2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题06函数的奇偶性与周期性(题型专练)含解析

1．函数f(x)＝lg|sin x|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．
【答案】C
2．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
【解析】当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x) (1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
【答案】B
3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)( )
A．既是周期函数，又是奇函数
B．既是周期函数，又是偶函数
C．不是周期函数，但是奇函数
D．不是周期函数，但是偶函数
【答案】B
4．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A．1 B．4
C．3 D．2
【解析】由f(2)＝0，得f(5)＝0.
∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.
∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0.
f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.
故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．
【答案】B
5．已知函数f (x )＝x 2＋(b －4－a 2
)x ＋2a －b 是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是( )
A ．－4
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】由f (x )为偶函数，可知f (－x )＝f (x )，∴b ＝4－a 2
，∴f (x )＝x 2
＋2a －4－a 2
，令
g (a )＝2a －4－a 2，问题转化为求g (a )的最大值．在坐标系中画函数y ＝2a ，y ＝－4－a 2的图象
如图．
易知当a ＝2时，g (a )取最大值，g (a )max ＝g (2)＝4，选D. 【答案】D
6．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝2，则f (2 015)的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．±2
【答案】A
7．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，53
C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，＋∞
【答案】A
8．已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2
＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )
A.9
4 B ．2 C.34 D.14
【解析】设x >0，则－x <0.
∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2
＋3x －2.在[1,3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；
当x ＝3时，f (x )min ＝－2，∴m ≥14且n ≤－2，故m －n ≥9
4
.
【答案】A
9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
＋2x ，若f (2－a 2
)> f (a )，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2
＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示．
结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2
)>f (a )， 得 2－a 2
>a ，即－2<a <1. 【答案】C
10．已知x ∈(0,1)时，函数f (x )＝1＋2x
2
2x 1－x 2
的最小值为b ，若定义在R 上的函数g (x )满足：对任意m ，n ，有g (m ＋n )＝g (m )＋g (n )＋b ，则下列结论正确的是( )
A ．g (x )－1是奇函数
B ．g (x )＋1是奇函数
C ．g (x )－3是奇函数
D ．g (x )＋3是奇函数
＋3，即－[3＋g (x )]＝g (－x )＋ 3.
令h (x )＝g (x )＋3，则h (－x )＝－h (x )， 所以g (x )＋3是奇函数．故选D. 【答案】D
11．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2
sin x B ．y ＝x 2
cos x C ．y ＝|ln x |
D ．y ＝2－x
【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。

故选B 。

【答案】B
12．已知f (x )＝ax 2
＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13
B.13
C.12
D ．－12
【解析】∵f (x )＝ax 2
＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1
3。

又f (－x )＝f (x )，
∴b ＝0，∴a ＋b ＝1
3。

故选B 。

【答案】B
13．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
【答案】C
14.已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，e)上是增函数 B.奇函数，且在(0，e)上是减函数 C.偶函数，且在(0，e)上是增函数 D.偶函数，且在(0，e)上是减函数
【解析】f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (x )＝ln(e 2
－x 2
). 又t ＝e 2
－x 2
是偶函数，且在(0，e)上是减函数， ∴f (x )是偶函数，且在(0，e)上是减函数. 【答案】D
15.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2
，则f (2 019)等于( )
A.－2
B.2
C.－98
D.98
【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，
f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，
又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2. 【答案】B
16.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，
g （x ），x <0，则
g [f (－8)]＝
( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
【解析】由题意，得f (－8)＝－f (8)＝－log 3(8＋1)＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝
f (－2)＝－f (2)＝－lo
g 3(2＋1)＝－1.
【答案】B
17.若f (x )＝ln(e 3x
＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 【解析】由于f (－x )＝f (x )， ∴ln(e
－3x
＋1)－ax ＝ln(e 3x
＋1)＋ax ，
化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0， ∴a ＝－3
2.
【答案】－3
2
18.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满
足f (ln t )＋f ⎝
⎛⎭
⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.
【答案】⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 19．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－4x 2
＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝________。

【解析】由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
＋2＝1。

【答案】1
20．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________。

【解析】由f (x )是奇函数知，f (x )的图象如图所示，
∴f (x )>0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。

【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)
21．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝________. 【解析】依题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 【答案】－1
2
22．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶
函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫512的大小关系是________．
【答案】f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫512<f (－1)<f (4) 23．设函数f (x )为定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>0，f (2)＝(a ＋1)(2a －3)，则
a 的取值范围是________．
【解析】∵f (x )是周期为3的奇函数， ∴f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)<0. ∴(a ＋1)(2a －3)<0，
解得－1<a <3
2.
【答案】⎝
⎛⎭⎪⎫－1，32 24．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：
①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．
其中正确的序号是________．
【答案】①②⑤
25．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当
x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求：
(1)f (0)与f (2)的值； (2) f (3)的值；
(3)f (2 013)＋f (－2 014)的值． 解：(1)f (0)＝0，f (2)＝0.
(2)f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.
(3)依题意得，x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数． 因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)． 而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，
f (1)＝lo
g 2(1＋1)＝1，
故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.
26．设函数f (x )＝ka x
－a －x
(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．
(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2
＋2x )＋f (x －4)>0的解集；
(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x
－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．
解：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1
a
>0，
又a >0且a ≠1，∴a >1. ∵k ＝1，∴f (x )＝a x －a －x
，
当a >1时，y ＝a x 和y ＝－a －x
在R 上均为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，
原不等式可化为f (x 2
＋2x )>f (4－x )， ∴x 2
＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，
∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．
27.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－x 成立.
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值.
(1)证明 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，
得f (x ＋3)＝－f (－x )＝f (x )， 因此函数y ＝f (x )是以3为周期的函数.
(2)解 由f (x )是定义在R 上的奇函数，知f (0)＝0， ∴f (3)＝f (0)＝0.
又f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 故f (2)＋f (3)＝－2＋0＝－2.
28.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.
29.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，
所以f (x )是以4为周期的周期函数，
所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，
得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，
即f (1＋x )＝f (1－x ).
故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.
当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×1＝4.。