2024届江苏省镇江市实验高级中学高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷

2024届江苏省镇江市实验高级中学高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，
上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
3．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244
42a b a b
+-+的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．
32
D ．4．已知集合{
}
{}
2
340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )
A ．()1,3-
B ．[]1,3-
C ．[]1,4-
D ．()1,4-
5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2
2a b c =+-，则sin 4C π⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．1
B ．
2
C D 6．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为
A ．
102
B ．5
C ．
52
D ．5
7．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、
x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =
B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =
C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠
D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠
9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
10．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2i C ．1﹣2i
D ．1+2i
11．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
12．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，
e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()
f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫
∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．,2e
⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭
B ．(,)e +∞
C ．[,)e +∞
D ．,2e
⎡⎫
+∞⎪⎢⎪⎣⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在平面四边形
中，
，则
_________
14．边长为2的菱形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 相交于点F ,若60BAD ∠=︒,则BE EF ⋅=______.
15．若双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为______．
16．若0a b +≠，则()
22
2
1
a b a b ++
+的最小值为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2
x ax f x e
=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数）．
（1）求实数a 的值；
（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()()1min ,0g x f x x x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭
，若函数
()()2h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1
,//,22
AD AB AB CD AB AD AP CD ⊥===
=，E 为PC 的中点．
（1）求证：BE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．
19．（12分）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31
sin ,tan 53
A A
B =-=，角
C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.
20．（12分）已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，过C 上一点(1,)P t （0t >）作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点，
（1）证明：直线MN 的斜率是－1；
（2）若8||MF ，||MN ，||NF 成等比数列，求直线MN 的方程. 21．（12分）已知函数2
()(0)x
f x e ax a =->（其中e 2.718=是自然对数的底数）
（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；
（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<； （3）当12a =
时，证明：对于任意11k e
≤+，若1
2b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线x
y e =的交点在y 轴两侧）.
22．（10分）已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上(异于
椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.
（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k . 附：多项式因式分解公式：(
)(
)
6
2
2
42
4
351141t t t t t t ---=+--
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③． 【题目详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；
③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ． 【题目点拨】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 2、C 【解题分析】
分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【题目详解】
（1）当00x y ≥≥，时，2
2
1x y +=-，此时不存在图象；
（2）当00，x y ≥<时，2
2
1-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分；
（3）当00，x y <≥时，2
2
1x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；
（4）当00，x y <<时，22
1x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分； 画出()y f x =的图象，
由图象可得：
对于①，()f x 在()+-∞∞，
上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想. 3、A 【解题分析】
由()()f a f b =推导出1b a =，且01a <<，将所求代数式变形为224424
4222a b a b a b a b
+-+=-
++，利用基本不等式求得2a b +的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值. 【题目详解】
函数()ln f x x =满足()()f a f b =，()()2
2
ln ln a b ∴=，即()()ln ln ln ln 0a b a b -+=，
0a b <<，ln ln a b ∴<，ln ln 0a b ∴+=，即()ln 01ab ab =⇒=，
21ab a ∴=>，则01a <<，
由基本不等式得11
22222
a b a a a a
+=+
≥⋅=12a =时，等号成立.
()()()()22
22244284424
42222222a b ab a b a b a b a b a b a b a b
+--+-+-+===-
++++，
由于函数4
2x y x
=
-在区间)⎡+∞⎣上为增函数，
所以，当2a b +=2244
42a b a b +-+0=.
故选：A. 【题目点拨】
本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题. 4、B 【解题分析】
先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()A B 即可.
【题目详解】
由2340x x -->得4x >或1x <-，
()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4A =-,
又{}
13B x x =-≤≤，[]R
()1,3A B ∴=-.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 5、D 【解题分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【题目详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得222
1sin 22ab C a b c ab =+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=，
∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
∵ 0C π<<， ∴ 56
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， ∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12+=
故选D ． 【题目点拨】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 6、D 【解题分析】
根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【题目详解】
依题意得，2121a PF PF =-=，125F F ==，因此该双曲线的离心率12
21
5F F e PF PF =
=-.
【题目点拨】
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 7、B 【解题分析】
列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【题目详解】
由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；
第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 8、C 【解题分析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【题目详解】
A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；
B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；
C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；
D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【题目点拨】
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题. 9、C 【解题分析】
画出该几何体的直观图P ABCD -，易证平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ，从而可选出答案． 【题目详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ， 作PO ⊥AD 于O ，则有PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，
由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【题目点拨】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 10、D 【解题分析】
两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【题目详解】
i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D. 【题目点拨】
(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-
11、D 【解题分析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 12、D 【解题分析】
先构造函数()()2
12
T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】
构造函数()()2
12
T x f x x =-
， 因为()()2
f x f x x -+=，
所以()()()()()()()2
2211022
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，
当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(]
,0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()01
12x x f x f x x ⎧⎫∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
， 所以()()0001
12
f x f x x +
≥-+， 所以()()()2
20000011111222
T x x T x x x ++≥-+-+，
化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即01
2
x ≤
令()()12x
h x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤
⎪⎝
⎭
， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点
因为当12
x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，
所以函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，10
2<<，
又因为0h e
a e
⎛=-=> ⎝
，
所以要使()h x 在1
2
x ≤时有一个零点，
只需使102h a ⎛⎫=≤
⎪
⎝⎭，解得a ≥
所以a 的取值范围为2⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
，故选D. 【题目点拨】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解题分析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．
【题目详解】 由题意得
，
∴
．
【题目点拨】
突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表
示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷． 14、
14
【解题分析】
取基向量AD ，AB ，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将BE ，EF 表示为基向量后再相乘可得． 【题目详解】 如图：
设(1)AF AD AC λλ=+-，又1111
2224
AE AD AO AD AC =+=+， 且存在实数t 使得AF t AE =，
11
(1)24
AD AC t AD t AC λλ∴+-=+，
∴12114t t
λλ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，
∴2
3
λ=
， ∴213
3
AF AD AC =+，
∴11
612
EF AF AE AD AC =-=+
， ∴111
()()()()4
6
12
BE EF AE AB EF AD DE AB EF AD DB AB AD AC =-=+-=+-+
1111
()()44612
AD AB AD AB AD AC =+
--+ 3311
()()44412AD AB AD AB =-+ 22311
16168
AD AB AB AD =-- 31114422161682
=
⨯-⨯-⨯⨯⨯ 14
=
故答案为：
14
． 【题目点拨】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 15、3y x =± 【解题分析】
利用22
110c b a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,得到,a b 的关系式,然后代入双曲线C 的渐近线方程b y x a =±即可求解. 【题目详解】
因为双曲线C 的离心率为222c
e c a b a
=
==+, 所以222210c a a b ==+,即3b a =, 因为双曲线C 的渐近线方程为b y x a
=±
, 所以双曲线C 的渐近线方程为3y x =±. 故答案为:3y x =± 【题目点拨】
本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.
16 【解题分析】
由基本不等式，可得到2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，然后利用
22
2
22
1()1()2()a b a b a b a b +++≥+≥++，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

【题目详解】
由题意，2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，当且仅当a b =时等号成立，
所以22
2
22
1()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++22()12()a b a b +=+时取等号， 所以当3
42a b -==时，22
2
1
()a b a b +++
【题目点拨】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）01a x ==；（2）31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【解题分析】
试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于
1
e
求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得01a x ==；（2）设()f x 与1x x -
交点的横坐标为0x ，利用导数求得()()0
201
,01min ,{,x x x x x g x f x x x x
x x e
-<≤⎧⎫=-=⎨⎬⎩
⎭>，从而()()20
222
01
,0{
,x
x cx x x x h x g x cx x cx x x e -
-<≤=-=->，然后利用()'0h x ≥求得c 的取值范围为31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦. 试题解析：
（1）对()f x 求导得()()
()2222?··x x
x x x x xe x e f x a a e e --=='． 设直线1
y x e
=
与曲线()y f x =切于点()00,P x y ，则
()00200001
{21
·x x ax x e e x x a e e
=-=，解得01a x ==，
所以a 的值为1．
（2）记函数()()211,0x x F x f x x x x x e x ⎛
⎫=--=-+> ⎪⎝
⎭，下面考察函数()y F x =的符号，
对函数()y F x =求导得()()221
1,0x
x x F x x e x
-=
--
>'． 当2x ≥时，()0F x '<恒成立．
当02x <<时，()()2
2212x x x x +-⎡⎤
-≤=⎢⎥⎣⎦
，
从而()()222221*********x
x x x F x e x e x x x
-=
--
≤--<--=-<'． ∴()0F x '<在()0,∞+上恒成立，故()y F x =在()0,∞+上单调递减．
()()2143
10,202
F F e e =
>=-<，∴()()120F F <， 又曲线()y F x =在[]1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃唯一的()01,2x ∈，使
()00F x =．
∴()()00,,0x x F x ∈>；()0,x x ∈+∞，()0F x <，
∴()()0
2
01
,01min ,{,x x x x x g x f x x x x x x e
-<≤⎧
⎫=-=⎨⎬⎩⎭
>， 从而()()202
2
2
01
,0{
,x x cx x x x
h x g x cx x cx x x e
-
-<≤=-=->， ∴()()
20
1
12,0{22,x
cx x x x
h x x x cx x x e +-<<-->'=，
由函数()()2
h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在()0,∞+上连续不断知()0h x '≥在()00,x ，()0,x +∞上恒成
立．
①当0x x >时，()220x
x x cx e
--≥在()0,x +∞上恒成立，即22x x
c e -≤在()0,x +∞上恒成立， 记()0
2,x x u x x x e -=
>，则()03
,x
x u x x x e '-=>， 当x 变化时，()(),u x u x '变化情况列表如下：
∴()()()3
min 3u x u x u e 极小===-， 故“22x x c e -≤
在()0,x +∞上恒成立”只需()3min
12c u x e ≤=-，即3
1
2c e ≤-． ②当00x x <<时，()21
12h x cx x
-'=+，当0c ≤时，()0h x '>在()00,x 上恒成立，
综合①②知，当312c e ≤-时，函数()()2
h x g x cx =-为增函数．
故实数c 的取值范围是31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦ 考点：函数导数与不等式. 【方法点晴】
函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得()()()1min ,0g x f x x x x ⎧
⎫=->⎨⎬⎩⎭
的表达式，然后再求得()h x 的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求c 的取值范围了.
18、（1）见解析；（2）3
-
【解题分析】
(1) 取PD 的中点F ,连接,AF EF ,根据中位线的方法证明四边形ABEF 是平行四边形.再证明AF PD ⊥与CD AF ⊥从而证明AF ⊥平面PCD ,从而得到BE ⊥平面PCD 即可.
(2) 以,,AD AB AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求得平面CPB 的法向量与平面APB 的法向量进而求得二面角A PB C --的余弦值即可. 【题目详解】
（1）证明：如图,取PD 的中点F ,连接,AF EF .
又E 为PC 的中点,则EF 是PCD 的中位线.所以//EF CD 且1
2
EF CD =.
又//AB CD 且1
2
AB CD =
,所以//EF AB 且EF AB =.所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =,F 为PD 的中点,所以AF PD ⊥.
因为,//AD AB AB CD ⊥,所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD .所以CD AF ⊥.
又PD CD D ⋂=,所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ,所以BE ⊥平面PCD .
（2）易知,,AD AB AP 两两互相垂直,所以分别以,,AD AB AP 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为1
22
AB AD AP CD ===
=,所以点(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,4,0)A B P C . 则(0,2,2),(0,0,2),(2,2,0)PB AP BC =-==.设平面CPB 的法向量为(,,)n x y z =,
由(,,)(0,2,2)220(,,)(2,2,0)220
n PB x y z y z n BC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎨
⋅=⋅=+=⎩,得,
z y x y =⎧⎨
=-⎩
,
令1y =,得平面CPB 的一个法向量为(1,1,1)n =-；显然平面APB 的一个法向量为(1,0,0)m =； 设二面角A PB C --的大小为θ,则(1,0,0)3cos ||||13
m n m n θ⋅=
==⨯.
故二面角A PB C --的余弦值是33
-
.
【题目点拨】
本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题. 19、（1）10
sin B =（2）13c = 【解题分析】
（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；
（2）利用正弦定理sin sin a A b B
=得到 310a =13c =． 【题目详解】
(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以2
4cos 1sin 5
A A =-= ， 又()1tan 3A
B -= ，所以02
A B π
<-< ， 且()()sin 1010
A B A B -=
-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦
3455101010
=-=. (2)因为
sin 310
sin a A b B ==
，且5b = ，所以310a =， 又()cos cos cos cos sin sin 510
C A B A B A B =-+=-+=，
则222
2cos 952525169c a b ab C ⎛
=+-=+-⨯= ⎝ ，
所以 13c = .
20、（1）见解析；（2）1y x =-+ 【解题分析】
（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由已知0MP NP k k +=，得124y y +=-，代入12
12MN y y k x x -=
-12
4y y =+中即可；
（2）利用抛物线的定义将2
||8||||MN MF NF =转化为()()2
1212128440x x x x x x +--+-=，再利用韦达定理计算. 【题目详解】
（1）P 在抛物线2
4y x =上，∴2t =，(1,2)P 设()11,M x y ，()22,N x y ， 由题可知，0MP NP k k +=，∴
121222
011
y y x x --+=--， ∴122212
22
1144
y y y y --+=--， ∴
1244
022
y y +=++，∴124y y +=-， ∴12
12
MN y y k x x -=
-
12
4
1y y =
=-+
（2）由（1）问可设：l ：y x m =-+，
则12||MN x =
-，1||1MF x =+ ， 2||1NF x =+，
∴2||8||||MN MF NF =
，∴
)
()()2
12
12811x x x -=++，
即()()2
1212128440x x x x x x +--+-=（*），
将直线l 与抛物线C 联立，24y x m y x
=-+⎧⎨=⎩可得：22
(24)0x
m x
m ，
所以12212
1616024m x x m x x m ∆=+>⎧⎪
+=+⎨⎪=⎩，
代入（*）式，可得1m =满足>0∆，∴l ：1y x =-+. 【题目点拨】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题. 21、（1）0,2
e ⎛⎤ ⎥⎝
⎦
；（2）见解析；（3）见解析
【解题分析】
（1）需满足()0f x '恒成立，只需()0f x ''即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；
（3）将问题转化为证明2
1()2
x
b e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【题目详解】
)2(x f x e ax '=-；
令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x 恒成立；
()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-； a ∴的取值范围是(0,]2
e
；
（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；
令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；
令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；
（3）证明：()f x kx b =+，21()2
x b e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2m e m m e
--+→+∞； 当m →-∞时，211(1)2m e m m e
--+→-∞； 即对于任意实数b ，212
x b e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；
当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；
函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12
b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e +时恒成立；
∴只需211(1)2n b e n n e <--+；
令2111((1))(1)()02n n e n n e n p n e e '--+=--+==，其中一个正解是0n ； 0n >，1((1))10n n e n e e '--+=->；
()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>；
001n ∴<<； ∴02200001
11111111(1)112222
n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>； 综上得证．
【题目点拨】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．
22、（1）证明见解析（2
）【解题分析】 （1）由2
212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()222214220k x ktx t +++-=令0∆=可得2221t k =+，进而得到21,k P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理
(2,2)Q k t +，利用数量积坐标计算FP FQ ⋅即可；
（2）31222PQF t S k t
∆=
+-，分0k ≥，k 0<两种情况讨论即可. 【题目详解】 （1）证明：点F 的坐标为(1
0)，. 联立方程2
212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-=
有()()222216421220k t k t ∆=-+-=，可得2221t k =+，2222221kt kt k x k t t
=-=-=-+，222212121k t t y t k k t
=-+==++. 可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，
21211,,k k t FP t
t t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2)FQ k t =+. 有220k t k t FP FQ t t
++⋅=-+=, 故有PF QF ⊥.
（2）若点P 在x 轴上方，因为2221t k =+，所以有1t ≥，
由（1）知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t t t t t
+++++=+===+；222221(2)1441(22)41||||2222PQF k t k kt t t kt t S FP FQ t t t
∆++++
+-+++=⋅=== 23
41312222t kt t k t t
+-==+- ①因为0k ≥时.由（1）知k =3122PQF t S t ∆=
由函数
31()(1)22t f t t t
=-≥单调递增，可得此时(1)1PQF S f ∆≥=. ②当k 0<时，由（1
）知3122PQF t k S t
∆==-
令
222313131()(1),()22222t t g t t g t t t t '+=-≥=+=-
由()()()()()22
22222622
62222444423131183123512414141t t t t t t t t t t t t t t t t ++--⎛⎫⎛⎫+----=-== ⎪---⎝⎭ ()()
(
)()
44222224221(2(21414(1)41t t t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+---+--⎣⎦⎣⎦==--
，故当t > '()0g t >，此时函数()g t
单调递增：当1t ≤<()0g t '＜，此时函数g()t 单
调递减，又由(1)1g =，故函数()g t
的最小值1g <，函数()g
t 取最小值时
2212k +=+
k =由①②知，若点P 在x 轴上方，当PQF ∆的面积最小时，直线m
的斜率为【题目点拨】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.。