专题四 平面向量2024届高考数学二轮专题复习课件

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路 （1）先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再 通过向量的运算来解决. （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方 便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
2.向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点 的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相 连向量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路 （1）先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来， 再通过向量的运算来解决. （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带 来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
2.向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共 起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求 首尾相连向量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已 知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
3.【2022 年 新课标Ⅱ卷】已知向量 a (3, 4) ， b (1, 0) ， c a tb ，
C 若 a，c b，c ，则 t ( )
A.-6
B.-5
C.5
D.6
解析：由题意，得 c a tb (3 t, 4) ，所以 a c 3 (3 t) 4 4 25 3t ，
b c 1 (3 t) 0 4 3 t .因为 a，c b，c ，所以 cosa,c cosb,c ，
即 a c b c ，即 25 3t 3 t ，解得 t 5 ，故选 C.
| a || c | | b || c |
5
4.【2023 年 新课标Ⅱ卷】已知向量 a，b 满足| a b | 3 ，| a b || 2a b | ，
专题四 平面向量
1.模块考情分析 2.重难提分技巧 3.模块学习目标 4.高考典例分析 5.变式训练提升
平面向量的概念及运算、平面向量基本定理及坐标运算，在高 考中的考查突出向量的基本运算与工具性，命题重点为平面向量的 线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向量共线的坐 标表示，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度较低，要注重掌 握向量的数与形的特征，同时要掌握用坐标法解决向量问题.
7.解决向量在平面几何中的应用问题的方法 （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可 以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到 解决. （2）基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然 后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.
8.解决向量在物理中的应用问题的策略 （1）力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、 减法，运动的叠加亦用到向量的合成； （2）动量 mv 是数乘向量； （3）功 W 是一个标量，它是力 F 与位移 s 的数量积，即W F s | F || s | cos
2.【2022 年 新课标Ⅰ卷】在△ABC 中，点 D 在边 AB 上， BD 2DA ，
B 记 CA m ， CD n ，则 CB ( )
A. 3m 2n
B. 2m 3n
C. 3m 2n
D. 2m 3n
解析：如图所示，根据平面向量加法的三角形法则，有 CB CA AB ， 而 AB 3AD 3( AC CD) ，所以 CB 2CA 3CD .故选 B.
所以
BM
BN
BC
1 2
BA
BA BC
16 8 20 ，解得 3 ，
4
所以 BN 16 9 5，故选 C.
3.如图，在△ABC 中，E 是 AB 的中点， BD 2DC ， FC 1 AF ， EF 与 AD 交 3
A 于点 M，则 AM ( )
A. 3 AB 3 AC 14 7
7.解决向量在平面几何中的应用问题的方法 （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向 量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而 使问题得到解决. （2）基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出 来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.
8.解决向量在物理中的应用问题的策略 （1）力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解就是向量的加、 减法，运动的叠加亦用到向量的合成； （2）动量 mv 是数乘向量； （3）功 W 是一个标量，它是力 F 与位移 s 的数量积，即W F s | F || s | cos
5.求模的取值范围或最值时常用的技巧 （1）常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用 函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值. （2）要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模 所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值.
6.向量的坐标运算问题的求法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若 已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解题过程 中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
10.平面向量中有关最值（或取值范围）问题的求解思路 （1）“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化 为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的 特征直接进行判断； （2）“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转 化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等 问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
C. 2 AB 8 AC 39
B. 3 AB 3 AC 14 14
D. 3 AB 4 AC 77
解析：在△ABC 中，设 AM AD ， R ，由 BD 2DC ，
可得 AD 1 AB 2 AC ，故 AM AD 1 AB 2 AC .
33
3
3
又 E 是 AB 的中点， FC 1 AF ，所以 AB 2AE ， AC 4 AF ，
1.【2023 年 新课标Ⅰ卷】已知向量 a (1,1) ， b (1, 1) .若 (a b) (a b) ，
D 则( )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
解析：因为 a (1,1) ， b (1, 1) ，所以 a b (1 ,1 ) ， a b (1 ,1 ) ，因为 (a b) (a b) ，所以 (a b) (a b) 0 ， 所以 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0 ，整理得 1 .故选 D.
平面向量的数量积及应用是高考命题的热点，每年必考，主要考查 平面向量的数量积运算，模、夹角问题的求解，平行或垂直问题的求解， 有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查， 主要以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，要掌握运用数形结 合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.
3
3
所以 AM AD 2 AE 8 AF . 由点 E，M，F 三点共线，
3
9
可得 2 8 1，解得 9 ，故 AM 3 AB 3 AC .故选 A.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
39
14
14 7
5 4.已知平面向量 a (1, 2) ， b (x, 3 x) ，若 a b ，则| a 2b | __________.
3 5 5
2.正方形 ABCD 边长为 4，M 为 CD 中点，点 N 在 AD 上， BM BN 20 ，
C 则 BN ( )
A. 5
B. 2 5
C.5
D.10
解析：设 AN AD ，
因为
BM
BC
CM
BC
1 2
BA ，
BN
BA
AN
BA BC ，
因为正方形 ABCD 边长为 4， BA BC 0 ，
3.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧 （1）利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线 段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. （2）利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方程 （组）进行求解.
4.求非零向量a，b的数量积的方法 （1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角. （2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一 组基底（基底中的向量要已知模或夹角），利用平面向量基本定理将 待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定 义求解. （3）坐标法：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含） 正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.
B 1.设向量 a (1, 2) ， b (2, 1) ，则 2a b 与 a 的夹角的余弦值为( )
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 2 5 5
解析：由题意知 2a b (0,3) ，| a | 5 ，a (2a b) 6 ，| 2a b | 3 ， cosa, 2a b 6 2 5 .故选 B.
3 则| b | ___________.
解析：由| a b | 3 ，得 a2 2a b b2 3 ，即 2a b a2 b2 3 ①. 由 a b | 2a b∣，得 a2 2a b b2 4a2 4a b b2 ，整理得 3a2 6a b 0 ，
结合①，得 3a2 3 a2 b2 3 0 ，整理得， b2 3 ，所以| b | 3 .
5.求模的取值范围或最值时常用的技巧 （1）常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数 思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值. （2）要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表 示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值.
6.向量的坐标运算问题的求法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知 有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解题过程中要注意 方程思想的运用及正确使用运算法则.
解析：由题可得 a b x 6 2x 0 ，得 x 2 ， 则 a 2b (5, 0) ，故| a 2b | 5 .
（ 为 F 与 s 的夹角）.
9.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 （l）若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用 向量共线或垂直或等式成立等得到三角函数的关系式，然后求解. （2）若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模， 则解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界 性等解决问题.
10.平面向量中有关最值（或取值范围）问题的求解思路 （1）“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何 中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； （2）“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中 的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、 不等式、方程的有关知识来解决.
3.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧 （1）利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. （2）利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方 程（组）进行求解.
4.求非零向量a，b的数量积的方法 （1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角. （2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基 底（基底中的向量要已知模或夹角），利用平面向量基本定理将待求数 量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解. （3）坐标法：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正 交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.
（ 为 F 与 s 的夹角）.
9.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 （l）若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，则 运用向量共线或垂直或等式成立等得到三角函数的关系式， 然后求解. （2）若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的 模，则解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义 域内的有界性等解决问题.