【高中数学】几何概型

【高中数学】几何概型
一、基础知识
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
古典概型与几何概型的区别与联系
(1)共同点：基本事件都是等可能的；
(2)不同点：古典概型基本事件的个数是有限的，几何概型基本事件的个数是无限的．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
几何概型应用中的关注点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性．
考点一与长度有关的几何概型
[典例](1)(2019·安徽知名示范高中联考)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是()
A.2 3
B.5 8
C.1 3
D.3 8
(2)在区间[0，π]上随机地取一个数x，使sin x＞1
2的概率为()
A.1 3
B.1 2
C.
23
D.
34
[解析](1)该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构
成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P ＝1540＝3
8
，故选D.
(2)结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x ＞1
2的x 由几何概型的概率公式，得P ＝
5π6－π6π－0＝23.[答案](1)D (2)C
[解题技法]
与长度有关的几何概型
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度
试验的全部结果所构成的区域长度
.
(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．
[题组训练]
1．(2019·包头十校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1，3]，则任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率为(
)
A.34
B.13
C.12
D.
14
解析：选C 由f (x )≥0，解得0≤x ≤2，又x ∈[－1,3]，所以f (x 0)≥0的概率为24＝1
2.
2．(2018·合肥一检)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是(
)
A.114
B.112
C.17
D.
16
解析：选D 由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，
即4个小时，所以所求的概率为
424＝1
6
，故选D.
3．已知线段AC ＝16cm ，先截取AB ＝4cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128cm 3的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128，得x 2－12x ＋32＜0，解得4＜x ＜8，因此所求的概率为
8－412
＝1
3.答案：
1
3考点二
与体积有关的几何概型
[典例]
(1)如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长
方体内随机运动，则此动点在三棱锥A ­A 1BD 内的概率为________．
(2)在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
[解析](1)设事件M 为“动点在三棱锥A ­A 1BD 内”，
则P (M )＝V 三棱锥A ­A 1BD
V 长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1＝V 三棱锥A 1­ABD
V 长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1
＝1
3AA 1
·S △ABD V 长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1
＝13AA 1·1
2S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝1
6.
(2)如图，与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V 1
＝12×43π×13＝2π3
.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－
2π
3
，根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23－
2π323
＝1－
π12
.[答案](1)
16
(2)1－
π12
[变透练清]
1.(变结论)在本例(2)中，条件不变，则点P 到正方体的中心的距离小于1的概率为________．
解析：由题意，点P 位于以正方体的中心为球心，以1为半径的球的内部，故所求概率为4
3π×1323
＝π6
.
答案：
π
6
2.(变条件)在本例(2)中，条件变为：一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
解析：到点O 的距离等于1的点构成一个半球面，如图．则点P 到点O 的距离大于1的概率为P ＝
2π－
2π
32π＝23.答案：
2
3
3.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF ­BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为________．
解析：由题图可知V F ­AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝1
2a 3，
所以它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为14a
3
12a 3＝12.答案：
1
2
[解题技法]与体积有关的几何概型问题
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：
P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积
.
求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．[提醒]解决几何概型问题的易错点：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；(2)
利用几何概型的概率公式时忽略事件是否等可能．
考点三与面积有关的几何概型
考法(一)与平面几何结合
[典例]
(1)(2018·烟台高考诊断性测试)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，这是由
五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是(
)
A.14
B.
18C.
38
D.
316
(2)(2019·福州质检)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是________．
[解析]
(1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1,1，2，
两个大等腰直角三角形的边长为2,2,22，即最大正方形的边长为22，则较大等腰直角三角形的边长分别为2，2，2，故所求概率P ＝1－1
2×2＋1＋1＋2×28
＝18.
(2)依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD 的面积为2×2×sin 60°＝2 3.所以该点落在阴影部分的概率P ＝1－π23
＝1－3
6π.
[答案](1)B
(2)1－
3
6
π考法(二)与线性规划结合
[典例]
(2018·洛阳统考)在区间(0,2)内随机取一个实数a x －y ≥0，
≥0，
－a ≤0
的点
(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是(
)A.18
B.14
C.12
D.
34
[解析]作出约束条件2x －y ≥0，
y ≥0，
x －a ≤0
表示的平面区域如图中阴影
部分所示，则阴影部分的面积S ＝1
2×a ×2a ＝a 2＞1，∴1＜a ＜2，根据
几何概型的概率计算公式得所求概率为2－12－0＝1
2
.
[答案]C
[解题技法]
解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域面积，其解题流程为：
[题组训练]
1．(2018·新疆自治区适应性检测)在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于2
3
的概率为()
A.89
B.79
C.49
D.
19
解析：选A 在区间[0,2]中随机取两个数，构成的区域如图
中大正方形，又“这两个数中较大的数大于2
3”为“这两个数都小
于或等于2
3”的对立事件，且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个
数都小于23所构成的平面区域的面积为23×23＝4
9
，
故两个数中较大的数大于23的概率P ＝1－4
94＝8
9
.
2.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1
x ，y ＝－1
x ，y ＝
x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
是(
)A.14
B.18
C.
π4
D.
π8
解析：选A 根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内
随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1
4
，选A.
3．(2019·西安八校联考)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R，y ∈R }中任选一个元素(x ，y )，则满足x ＋y ≥2的概率为________．
解析：如图，先画出圆x 2＋y 2＝4，再画出不等式组
2
＋y 2≤4，＋y ≥2
对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P ＝
S 阴影
S 圆
＝14×4π－1
2×2×24π
＝π－2
4π.
答案：
π－2
4π
[课时跟踪检测]
1．(2018·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x ，若x 满足|x |＜a 的概率为4
5
，则实数a 的值为()
A.12
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D
设集合A ＝{x ||x |＜a }＝(－a ，a )(a ＞0)，若0＜a ≤1，则A ⊆[－4,1]，由几
何概型的概率公式得P (A )＝
a －(－a )1－(－4)＝45，解得a ＝2，不符合题意，若a ＞1，则P (A )＝
1－(－a )
1－(－4)
＝4
5
，解得a ＝3，符合题意，故选D.2.(2018·湖北八校联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，
中国人民银行发行了以此为主题的纪念币．如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是(
)
A.726π
5
mm 2 B.
363π
10mm 2C.
363π
5
mm 2 D.
363π
20
mm 2解析：选B
由该纪念币的直径为22mm ，知半径r ＝11mm ，则该纪念币的面积为πr 2
＝π×112＝121π(mm 2)，∴估计军旗的面积大约是121π×30100＝363π
10
(mm 2)．
3．(2019·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数f (x )＝2x ＋m 满足f (2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为(
)
A.1
6
B.13
C.12
D.
23
解析：选B
∵f (2)＝6，∴22＋m ＝6，解得m ＝2.由f (x )≥4，得2x ＋2≥4，∴x ≥1，而
x ∈[－3,3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f (x )的值不小于4的概率P ＝26＝1
3
.
4.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“
”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A ，点A 落在深色区域内的概
率为1
2
.若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域内的概率为(
)
A.38
B.34
C.37
D.
67
解析：选C 依题意，设题中全等的深色区域的面积为s ，相应的固定的矩形的面积为S ，则有7s S ＝12，即S ＝14s ，因此点B 落在深色区域内的概率为6s 14s ＝3
7
，选C.
5．(2019·沈阳质检)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(
)
A.334π
B.332π
C.12π
D.
14π
解析：选B 如图，在单位圆中作其内接正六边形，
则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12
×6π×1
2
＝33
2π.
6．已知正棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC
＜1
2
V S ­ABC 的概率是()
A.34
B.78
C.12
D.
14
解析：选B 由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足
V P ­ABC ＜1
2
V S ­ABC ，
故使得V P ­ABC ＜1
2
V S ­ABC 的概率P ＝
大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积
＝1＝7
8.
7.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接
AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(
)
A.1
2
B.32
C.13
D.14
解析：选C
当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π
3
，A ′点在A 点左右都可取
得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π
32π＝1
3
.
8.(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几
何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色
部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则(
)
A ．p 1＝p 2
B ．p 1＝p 3
C ．p 2＝p 3
D ．p 1＝p 2＋p 3
解析：选A
法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·＝π
8
AB 2，
以AC 为直径的半圆的面积为12＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为1
2＝
π8
BC 2
，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－1
2
AB ·AC ，
S Ⅱ2＋π8AC 2－12
AB ·＝12AB ·AC .∴S Ⅰ＝S Ⅱ.
由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S Ⅱ
S 总，
∴p 1＝p 2.故选A.
法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝1
2
×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－π×(2)2
2－2
＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2
π＋2，p 3＝π－2π＋2
，
所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.
9．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20cm 2的概率为________．
解析：设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率P ＝10－212
＝2
3.答案：
2
3
10．(2018·开封高三定位考试)已知函数y ＝cos x ，x ∈－π2，π2，则cos x ≤1
2的概率是
________．
解析：由cos x ≤12，得π3＋2k π≤x ≤5π3
＋2k π，k ∈Z ，又x ∈－π2，π2，所以满足条件的x ∈－π2，－π3∪π3，π2，故所求概率P
π2－＝13.答案：13
11.如图，正四棱锥S ­ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD
上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
解析：设球的半径为R ，则所求的概率为P ＝V 锥V 球＝13×12×2R ×2R ·R 43
πR 3＝12π
.答案：12π
12．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于
65
的概率是________．解析：设这两个数分别是x ，y
，则总的基本事件构成的区域是≤x ≤1，
≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件≤x ≤1，
≤y ≤1，
＋y <6
5确定的平面区
域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725
.答案：1725
13．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的
概率是12
.(1)求n 的值．
(2)
从袋子中不放回地随机抽取
2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .
①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．
解：(1)依题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为n n ＋2＝12
，得n ＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a ，b )所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a ＋b ≤3
的结果有8种，故P (A )＝812＝23
.②由①可知，(a －b )2≤4，故x 2＋y 2＞4，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{x ，y |0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，
由几何概型得概率为P ＝22－14π·2222＝1－π4.。