数学建模案例之多变量最优化2

数学建模案例之
多变量有约束最优化
问题2[1]（续问题1）：在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。

现在我们根据允许的生产能力引入限制条件。

公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白电视机的生产。

这样装配厂就有了额外的生产能力。

这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。

据估计，现有的生产能力允许每年可以生产10000台电视（约每周200台）。

公司有充足的19英寸、21英寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。

但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。

此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。

只有进行较大的重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。

电路板的供应商每年可以提供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。

考虑到所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及的变量和问题１相同：
s：19英寸彩电的售出数量（台）；
t：21英寸彩电的售出数量（台）；
p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；
q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；
C：生产彩电的成本（美元）；
R：彩电销售的收入（美元）；
P：彩电销售的利润（美元）
这里涉及的常量同问题１：
两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元；
每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元；
每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；
种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；
固定成本400000美元。

变量之间的相互关系确定：
假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。

假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制
5000,8000s t ≤≤；
假设３：公司年内的生产能力有上限c=10000台，即 10000s t +≤；
假设４：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。

因此，19英寸彩电的销售价格为：
p=339 - a ×s - 0.03×t ，此处a=0.01
21英寸彩电的销售价格为：
q=399 - 0.01×t - 0.04×s
因此，总的销售收入为：
R=p ×s + q ×t
生产成本为：
C=400000 + 195×s + 225×t
净利润为：
P = R - C
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max (,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225),
..10000,
5000,8000,
0,0
P s t as t s s t t s t s t s t s t s t =--+---
+++≤≤≤≥≥ （2.1） 这里 a=0.01。

3．模型求解
3.1 求解方法----Lagrange 乘子法
这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange 乘子法求解。

第1步：确定目标函数P(s,t)的可行域S
目标函数P(s,t)的可行域S （见图1）为：
{(,):10000,05000,08000}S s t s t s t =+≤≤≤≤≤
图1 目标函数的可行域图
第2步：计算P ∇
(,)(1440.020.007,1740.0070.02)
P P s t P s t s t ∂
∂∂∂∇==---- （2.2） 在可行域S 的内部，0P ∇≠，因此，最大值一定在边界上达到。

第3步：计算边界上的极大值
由于可行域由5条直线围成，因此需要分别计算P(s,t)在每一条边界线段上的最大值，下面
分别计算，重点介绍如何计算P(s,t)在直线10000s t +=上的最大值。

（1）P(s,t)在约束直线10000s t +=上的最大值
此时，需要求解问题
max (,)
..(,)10000
P s t s t g s t s t =+= （2.3）
其Lagrange 乘子方程为P g λ∇=∇，即 1440.020.0071740.0070.02s t s t λλ--=⎧⎨--=⎩
与约束方程
10000s t +=
联立求解，得到
003846615424s t λ≈⎧⎪≈⎨⎪=⎩
（2.4） 代入目标函数P(s,t)可得极大值为00(,)532308P s t =。

图2 可行域及水平集图
上面的图2给出了可行域以及P(s,t)的水平集图像。

水平集P(s,t)=C 为一簇同心环，这
些环与可行域相交，水平集P(s,t)=532308为最小的环。

这个集合刚刚接触到可行域S ，且与直线10000s t +=在极值点相切。

由图2还可以看出，利用Lagrange 乘子法在约束直线10000s t +=上找到的临界点就是P(s,t)在整个可行域上的最大值。

（2）P(s,t)在其它约束直线上的极大值
采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对P(s,t)的极大值点，结果如
下：
直线段5000s =：极大值点（5000，5000），极值为515000美元；
直线段8000t =：极大值点（2000，8000），极值为488000美元；
直线段0s =：极大值点（0，8000），极值为352000美元；
直线段0t =：极大值点（5000，0），极值为70000美元。

第4步：比较边界极大值，求出最大值点
比较函数P(s,t)在区域S 的五段边界直线上的最大值，可得到P(s,t)在区域上的最大值为532308美元，在点(3846,6154)处取得。

3.2 结果解释
公司为获得做大利润应生产3846台19英寸彩电和6154台21英寸彩电，从而每年的总生产量为10000台，这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。

能够供应的立体声电路板的资源限制不是关键的。

这样可以得到预计每年532308美元的利润。

4．灵敏性分析与影子价格
我们先讨论19英寸彩电的价格弹性系数a 的灵敏性，即售出量s,t 和利润P 关于a 的灵敏性，然后讨论最优产量s,t ，利润P 对可利用生产能力c=10000台的灵敏性。

4.1 最优解关于19英寸彩电的价格弹性系数a 的灵敏性分析
仍利用Lagrange 方法来求解该问题。

Lagrange 乘子方程为P g λ∇=∇，即
14420.0071740.0070.02as t s t λλ--=⎧⎨--=⎩
与约束方程
(,)10000g s t s t =+=
联立求解，得到
5000010003500001000365010003()()()1000026a a a a a a s t λ+++=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
（2.5） 计算可得
2250000000(10003)50000000(10003)ds da a dt ds da da a -++⎧⎪⎨⎪⎩
==-=
从而在点s=3846，t=6154,a=0.01处，有 (,)0.77(,)0.48
ds a s da dt a t da S s a S t a ⎧==-⎪⎨==⎪⎩⋅⋅ （2.6） 将s(a)，t(a)代入P(s,t)，经过计算可得
2dP da s =-
代入数据a=0.01,P(3846,6154)=532308，可得
(,)0.28dP a P da S P a ==-⋅ （2.7）
图3画出了曲线s(a)和t(a)，图4画出了曲线P(a)。

00.0050.010.0150.0202000
4000
6000
8000
10000
a 美s,t
台s a t a 图3 s 和t 关于a 的曲线 00.0050.010.0150.02500600700800a 美P 1000美元 图4 利润P 关于a 的曲线
根据式（2.6）以及图3中s(a)和t(a)的曲线，我们可以得到：如果19英寸彩电的价格弹性系数a 增加，我们要将一部分19英寸彩电的生产量转为生产21英寸彩电；如果这一系数减少，我们则要多生产一些19英寸的彩电，少生产一些21英寸的彩电。

在任一种情况下，只要式(s,t)落在其他约束直线
之间（0.007≤a ≤0.022），总是可以生产总量为10000台的彩电。

根据式（2.7）以及图4中P(a)的曲线，我们可以得出结论：如果19英寸彩电的价格弹性系数a 增加，将会导致利润P 下降。

（同样的，与无约束问题相同），而且几乎所有的利润损失都是由19英寸彩电的销售价格的降低所导致的。

而且通过计算表明，如果a=0.011，即使用s=3846，t=6154来代替由（2.5）式确定的新的最优解，也不会有太大的利润损失。

梯度向量P ∇指向目标函数值机利润增加最快的方向。

现在即使不在最优点出，但是从最优值点到（3846，6154）的方向与P ∇垂直，从而我们可以预期P 在这点的值与最优值相差不大。

应此，即使a 有些小的改变，我们的模型也可以给出非常接近最优值的解。

4.2 最优解关于可利用生产能力c 的灵敏性分析
现在来考虑最优生产量s 、t 和相应的利润P 关于每年可利用的生产能力c=1000（台）的灵敏性。

我们只需要将原问题的约束条件
(,)10000g s t s t =+=
改成更一般的形式
(,)g s t s t c =+= （2.8）
现在的可行域和图1中的情况类似，只是那条斜的约束直线移动了一些，但仍平行于直线10000s t +=。

对于10000附近的c 值，最大值仍然出现在约束直线(,)g s t s t c =+=上满足条件P g λ∇=∇的点处。

利用Lagrange 乘子方法求解，可得到结果
1330000261330000263(1060009)2000()()()c c c c t c c s λ-
+-⎧=⎪=⎨⎪=⎩
（2.9） 经过简单计算，可得到
1000012384610000126154(,) 1.3(,)0.8
ds c s dc dt c t dc S s c S t c ⎧=≈⎪⎨=≈⎪⎩⋅=⋅⋅=⋅ （2.10） 为了得到P 关于c 的灵敏性，我们计算
24dP P ds P dt dc s dc t dc λ
∂∂∂∂===⋅+⋅ （2.11） 这时，
10000532308(,)240.45dP c P dc S P c ==⨯≈⋅ （2.12）
4.3 影子价格 导数dP dc 的几何解释为：因为P g λ∇=∇，当c 增加时，在几何上为沿着
P ∇的方向向外移动，且P
的增加速度是g 的增加速度的λ倍。

导数dP dc 有很重要的实际意义。

每增加一个单位生产能力1c ∆=，会带来的利润增加额为24P ∆=美元，这称为影子价格。

它代表了对这个公司来讲某种资源（生产能力）的价值。

如果公司有意提高自己的生产能力（这是最关键的约束），它会愿意付出每单位不超过24美元的价格来增加生产能力；另一方面，如果有某种新产品，它可以获得每单位超过24美元的利润，公司就会考虑将用于19英寸和21英寸立体声彩电的生产能力转而投产这种新产品，也只有超过24美元，转产才是值得的。

问题2中，由于其他的条件约束： 5000,8000s t ≤≤ 都不是关键约束。

最优利润y 及生产量x1，x2对这些约束的系数当然一点也不敏感。

x1或x2的上界的一个小变化会改变可行域，但最优解仍为（3846，6154）。

因此，这些资源的影子价格为零。

只有当19英寸彩电的电路板的数量减少或低于3846或21英寸彩电的电路板的数量减少或低于6154，就要考虑这个约束的问题。

5．参考资料
[1] Mark M.Meerschaert. 数学建模方法与分析。

北京：机械工业出版社，2005年。