成人高考专升本高等数学(一)试题及答案

普通高校专升本《高等数学》试卷
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）
1. 曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0
1e 2
y t t
t x y
在 0=t 处的切线方程
为 .
2. 已知 )(x f 在 ),(∞+-∞ 内连续 , 1)0(=f , 设 ⎰=
2
sin d )()(x x
t t f x F , 则
)0(F '= . 3. 设 ∑ 为球面 2
2
2
2
a z y x =++ (0>a ) 的外侧 , 则
⎰⎰∑
++y x z x z y z y x d d d d d d 3
33 = . 4. 幂级数 ∑∞
=-+-1
)1(3)2(n n n
n x n 的收敛域为 . 5. 已知 n 阶方阵 A 满足 022
=++E A A , 其中 E 是 n 阶单位阵, k 为任意实数 ， 则1)(--kE A
= .
6. 已知矩阵 A 相似于矩阵 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-100011211 , 则 =+*
E A .
7. 已知 6.0)(,2.0)(==B A P B P , 则 )|(B A P = . 8. 设 )(x f ξ 是随机变量 ξ 的概率密度函数 , 则随机变量
ξη= 的概率密度函数
)(y f η= .
二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
1. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++∞→n n n n n n πππsin 2sin sin 1lim
= ( ). (A ) 2
(B )
2
1
(C )
2
π
(D )
π
2 2. 微分方程0d )2(d )2(=-+-y x y x y x 的通解为 ( ). （C 为任意常数） (A ) C y xy x =++22 (B ) C y xy x =+-2
2 (C ) C y xy x =+-2
2
32 (D ) C y xy x =++2
2
32
3. x x n x x x x n
n d e !)1(!3!2!1121
032⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-++-+- = ( ) .
(A ) 1e - (B ) e
(C )
)1(e 3
13
-
(D )1e 3
-
4. 曲面 z y x =+2
2
,42
2
=+y x 与 x O y 面所围成的立体体积为 ( ).
(A ) π2
(B ) π4
(C ) π6
(D ) π8
5. 投篮比赛中,每位投手投篮三次, 至少投中一次则可获奖.某投手第一次投中的概率为 2
1
; 若第一次未投中, 第二次投中的概率为
107 ; 若第一, 第二次均未投中, 第三次投中的概率为 10
9 ， 则该投手未获奖的概率为 ( ). (A ) 200
1
(B )
200
2
(C )
200
3
(D )
200
4
6． 设 k ααα,,,21 是 k 个 m 维向量 ， 则命题 “ k ααα,,,21 线性无关 ” 与命题 （ ） 不等价 。

（A ） 对
01
=∑=k
i i
i c α
， 则必有 021====k c c c ；
（B ） 在 k ααα,,,21 中没有零向量 ；
（C ） 对任意一组不全为零的数 k c c c ,,21 ， 必有
01
≠∑=k
i i
i c α
；
（D ） 向量组中任意向量都不可由其余向量线性表出 。

7. 已知二维随机变量 ),(ηξ 在三角形区域 x y x ≤≤≤≤0,10 上服从均匀分 布, 则其条件概率密度函数 )|(y x f ηξ 是 ( ). (A ).10<<y 时 , ⎩
⎨
⎧≤≤-=其它 ,01
,1)|(|x y y y x f ηξ
(B ).10<<y 时 , ⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-=其它
,010 ,11
)|(|x y y x f ηξ
(C ) 10<<y 时 , ⎩⎨
⎧≤≤-=其它
,010
,1)|(|x y y x f ηξ
(D ) 10<<y 时 , ⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-=其它
,01 ,11
)|(|x y y y x f ηξ
8. 已知二维随机变量 ),(ηξ 的概率分布为:
{}{}{}{}4
1
2,42,41,11,1====-======-==ηξηξηξηξP P P P ,
则下面正确的结论是 ( ).
(A ) ηξ与 是不相关的 (B ) ηξD D =
(C ) ηξ与 是相互独立的
(D ) 存在 ),(,∞+-∞∈b a ，使得 {
}1=+=ηξb a P
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）
1. 计算 x
x
x x a 11lim ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→ , (0>a ,1≠a ).
2. 设直线 L :⎩⎨
⎧=---=++0
350
z y ax b y x 在平面 π 上,而平面 π 与曲面
2
2y x z += 相切于点 )5,2,1(-, 求 a ,b 的值.
3. 计算 x y z z y x y
d d d 11
0114⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ .
4. 设 )(u f 具有二阶导数 , 且 )sin e (y f z x
= 满足等式 z y
z
x z x 2222
2e =∂∂+∂∂ , 若 1)0(=f ,1)0(='f , 求 )(u f 的表达式.
5. 将函数 2
213)(x
x x
x f -+= 展开成 x 的幂级数.
6. 已知矩阵 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=200120012A ， 且 E BA A B A -=*
-**)()(1 , 其中 *A 为 A
的伴随矩阵 , 求矩阵 .B
7. 已知 A 为 6 阶方阵，且 2),,,(621==βββ A , ),,,,(1632ββββ =B , ),,,,(5216ββββ =C , 求 C B + .
8. 已知随机事件 A ,B 满足 4
1
)|(,21)|(,31)(=
==B A P A B P B P , 定义随机变量
⎩⎨⎧-=不发生发生B B ,1 ,1ξ, ⎩
⎨⎧-=不发生发生
A A ,1 ,1η
求 (1) 二维随机变量 ),(ηξ 的联合概率分布 ; (2) }12{≤+ηξP .
9. 设随机变量 10021,,,ξξξ 是相互独立的 , 且均在 )20,0( 上服从均匀分布.令 ∑==
100
1
j j
ξ
ξ , 求
{}1100>ξP 的近似值 。

()9582.0)3(≈Φ
四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）
1.假定足球门宽为 4 米, 在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进(如图) . 问: 他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角 θ ?
2.已知 T
T
)1,0,1,1(,)1,1,0,1(=-=βα ， 且 T
A αβ=, 求方程组 0=x A n
的
通解 .
3.已知随机变量 ηξ, 满足 9)(,4)(,2)(,1)(====ηξηξD D E E ， 且 2
1=ξηρ . 令 2
)4(ηξγa += , 求 a 的值使 )(γE 最小 .
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）
1.设 )(x f 在 ),(∞+-∞ 内连续,且 0)
(lim =∞
→x
x f x , 证明: 总存在一点 ξ , 使 得 ξξ=)(f .
2. 已知 B A , 均为 n 阶方阵 , 且 0≠A 及 B 的每一个列向量均为方程组 0=Ax 的解 , 证明 : 0||=B .。