点】平面与平面平行的性质定理 【数学思想】化归转化
【解题过程】如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，1.CM CP
MB PB
∴
= ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，
∴B 1M ＝BN ，1,CM DN
MB NB
∴
= ,CP DN
PB NB
∴
= ∴NP ∥CD ∥AB . ∵NP ⊄平面AA 1B 1B ， AB ⊂平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .
∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ， BB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B .
又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . ∵MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .
【思路点拨】由平行线截比例线段定理得线线平行，进一步得面面平行，最终得线面平行.
【答案】见解题过程.
同类训练如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】证明：因为F为AB的中点，
所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，
AD⊂平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，
DD1⊂平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，
又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1⊂平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
【思路点拨】先证面面平行，由其性质可得线面平行.
【答案】见解题过程.
【设计意图】本设计中的例题，也可以构造平行四边形后利用直线与平面平行的判定定理进行证明.但本解答中利用面面平行的性质定理进行证明，更加简洁明了.面面平行的性质定理不仅可以帮助我们得到线线平行，还能得到线面平行，这可以让学生体会到立体几何中线线、线面、面面相互转化的灵活巧妙.
活动②深入探究，总结结论
例2 如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β. 求证AB＝CD.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】因为AB∥CD，所以过AB、CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α∥β，所以BD∥AC.因此，四边形ABDC是平行四边形.
所以AB＝CD.
【思路点拨】由面面平行得线线平行，得四边形ABDC是平行四边形．
【答案】见解题过程.此结论为：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
同类训练如图，平面α∥平面β，平面l∩平面α＝A，求证l与β相交.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】在β上取一点B，过l和B作平面γ，由于γ与α有公共点A，γ与β有公共点B，所以γ与α，β都相交.设γ∩α＝a，γ∩β＝b，因为α∥β，所以a∥b.又因为l、a、b都在平面γ内，且l与a交于点A，所以l与b相交，所以l与β相交.
【思路点拨】由面面平行得线线平行，然后在同一个平面内讨论直线的关系，进而得到线与面的关系．
【答案】见解题过程.此结论为：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．
【设计意图】证明抽象的结论是一个难点.解决问题的关键是要找到所证问题与知识定义、定理之间的联系.事实上，这也是解决所有数学问题的关键.本设计在应用平面与平面平行性质定理的基础上，训练学生寻找问题与知识之间的契合点，同时深刻体会化归转化思维的神奇魅力. 活动③灵活应用，突破思维
例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个
平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】证明：在□A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′.
∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.
同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
【思路点拨】线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线线平行
【答案】见解题过程.
同类训练矩形ABCD的四个顶点在平面α内的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合，求证：A′B′C′D′是平行四边形．
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面α内的射影．∴BB′⊥α，CC′⊥α，∴BB′∥CC′．
∵CC′⊂平面CC′D′D，BB′⊄平面CC′D′D，∴BB′∥平面CC′D′D.
又∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD⊂平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D
∵AB，BB′是平面ABB′A′ 内的两条相交直线，
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D．
又α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D = C′D′，∴A′B′∥C′D′．
同理，B′C′∥A′D′，∴A′B′C′D′是平行四边形．
【思路点拨】线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线线平行
【答案】见解题过程.
【设计意图】通过相似的两个题目对学生进行训练，培养学生仔细观察、分析条件与结论之间的关系，联想所学的知识解决问题.
活动④体验规律，整理方法
例4 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】分类讨论、化归转化
【解题过程】分两种情况：①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，∴EF∥AC，
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β.
同理可证，EF∥平面α.
②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.
∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形.
在AH上取一点G，
使AG∶GH＝CF∶FD，
又∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.
综上，EF∥β.
∵α∥β，EF∥β且EF α，∴EF∥α.
【思路点拨】当四个点在同一平面上时，易得结论；当四个点不在同一平面上时，则需将原问题向同一辅助平面转化.
【答案】见解题过程.
同类训练如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D、D1分别为AC，A1C1上的点. 若平面BC1D∥
平面AB1D1，求AD
DC
的值.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，
所以D1C1＝1
2
A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝1
2
A1C1＝
1
2
AC，所以 1.
AD
DC
.
【思路点拨】连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由辅助平面A1BC1得BC1∥D1O，得D1为线段A1C1的中点，在平行四边形ADC1D1中可得答案.
【答案】1.
【设计意图】利用面面平行的性质定理得到线线平行，关键是要找到辅助平面，化面面平行问题为线线平行问题.本设计引领学生突破面面平行性质定理应用的关键步骤，借助化归转化思想，培养其化复杂问题为简单问题的问题解决能力.
3.课堂总结
知识梳理
（1）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）常用的面面平行的其他几个性质：
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
②夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
（3）要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化：
（三）课后作业
基础型自主突破
1.平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：①a∥b.②a⊥b.③a与b异面.④a与b相交.其中可能出现的情形有( )
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】考查定义
【解题过程】因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，
所以直线a与直线b无公共点.
当直线a与直线b共面时，a∥b；
当直线a与直线b异面时，
a与b所成的角大小可以是90°.
综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形.
【思路点拨】根据面面平行的定义，两直线不可能相交.
【答案】C
2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b
B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】A中α∩β＝a，b⊂α，a、b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，也可能b在平面α或β内；C中a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的性质定理，若加上条件a∩b＝A，则α∥β.所以应选D.
【思路点拨】由面面平行性质定理可得.
【答案】D
3．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已
知AB＝6，
2
,
5
DE
DF
=则AC＝______.
【知识点】平面与平面平行的性质定理【数学思想】化归转化
【解题过程】由题可知
5
615.
2
DE AB AB DF
AC
DF AC DE
=⇒==⨯=
【思路点拨】结合面面平行性质定理和平行线截比例线段定理可得.
【答案】15.
4. 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，
D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】证明：∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB．
∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，
∴EF∥平面SAB．
同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，
∴平面SAB∥平面DEF，
又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.
【思路点拨】要证线面平行，可先证面面平行.
【答案】见解题过程.
5. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】证明：∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝1
2
A1C1＝
1
2
AC，
∴N为AC的中点.
【思路点拨】要证线面平行，可先证面面平行.
【答案】见解题过程.
能力型师生共研
6. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1，因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，
B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.
【思路点拨】先证面面平行，可得线面平行.
【答案】E为AB的中点.
7. 设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个
AB的中点C，求证：所有的动点C均共面.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】证明：如图所示，
A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′，∴CE∥α. C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
【思路点拨】要证线面平行，可先证面面平行.
【答案】见解题过程.
探究型多维突破
8.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①
由EM＝1
2
PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则
BM∥OE，②
又FM∩BM＝M，CE∩OE＝E，OE⊂平面AEC，③由①②③可知，平面BFM∥平面AEC，
又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC.
【思路点拨】线线平行⇒面面平行⇒线面平行. 【答案】见解题过程.
9. 如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝1
2
AP，D为AP的中点，E、
F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②. 求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG.
【知识点】平面与平面平行的性质定理
【数学思想】化归转化
【解题过程】证明：在四棱锥P-ABCD中，E、F分别为PC、PD的中点，∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB.
∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，
∴EF∥平面P AB.
同理EG∥平面P AB.又EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面P AB.
∵AP⊂平面P AB，AP⊄平面EFG，
∴AP∥平面EFG.
【思路点拨】线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行.
【答案】见解题过程.
自助餐
1.已知直线a⊂α，给出以下三个命题：
①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．
其中正确的命题是（）
A．②B．③C．①②D．①③
【知识点】直线与平面平行的性质定理
【数学思想】等价转化
【解题过程】①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相交时候，仍然可以存在直线a⊂α使直线a∥平面β．故错误．③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行于另一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．
故选D．
【思路点拨】逐一排除
【答案】D
2. 设m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m、n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【知识点】直线与平面平行的性质定理
【解题过程】当α∥β 时，因为m、n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．
当m∥β且n∥β 时，m、n⊂α，若m、n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m、n不是两条相交直线，则α与β 可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．
【思路点拨】作图，按充要条件的定义进行判断.
【答案】A.
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行或交于同一点
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行
【知识点】直线与平面平行的性质定理
【数学思想】分类讨论
【解题过程】∵l α，∴l∥α或l与α相交．
(1)若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a、l∥b、l∥c，…
∴a、b、c，…这些交线都平行．
(2)若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a、A∈b、A∈c，…，
∴这些交线交于同一点A.
综上可知A正确．
【思路点拨】分l∥α或l与α相交两种情况讨论.
【答案】A
4．Α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是() ①a∥c,b∥c⇒a∥b；②a∥γ,b∥γ⇒a∥b；③α∥c,β∥c⇒α∥β；
④α∥γ,β∥γ⇒α∥β；⑤α∥c,a∥c⇒α∥a；⑥α∥γ,a∥γ⇒a∥α.
A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D．②③
【知识点】直线与平面平行的性质定理
【数学思想】特殊与一般
【解题过程】由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a、b可以相交，还可以异面；③中α、β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．【思路点拨】逐一排除
【答案】C
5. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
【知识点】直线与平面平行的性质定理 【数学思想】化归转化
【解题过程】连接FH ，∵FH ∥BB 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ， ∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1， 又平面FHN ∩平面EFGH ＝FH ， ∴当M ∈FH 时，MN ⊂平面FHN ， ∴MN ∥平面B 1BDD 1.
【思路点拨】线线平行⇒面面平行⇒线面平行. 【答案】点M 在FH 上.
6．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线M 与α，β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或
24
5
C ．14
D ．20 【知识点】直线与平面平行的性质定理 【数学思想】分类讨论
【解题过程】因为点P 的位置不确定，应分以下三种情况讨论． (1)当点P 在α上方时，如图，
∵P A ∩PB ＝P ，β∩平面PCD ＝CD ，α∩平面PCD ＝AB ， 又α∥β，∴AB ∥CD . .PA PB
PC PD
∴
= 又P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8， ∴PC ＝P A ＋AC ＝15.6816
.155
PB ⨯∴=
=
∴BD ＝PD －PB ＝16248.55
-
=
(2)当点P 在α、β中间时，如图，
∵α∥β，∴AB ∥DC ．∴△P AB ∽△PCD ..PA PB
PC PD
∴= ∵AC ＝9，P A ＝6，∴PC ＝3. 又PD ＝8，68
16.3
PD PA PB PC ⨯∴=== ∴BD ＝8＋16＝24.
(3)当点P 在β下方时，由P A <AC 知不可能．∴BD 的长为
24
5
或24. 【思路点拨】分点P 在α上方、点P 在α、β中间、点P 在β下方三种情况讨论. 【答案】B。