广州市初中统考2021届高二上学期数学期末试卷
2021-2022学年广东省广州市番禺区高二上学期期末考试数学试卷带讲解
C. +4y =0D. +4y+5=0
B
【分析】关于 轴对称的两直线斜率是相反数，过 轴上同一点，由此可得．
【详解】直线 的斜率是 ，与 轴交点为 ，
因此它关于 轴对称的直线方程是 ，即 ．
故选：B．
7.过双曲线 的左焦点 作x轴的垂线交曲线C于点P， 为右焦点，若 ，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
5.如图．空间四边形OABC中， ，点M在OA上，且满足 ，点N为BC的中点，则 （）
A. B.
C. D.
B
【分析】选择基底，利用向量加法的三角形法则转化化简即可.
【详解】如图， .
故选：B.
6.与直线3x +5=0关于x轴对称的直线方程为（）
所以 ，故B正确，C错误，
当n为奇数时 ，当n为偶数时 ，故D错误
故选：AB
12.设抛物线 的焦点为F，准线为l.过焦点F的直线交曲线C于 ， 两点，则（）
A.以 为直径的圆与准线l相切B.以 为直径的圆与准线l相切
C. D.
BCD
【分析】根据焦半径公式和直线与圆的相切判断方法，即可判断A，B选项；设出直线 的方程，将其代入抛物线方程，根据韦达定理可判断C，D选项.
【详解】线线关系中，平行具有传递性，垂直没有传递性，故A正确，B错误.；
由线面垂直的性质定理可得C正确；
平行于同一平面的两条直线不一定平行，可以相交或异面，故D错误；
故选：AC.
11.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列 是公积不为0的等积数列，且 ，前7项的和为14.则下列结论正确的是（）
广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题(含答案)
华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。
2021-2022年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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2021-2022学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线2x+3y+6＝0在y轴的截距是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．（5分）已知点A（2，1，﹣2），点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，2）B．（﹣2，1，﹣2）C．（2，﹣1，﹣2）D．（2，﹣1，2）3．（5分）已知点P（﹣3，﹣4），Q是圆O：x2+y2＝4上的动点，则线段PQ长的最小值为（）A．3B．4C．5D．64．（5分）已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A．30B．40C．50D．606．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（）A．2B．3C．4D．67．（5分）已知圆O：x2+y2＝25，直线l：y＝kx+1﹣k，直线l被圆O截得的弦长最短为（）A．B．C．8D．98．（5分）数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A．153B．190C．231D．276二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）过点P（﹣2，0）的直线l与直线l1：x+y﹣2＝0平行，则下列说法正确的是（）A．直线l的顿斜角为45°B．直线l的方程为：x+y+2＝0C．直线l与直线l1间的距离为D．过点P且与直线l垂直的直线为：x﹣y+2＝010．（5分）已知曲线与曲线，则下列说法正确的是（）A．曲线C1的焦点到其渐近线的距离是3B．当9＜k＜16时，两曲线的焦距相等C．当k＜9时，曲线C2为椭圆D．当k＞16时，曲线C2为双曲线11．（5分）已知数列{a n}，下列说法正确的是（）A．若数列{a n}为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列{a n}为单调数列B．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0，S11＝0，则当n＝10时，S n最大C．若点（n，a n）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，则数列{a n}为等差数列D．若点（n，a n）在函数y＝k•a x（k，a为常数，k≠0，a＞0，且a≠1）的图象上，则数列{a n}为等比数列12．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且，则下列结论中正确的有（）A．，使B．线段MN存在最小值，最小值为C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．，都存在过MN且与平面BCE平行的平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：2x+ay＝0对称，则a＝．14．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，N是BC的中点，则向量＝．（用表示）15．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S n＝2a n+1，则a3＝；数列{a n}的通项公式a n＝．16．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知M（5，2），N（﹣1，﹣4）两点．（1）求以线段MN为直径的圆C的方程；（2）在（1）中，求过M点的圆C的切线方程．18．（12分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且a4＝9，S3＝15．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：P A∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD．20．（12分）已知数列{a n}满足．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，AD＝，CE＝2ED ＝2，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且平面BC1E与平面ABED垂直，如图2．（1）求异面直线BC1与AD所成角的余弦值；（2）在棱DC1上是否存在点P，使平面PEB与平面C1EB的夹角为？若存在，则求三棱锥C1﹣PBE的体积，若不存在，则说明理由．22．（12分）已知点A（1，0）及圆B：（x+1）2+y2＝8，点P是圆B上任意一点，线段AP 的垂直平分线l交半径BP于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形，求该菱形周长的最大值．2021-2022学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线2x+3y+6＝0在y轴的截距是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【解答】解：直线2x+3y+6＝0，即y＝﹣x﹣2，故它在y轴的截距是﹣2，故选：A．2．（5分）已知点A（2，1，﹣2），点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，2）B．（﹣2，1，﹣2）C．（2，﹣1，﹣2）D．（2，﹣1，2）【解答】解：∵点A（2，1，﹣2），∴点A关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣1，2）．故选：D．3．（5分）已知点P（﹣3，﹣4），Q是圆O：x2+y2＝4上的动点，则线段PQ长的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：圆O：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为r＝2，所以，圆上点Q在线段OP上时，|PQ|min＝5﹣2＝3，故选：A．4．（5分）已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆方程为：，则其离心率为：＝＝，故选：B．5．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A．30B．40C．50D．60【解答】解：根据题意，设这5个人所分到的面包分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则，即，所以最大的那份面包数为a+2d＝50．故选：C．6．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：设点A，F，B在准线上的射影分别为M，C，N，根据抛物线的定义可得|BN|＝|BF|，因为，则|PB|＝2|BN|，所以∠NPB＝30°，|AP|＝2|AM|，设|BF|＝m，|AF|＝n，则|AM|＝n，|PF|＝3m，∴2n＝n+3m，∴n＝3m，∴|AF|＝|PF|＝3m，∴＝，又|CF|＝p＝6，∴|AM|＝12＝3m，∴|BF|＝m＝4，故选：C．7．（5分）已知圆O：x2+y2＝25，直线l：y＝kx+1﹣k，直线l被圆O截得的弦长最短为（）A．B．C．8D．9【解答】解：直线方程即y＝k（x﹣1）+1，直线恒过定点（1，1），圆心与定点直线的距离为，由圆的几何性质可知，最短弦长为．故选：B．8．（5分）数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A．153B．190C．231D．276【解答】解：因为：1，6＝1+5，15＝1+5+9，28＝1+5+9+13，45＝1+5+9+13+19；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：c n＝1•n+×4＝2n2﹣n；∴第11个六边形数为：2×112﹣11＝231．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）过点P（﹣2，0）的直线l与直线l1：x+y﹣2＝0平行，则下列说法正确的是（）A．直线l的顿斜角为45°B．直线l的方程为：x+y+2＝0C．直线l与直线l1间的距离为D．过点P且与直线l垂直的直线为：x﹣y+2＝0【解答】解：由题意可设直线l的方程为x+y+m＝0，将点P（﹣2，0）代入，﹣2+0+m＝0，可得m＝2，所以直线l的方程为x+y+2＝0，故B正确；斜率k＝﹣1，故倾斜角为135°，故A错误；直线l与直线l1间的距离为＝2，故C正确；过点P且与直线l垂直的直线为y＝x+2，即x﹣y+2＝0，故D正确．故选：BCD．10．（5分）已知曲线与曲线，则下列说法正确的是（）A．曲线C1的焦点到其渐近线的距离是3B．当9＜k＜16时，两曲线的焦距相等C．当k＜9时，曲线C2为椭圆D．当k＞16时，曲线C2为双曲线【解答】解：曲线是焦点在x轴上的双曲线，焦点坐标（±5，0），渐近线方程3x±4y＝0，焦点到渐近线的距离为：d＝＝3，所以A正确；当9＜k＜16时，曲线的焦距为10，曲线的焦距为：2＝2，两曲线的焦距不相等，所以B不正确；曲线（k＜9）是焦点在x轴上的椭圆，所以C正确；曲线，当k＞16时，曲线C2不是双曲线，所以D不正确．故选：AC．11．（5分）已知数列{a n}，下列说法正确的是（）A．若数列{a n}为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列{a n}为单调数列B．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0，S11＝0，则当n＝10时，S n最大C．若点（n，a n）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，则数列{a n}为等差数列D．若点（n，a n）在函数y＝k•a x（k，a为常数，k≠0，a＞0，且a≠1）的图象上，则数列{a n}为等比数列【解答】解：对于A，a n+1﹣a n＝a n（q﹣1），当首项为负数，q＞1 时，a n+1＜a n数列{a n}递减，0＜q＜1 时，a n+1＞a n数列{a n}递增，同理可分析首项为正数，q＞1 时，数列{a n}递增，0＜q＜1 数列{a n}递减，故数列{a n}为单调数列，故A正确；对于B，S11＝11a6＝0，即a6＝0，又a1＞0，所以S5＝S6最大，故B错误；对于C，点（n，a n）在函数y＝kx+b，即a n＝kn+b，所以a n+1﹣a k＝k，故数列{a n}为等差数列，故C正确；对于D，点（n，a n）在函数y＝k⋅a x，即，所以，所以数列{a n}为等比数列，故D正确．故选：ACD．12．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且，则下列结论中正确的有（）A．，使B．线段MN存在最小值，最小值为C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．，都存在过MN且与平面BCE平行的平面【解答】解：因为正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，所以BA、BE、BC两两垂直，建系如图，B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），M（，0，），N（，，0），对于A，因为＝（0，，），＝（0，1，﹣1），所以当a＝时，＝，所以A对；对于B，因为||2＝（）2+）2＝a2﹣+1＝（a﹣）2+，即||≥，当a＝时，等号成立，所以B错；对于C，因为平面ABEF的法向量是＝（0，0，1），设直线MN与平面ABEF所成角的余弦值为θ，θ∈（0，]，cosθ＝＝，当a→0时，cosθ→1，θ→，所以C错；对于D，因为平面BCE的法向量是＝（1，0，0），•＝0，所以MN∥平面BCE，所以D对．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：2x+ay＝0对称，则a＝1．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，又∵圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：2x+ay＝0对称，∴直线l经过圆心C（1，﹣2），即2×1﹣2a＝0，解得a＝1．故答案为：1．14．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，N是BC的中点，则向量＝．（用表示）【解答】解：∵六面体六面体ABCD﹣A1B1C1D1为平行六面体，∴，∵，N是BC的中点，∴，＝．故答案为：．15．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S n＝2a n+1，则a3＝；数列{a n}的通项公式a n＝．【解答】解：∵S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S n＝2a n+1，①∴a1＝S1＝2a2⇒a2＝，且S n﹣1＝2a n，（n≥2）②①﹣②得：a n＝2a n+1﹣2a n，即a n+1＝a n，（n≥2）即数列{a n}从第2项起是首项为，公比为的等比数列，∴a3＝×＝，a n＝，故答案为：，．16．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为y＝x．【解答】解：延长F1N交MF2的延长线于Q，因为MN是∠F1MF2角平分线，F1N⊥MN，如图所示：所以△F1MQ为等腰三角形，|F1M|＝|MQ|，N为F1Q的中点，O为F1F2的中点，所以ON是△F1F2Q的中位线，所以|ON|＝|F2Q|，若，则|F1F2|＝3|F2Q|＝3（|MQ|﹣|MF2|）＝3（|MF1|﹣|MF2|）＝2a，即2c＝3a，可得b2＝c2﹣a2＝a2﹣a2＝a2，所以＝，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝x．故答案为：y＝x．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知M（5，2），N（﹣1，﹣4）两点．（1）求以线段MN为直径的圆C的方程；（2）在（1）中，求过M点的圆C的切线方程．【解答】解：（1）根据题意，M（5，2），N（﹣1，﹣4），则MN的中点为（2，﹣1），|MN|＝＝6，线段MN是圆C的直径，则圆C的圆心为（2，﹣1），半径r＝3，则圆C方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝18，（2）根据题意，圆C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝18，M为圆上一点，则k CM＝＝1，故切线的斜率k＝﹣1，切点为M（5，2），则切线的方程为y﹣2＝﹣（x﹣5），变形可得x+y﹣7＝0；故切线的方程为：x+y﹣7＝0．18．（12分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且a4＝9，S3＝15．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，得，解得，所以a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）可知b n＝＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+•+﹣）＝（1﹣）＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：P A∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面EDB．（2）∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，∴PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB，∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．20．（12分）已知数列{a n}满足．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（1）数列{a n}满足，整理得（常数），所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列；故，整理得；（2）由（1）得：；故当n为偶数时，＝＝，当n为奇数时，．故．21．（12分）如图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，AD＝，CE＝2ED ＝2，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且平面BC1E与平面ABED垂直，如图2．（1）求异面直线BC1与AD所成角的余弦值；（2）在棱DC1上是否存在点P，使平面PEB与平面C1EB的夹角为？若存在，则求三棱锥C1﹣PBE的体积，若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）连接AE，由题意可得，AE＝2，因为CE∥BA，CE＝BA＝AE，则四边形ABCE为菱形，连接AC交BE于点F，则CF⊥BE，在Rt△ACD中，AC＝＝2，所以AF＝CF＝，因为平面BC1E与平面ABED垂直，又C1F⊥BE，故C1F⊥平面ABED，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，D（0，0，0），A（，0，0），B（，2，0），E（0，1，0），F（，，0），C1（，，），＝（−，−，），＝（，0，0），|cos＜，＞|＝＝，故异面直线BC1与AD所成角的余弦值为；（2）假设在棱DC1上存在点P，使得二面角P﹣EB﹣C1的平面角为，则＝（，，），＝λ＝（λ，λ，λ），则P（λ，λ，λ），所以＝（﹣，﹣1，0），＝（﹣λ，1﹣λ，﹣λ），因为AF⊥平面C1BE，所以平面C1BE的一个法向量为＝＝（−1，，0），设平面PBE的法向量为＝（a，b，c），则，即，可取＝（λ，﹣3λ，λ﹣），所以|cos＜，＞|＝＝，解得λ＝，P（，，），＝（﹣，，﹣），所以点P到平面C1BE的距离d＝＝，三棱锥C1﹣PBE的体积V＝××2×2××＝．22．（12分）已知点A（1，0）及圆B：（x+1）2+y2＝8，点P是圆B上任意一点，线段AP 的垂直平分线l交半径BP于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形，求该菱形周长的最大值．【解答】解：（1）∵点T在线段AP的垂直平分线上，∴|AT|＝|PT|，又，所以，故曲线E是以坐标原点为中心，B（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线E的方程为，∵，∴b2＝2−1＝1，∴曲线E的方程为．（2）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得，由Δ＞0可得，化简可得，（1），所以＝，同理可得，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以，且，所以，因为四边形CDMN为菱形，可得，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即，可得，化简可得，设菱形CDMN的周长为l，则，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即时等号成立，此时，满足（1），所以菱形CDMN的周长的最大值为．。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{ Sn n }是等差数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（单选题，5分）已知E 、F 分别为椭圆 x 225 + y 29 =1的左、右焦点，倾斜角为60°的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则△FAB 的周长为（ ）A.10B.12C.16D.203.（单选题，5分）若数列{a n }满足a 1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n +n+1，则 1a 1+1a 2 +……+ 1a 2016 等于（ ） A. 20162017B.20152016 C. 40302016D. 403220174.（单选题，5分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的左右焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. (0，12)B. (13，12)C. [13，1)D. [12，1)5.（单选题，5分）P 是双曲线 x 29 - y 216 =1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x+5）2+y 2=4和（x-5）2+y 2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.96.（单选题，5分）已知正数x ，y 满足x 2+2xy-3=0，则2x+y 的最小值是（ ）A.3B.4C.5D.67.（单选题，5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9=1，S 18=0，当S n 取最大值时n 的值为（ ）A.7B.8C.9D.108.（单选题，5分）已知抛物线y 2=16x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则 |NF|9−4|MF| 的最小值为（ ） A. 23B. −23C. −13D. 139.（单选题，5分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，则 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示为（ ）A.- 12 a + 12 b ⃗ + cB. 12 a + 12 b ⃗ + cC.- 12 a - 12 b ⃗ + cD. 12 a - 12 b ⃗ + c10.（单选题，5分）点P（-3，1）在椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为a =（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. √33B. 13C. √22D. 1211.（多选题，5分）在△ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD，cos∠CDB=- √55，则（）A. sin∠CDB=310B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+4√5D.△ABC为钝角三角形12.（多选题，5分）若x≥y，则下列不等式中正确的是（）A.2x≥2yB. x+y2≥ √xyC.x2≥y2D.x2+y2≥2xy13.（填空题，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C等于___ ．14.（填空题，5分）侧棱长为3 √3的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过点A 作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为___ ．15.（填空题，5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n= 4a n+1+a n，若数列{ 1a n−1+a n}的前n项和为5，则n=___ ．16.（填空题，5分）如图，F1和F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为___ ．17.（问答题，0分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，求a2+b2a−b的最小值．18.（问答题，0分）已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4=6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，0分）在平面直角坐标系中，曲线Γ：F（x，y）=0和函数f(x)=14x2的图象关于点（1，2）对称．（1）函数f(x)=14x2的图象和直线y=k•x+4交于A、B两点，O是坐标原点，求证：∠AOB=π2；（2）求曲线Γ的方程；（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线Γ为抛物线．20.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足csinA=asin（C+ π3）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为3 √3，a-b=1，求c和cos（2A-C）的值．21.（问答题，0分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（1，1）作圆M的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB被曲线C截得的弦的中点坐标．22.（问答题，0分）已知棱台ABC-A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=60°，∠A1B1C1=90°，AA1=AC=CC1= A1C1，D，E分别是BC和A1C1的中点2（Ⅰ）证明：DE⊥B1C1；（Ⅱ）求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
广东省广州市八区2021-2022高二数学上学期期末教学质量监测试题(含解析).doc
广东省广州市八区2021-2022高二数学上学期期末教学质量监测试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁一、选择题：本大题共12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的. 1.设集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =（ ）A. 3(4,]2-- B. 3[,1)2-- C. 3[,1)2-D. 3[,4)2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()234410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得3,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以3,12A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.2.已知向量()3,1,2a =-，()6,2,b t =-，且a b ，则t =（ ） A. 10 B. -10C. 4D. -4【答案】D【解析】 【分析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】由于//a b ，所以62312t -==-，解得4t =-. 故选：D【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.3.双曲线221169x y -=的焦距为（ ）A. 10B. 7C. 27D. 5【答案】A 【解析】 由方程，，则，即，则焦距为.4.设命题p ：[]0,1x ∀∈，都有210x -≤，则p ⌝为（ ）.A. []00,1x ∃∈，使2010x -≤B. []0,1x ∀∈，都有210x -≤C. []00,1x ∃∈，使2010x ->D. []0,1x ∀∈，都有210x -> 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即p ⌝：[]00,1x ∃∈，使2010x ->，故选：C .【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.5.若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ）优质资料\word 可编辑A. 若a b <，则||||a c b c <B. 若22ac bc <，则a b <C. 若a b <，c d <，则a c b d -<-D. 若a b <，c d <，则ac bd <【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.6.已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A. 15B.5C.5D.2【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1AC与1CD所成角的余弦值.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,3,0,0,3A a C a C a a D a，所以()()11,,3,0,,3AC a a a CD a a=-=-，设异面直线1AC与1CD所成角为θ，则22111135cos552AC CD a aa aAC CDθ⋅-+===⋅⋅.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.8.已知各项均为正数的数列{}n a为等比数列，n S是它的前n项和，若337S a=，且2a与4a的等差中项为5，则5S=（）A. 29B. 31C. 33D. 35【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得5S 的值.【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以12q =,13q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-． 故选:B ．【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题. 9.命题“若{}n a 是等比数列，则n n k n k na aa a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.10.双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥,则PFO △的面积为（ ）A.32B.32C.12D.3 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ∆的面积.【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为3y x =±，无妨设60POF ∠=，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==,||2sin 603PF ==，所以PFO ∆的面积为13132⨯⨯=． 故选:D ．【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题. 11.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）A. 20mB. 50mC. 1010mD. 100m【答案】B 【解析】 【分析】设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000CD x=，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++100001040(4)x x =++10401440x x≥+=， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S 最小．故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.12.在三棱锥D ABC -中，AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM AM =（ ）C. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦值为4列方程，解方程求得M 点的坐标，进而求得AM 的长.【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C ,D ,(0,2,AD =,(0,2,DC =-.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-.设平面DAM 的法向量(),,n x y z =.由0AD n ⋅=,0AM n ⋅=得2230(4)0y z ax ay ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(4),3,)n a a a =--， 所以222|2323|3sin cos ,443(4)3a a DC n a a a θ+=〈〉==-++， 解得4a =-（舍去），43a =， 所以224845||33AM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13.已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237⨯+=. 故答案为：7【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________． 【答案】260 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数.【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.故答案为：260【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.15.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________． 【答案】31- 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．2【解析】【分析】用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 所以2211()BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=， 所以1||2BD BD ==2【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18.已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.【答案】（1）24y x =；（2 【解析】【分析】（1）设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；（2）不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h 的方程为()31y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积. 【详解】（1）根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由（1）可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F 且斜率为3的直线h 的方程为()31y x =-，由()24 31y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入()31y x =-，得123y =，2233y =-，所以()3,23A ，123,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以142pAD x +==，2423p BE x +==，1283DE y y =-=，因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()164329AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=︒，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）57- 【解析】【分析】（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：记ACBD O =，连接PO ． 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC PO O =，所以BD ⊥平面APC ．因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==，所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． 又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥．方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形．取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角．因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．因2AE CE ===，2AC AO ==， 所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-． 所以二面角A PD C --的余弦值为57-． 方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(C ， 所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(3,1,0)DC =-．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =由11·0·0DA n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00y y z +=+=⎪⎩， 令3y =-，得1(1,n=-.同理，可求平面PDC 的法向量2(1,n =．所以121212cos ||||n n n n n n =,22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++-57=-． 所以，二面角A PD C --的余弦值为57-．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n N =∈，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n -=+≥∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列；（3）设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 【答案】（1）*21()n a n n =-∈N （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）通过证明1131n n b b -+=+，证得数列{1}n b +是等比数列，并求得首项和公比. （3）由（2）求得{}n b 的通项公式，由此求得n c 的表达式，利用错位相减求和法求得n T ，进而证得1n T <.【详解】（1）当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．检验，当1n =时11211a ==⨯-符合．所以*21()n a n n =-∈N ．（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得 11333-+=⋅=n n n b ，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++ 231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ① 23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++， 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+- 11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=-， 所以11(1)()3n n T n =-+． 因为1(1)()03n n +>，所以1n T <． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.21.如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，54)y x =-或54)y x =-． 【解析】【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=， 所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ 把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得k =，满足1122k -<<． 所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =- 此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=．由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② 因为2DN DM =，所以212y y =． ③ 把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >．所以直线2l 的方程为4)y x =-或4)y x =-． 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x R ∀∈都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞（3）见解析【解析】【分析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.（2）将不等式2()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根， 由根与系数的关系得3131mm n -+=⎧⎨-⨯=+⎩，即2m =-，1n =-．（2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x R ∀∈都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+．当1x =-时，min ()3g x =-，所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2mx =的抛物线，22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当∆<0，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点．②当0∆=，即2m =-或6m =时，（ⅰ）当2m =-时，1(1,)2mx ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m =时，3(1,)2mx ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3．③当>0∆，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得1x =，2x =(1)40f =>．（ⅰ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有． 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
广东省中山市2020至2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷真题
xyO'()y f x =3 4-2 -4广东省中山市2020-2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是 A ．[0,5]B ．[5,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0][5,)-∞+∞2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816--，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)nn n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为A ．35B ．45C ．34D ．16254．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减C ．函数()f x 在3x =处取极大值D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =A ．182B ．242C ．273D ．4846．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于[3,)+∞(1,2]分）16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值. 参考公式：()()()2222224A A BB A B A B A B x y xy x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦中山市高二级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；13. 83； 14. 613t t ++∆，61t +.三、解答题：15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）121q -，81q -，[1(11q q----.能构成等差数列sin(4530)sin 45cos30cos45sin30==︒-︒︒︒-︒︒xzy18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a . ……（2分）（1）(0,,)2bBE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，所以1122BE AD AP =+， ……（5分） BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）2410cos ,5225a PD BC a a<>==⋅， 所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分）求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）x－1 （-1，0） 0 （0，1） 1 ()f x '－ 0 +()f x53 ↘↗73所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分）。
2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.23.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.76.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=08.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √249.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞010.（多选题，5分）已知双曲线C过点(3，√2)且渐近线方程为y=±√3x，则下列结论正3确的是（）A.C的方程为x2−y2=13B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x−√3y−1=0与C有两个公共点11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（1）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比4课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：C1M || 平面DB1E；（2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．19.（问答题，12分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l：y=k（x-1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|=8，求k的值．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；，求数列{b n}的前n项和T n．（2）设b n=a n+1a n+1a n21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；，求三棱锥M-ACP体积．（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√3322.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？（2）若l过点（m3若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）【正确答案】：C【解析】：直接利用点的对称的应用求出结果．【解答】：解：点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为N（3，6，-2）；故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值．【解答】：解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，则a2=4，b2=p，c2=1，从而4=p+1，p=3．故选：C．【点评】：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关【正确答案】：C【解析】：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4-m2=16∴c=4 焦距2c=8故选：C．【点评】：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对【正确答案】：A【解析】：求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），a2=1+4=5，a3=1- 15 = 45，a4=1- 54=- 14，•••，所以数列的周期为3，a2020=a673×3+1=a1= −14．故选：A．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．【解答】：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则P（3，±2√3），∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石【正确答案】：A【解析】：由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=a3−a13−1 = −362=-18，再由S3=3a1+3×22×(−18) =180，能求出甲应该分得78石．【解答】：解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴ d=a3−a13−1 = −362=-18，S3=3a1+3×22×(−18) =180，解得a1=78（石）．∴甲应该分得78石．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=0【正确答案】：D【解析】：由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△ABC的欧拉线就是线段AB的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解．【解答】：解：因为AC=BC，所以点C在线段AB的中垂线上，设该中垂线为直线l，取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心，过点A作AE⊥BC于E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心，因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上，故△ABC的欧拉线就是直线l，由A（2，0），B（1，2），知AB的中点坐标为（32，1），直线AB的斜率为2−01−2=-2，所以直线l的斜率为12，其方程为y-1= 12（x- 32），即2x-4y+1=0．故选：D．【点评】：本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √24【正确答案】：D【解析】：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在三角形中由余弦定理可得a，c之间的关系，进而求出离心率．【解答】：解：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2= |PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|•|PF2| = a2+a2−4c22a2= 34，可得a2=8c2，即离心率e= ca = √24（0＜e＜1），故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，是基础题．9.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞0【正确答案】：BC【解析】：由递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=S11，列出方程，求出a1=−172d＞0，再逐一判断各选项．【解答】：解：∵递减的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=S 11，∴ {d ＜07a 1+7×62d =11a 1+11×102d，解得 a 1=−172d ＞0， ∴a 10=a 1+9d=- 172d +9d = 12d ＜0，故A 错误；S n =na 1+ n (n−1)2d =- 17d 2n + d 2n 2 - d 2n = d 2 （n-9）2- 812d ． ∴当n=9时，S n 最大，故B 正确；S 17=17a 1+17×162d =17×（- 172 d ）+136d=-8.5d ＞0，故C 正确； S 19=19a 1+ 19×182 d=19×（- 172d ）+171d=9.5d ＜0，故D 错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．10.（多选题，5分）已知双曲线C 过点 (3，√2) 且渐近线方程为 y =±√33x ，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23−y 2=1B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线 x −√3y −1=0 与C 有两个公共点【正确答案】：AC【解析】：由双曲线的渐近线为 y =±√33x ，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【解答】：解：由双曲线的渐近线方程为 y =±√33x ，可设双曲线方程为 x 23−y 2=λ ， 把点 (3，√2) 代入，得 93 -2=λ，即λ=1．∴双曲线C 的方程为 x 23−y 2=1 ，故A 正确；由a 2=3，b 2=1，得c= √a 2+b 2 =2，∴双曲线C √3 = 2√33 ，故B 错误；取x-2=0，得x=2，y=0，曲线y=e x-2-1过定点（2，0），故C 正确； 双曲线的渐近线 x ±√3y =0，直线 x −√3y −1=0 与双曲线的渐近线平行，直线 x −√3y −1=0 与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短【正确答案】：AD【解析】：对于AB选项，根据倾斜角可判断直线的位置以及斜率，进而可以求出a的值，而C选项根据直线与圆相离满足的条件可求出a的值是否存在，而D选项，先求出直线过的定点，可判断直线与圆的位置，且定点与圆心连线与直线垂直时弦长最短可求出a的值．【解答】：解：选项A：当a=0时，直线方程为x=0，此时倾斜角为90°，A正确，选项B：当倾斜角为135°时，直线斜率为-1，即- a+1a=-1，解得a为空集，B错误，选项C：圆C的圆心为C（2，0），半径r=3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a+1)×2+a|√(a+1)2+a2＞3，整理得：9a2+6a+5＜0，不等式无解，C错误，选项D：经分析直线过定点M（0，-1），此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于-1，即：−a+1a ×0−(−1)2−0=-1解得a=1，此时弦长最短，D正确，故选：AD．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系以及直线倾斜角和直线过定点的问题，考查了学生的运算能力，推理能力，属于基础题．12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC 的体积为定值D.当D 1M=2MB 时，平面EAC⊥平面MAC【正确答案】：BCD【解析】：当M 为BD 1的中点时可知A 错误，证明BD 1 || 平面EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD 即可．【解答】：解：（1）当M 为BD 1的中点时，直线AD 与直线C 1M 是相交直线，交点为A ，故A 错误；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间坐标系D-xyz ，设正方体棱长为1，则A （1，0，0），E （0，0， 12 ），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1），∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0， 12）， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-1）， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，1）． BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤λ≤1），则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-λ，λ-1），若B 1M⊥AE ，则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即λ+ 12 （λ-1）=0，解得λ= 13， ∴当M 为线段BD 1的靠近B 的三等分点时，B 1M⊥AE ，故B 正确；（3）连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，则O 也是AC 的中点，由中位线定理可知BD 1 || EO ，∴BD 1 || 平面ACE ，故V E-MAC =V M-ACE =V B-ACE ，故C 正确；（4）∵AC⊥BD ，AC⊥DD 1，BD∩DD 1=D ，∴AC⊥平面BDD 1，∴AC⊥OE ，AC⊥OM ，故∠EOM 为二面角E-AC-M 的平面角，当D 1M=2BM 时，M （ 23 ， 23 ， 13 ），又O （ 12 ， 12 ，0），∴ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 16 ， 16 ， 13 ）， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12 ，- 12 ， 12）， ∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 112 - 112 + 16 =0，∴OE⊥MO ， 故平面EAC⊥平面MAC ，故D 正确．故选：BCD ．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据等轴双曲线的定义，可得a=b，从而可得离心率．【解答】：解：∵等轴双曲线中a=b∴c= √a2+b2 = √2 a= √2∴e= ca故答案为：√2【点评】：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．【正确答案】：[1]-21【解析】：直接利用数列的通项公式和组合法的应用求出结果．【解答】：解：由于a n=（-1）n•（2n-1），则S21=（-1+3）+（-5+7）+（-9+11）+…+（-41）=2×10-4=-21．故答案为：-21．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，组合法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．【正确答案】：[1]232【解析】：根据已知可得，第n组中最后一个数即为前n组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数【解答】：解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+⋯⋯+21= 21(1+21)2=231，所以第22组的第1个数为232．【点评】：本题考查了归纳推理，等差数列前n项和公式的应用，找到数字的规律是解题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（14）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．【正确答案】：[1]n【解析】：先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n-4n a n的表达式．【解答】：解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n-1•4n-1+a n•4n②① + ② 得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（a n-1+a n）+a n•4n=a1+4× 14 +42•（14）2+…+4n-1•（14）n-1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n-4n•a n=n，故答案为：n．【点评】：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）通过等数列中项的性质求出a2=5，等比数列中项性质求出d=2，然后分别求出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）分组求和即可．【解答】：解：（1）设等差数列的公差为d，则由已知得，a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5-d+2）（5+d+13）=（a 2+5）2=100，解得d=2或d=-13（舍去），所以a 1=a 2-d=3，∴a n =a 1+（n-1）×d=2n+1，又b 1=a 1+2=5，b 2=a 2+5=10，∴q=2，∴ b n =5⋅2n−1 ．（2）由（1）知，a n +b n =2n+1+5×2n-1，所以T n = n (3+2n+1)2 + 5−5×2n 1−2=5×2n +n 2+2n-5．【点评】：本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，点M 为棱A 1B 1的中点．（1）求证：C 1M || 平面DB 1E ；（2）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明C 1M 与平面DB 1E 的法向量数量积为零即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．【解答】：（1）证明：建系如图，C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3），C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−2，−2) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），令 n ⃗ =(1，−1，2) ，因为 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =0， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ， 所以 n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的法向量，因为 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0，C 1M⊄平面DB 1E ，所以C 1M || 平面DB 1E ．（2）解：由（1）知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，2，0) ， n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的一个法向量， 设AB 与平面DB 1E 所成角为θ，所以 sinθ=|cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |=√33， 所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为 √33 ．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知点P （1，m ）是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y=k （x-1）与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）若|AB|=8，求k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程．（2）设出AB坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px的准线为x=p2，由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2．所以抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y=k(x−1)y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，Δ=16k2+16＞0，∴ x1+x2=2k2+4k2，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8，解得：k=±1，所以k的值为1或-1．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查，中档题．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）设b n=a n+1a n+1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）将条件中的递推式整理为a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），从而可证数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）化简数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法求和．【解答】：（1）证明：因为当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n，所以a n+1+2a n-1=3S n-3S n-1=3a n，所以a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），即a n+1−a na n−a n−1=2，（n≥2，n∈N*），又a2-a1=3-1=2，所以数列{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列；解：（2）由（1）知，a n+1−a n=2⋅2n−1=2n，则a1=1，a2−a1=21，a3−a2=22，…… a n−a n−1=2n−1，各项相加，可得a n=1+21+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n-1，所以b n=a n+1a n+1a n =2n(2n+1−1)(2n−1)= 12n−1−12n+1−1，故 T n=b1+b2+…+b n= 121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1= 121−1−12n+1−1= 1−12n+1−1．【点评】：本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√33，求三棱锥M-ACP体积．【正确答案】：【解析】：（1）可证△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，可得PA⊥AB，进而AB⊥平面PAC，可证结论；（2）过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，△MND是等腰直角三角形，可解得x，从而可求体积．【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=1，BC=2，∴AC= √2，AB= √(BC−AD)2+CD2 = √2，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，（2）解：过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，若cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，则AN=x，ND=1-x，∵△MND是等腰直角三角形，解得x=1-x，所以MN= 12，所以M是PD的中点，所以V P-ACM= 12 V P-ACD= 12× 13× 12×1×1×1= 112．【点评】：本题考查线线垂直的证明，以及空间几何体的体积，属中档题．22.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】：解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，则判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，则x1+x2= −2kb9+k2，则x M= x1+x22= −kb9+k2，y M=kx M+b= 9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM= y Mx M = −9k，即k OM•k=-9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，即k2m2＞9b2-9m2，∵b=m- k3m，∴k2m2＞9（m- k3m）2-9m2，即k2＞k2-6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y= −9kx，设P的横坐标为x P，由{y=−9kx9x2+y2=m2得x P2=k2m29k2+81，即x P=3√9+k2，将点（m3，m）的坐标代入l的方程得b= m(3−k)3，即l的方程为y=kx+ m(3−k)3，将y= −9k x，代入y=kx+ m(3−k)3，得kx+ m (3−k )3 = −9kx 解得x M =k (k−3)m 3(9+k 2) ， 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，于是 3√9+k 2 =2× k (k−3)m 3(9+k 2) ， 解得k 1=4- √7 或k 2=4+ √7 ，∵k i ＞0，k i ≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4- √7 或4+ √7 时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】：本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2020-2021学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题 解析版
2020-2021学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x2．已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若向量，，且，则实数λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．﹣14．已知圆C的圆心是直线x+y+1＝0与直线x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C 交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2＝18B．C．（x+y）2+y2＝18D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝﹣12x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．6B．C．D．6．若函数f（x）＝2x+在区间[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥2C．a＜2D．a≤27．一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A．当x＝2时，V有极小值B．当x＝2时，V有极大值C．当时，V有极小值D．当时，V有极大值8．设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x）若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2019，+∞）C．（2019，+∞）D．（0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f'（x），g'（x），h（x）＝f（x）﹣g （x），下列命题中正确的是（）A．若f'（x）＞0，g'（x）＞0，则h（x）单调递增B．若f'（x）＞0，g'（x）＜0，则h（x）单调递增C．f'（x）＜0，g'（x）＞0，则h（x）单调递减D．若f'（x）＜0，g'（x）＜0，则h（x）单调递减10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线B．设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P 的轨迹为椭圆C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点11．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2B．a1﹣c1＝a2﹣c2C．c1a2＞a1c2D．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．x0＝2是f（x）的极小值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．直线l过坐标原点且与线y＝e x相切，则l的方程为．14．已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是．15．如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为米（精确到0.1米）．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC 中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为．四、解答题：解答应写出文字说明。
2020-2021学年广东省广州市海珠区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市海珠区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|-3＜x＜3}，集合B={x|x2-3x-4≥0}，则A∩B=（）A.（-3，1]B.[-2，3）C.（-3，-2]D.（-3，-1]2.（单选题，5分）已知椭圆x225+y216=1，则该椭圆的离心率为（）A. 45B. 1625C. 35D. 9253.（单选题，5分）已知命题p：∃a≥0，a2+a＜0，则命题￢p为（）A.∀a≥0，a2+a≤0B.∀a≥0，a2+a＜0C.∀a≥0，a2+a≥0D.∃a＜0，a2+a＜04.（单选题，5分）等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=-3，则a7+a8+a9=（）A.24B. 32C. 34D. −2785.（单选题，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.π+2B. 3π+23C. 2+3π6D. 2π+366.（单选题，5分）设正数m，n满足1m +1n=1，则9m+4n的最小值为（）A.9B.16C.25D.267.（单选题，5分）椭圆x2m2+y2n2=1(m＞n＞0)和双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，点P是这两曲线的一个交点，则|PF1|⋅|PF2|的值为（）A.m2-a2B. 12（m-a）C. √m−√aD.m-a8.（单选题，5分）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30°角，则该椭圆的离心率为（）A. 2√33B. √32C. √63D. 129.（多选题，5分）已知命题p：若x＜y＜0，则-x＞-y，命题q：若x＜y，则x2＜y2，则下列命题中真命题（）A.p∧qB.p∨qC.p∧（￢q）D.（￢p）∨q10.（多选题，5分）已知 1a ＜1b ＜0 ，则下列不等式正确的是（ ） A. 1a+b ＜1abB.|a|+b ＞0C.lna 2＞lnb 2D. a −1a ＞b −1b11.（多选题，5分）已知直线l 1、l 2的方向向量分别是 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，4，x ）， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，y ，2），若| AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=6且l 1⊥l 2，则x+y 的值可以是（ ） A.-3B.-1C.1D.312.（多选题，5分）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为 √63 ，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A.椭圆C 的方程为 y 23 +x 2=1B.椭圆C的方程为 x 23 +y 2=1 C.|PQ|= 2√33D.△PF 2Q 的周长为4 √313.（填空题，5分）已知x ，y 满足条件 {x −y +1≥0x +y −3≤0y ＞1，则 z =−32x +y 的最小值为___ ． 14.（填空题，5分）数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n = 2n (n+2) ，则S 4=___ ．15.（填空题，5分）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2， AA 1=2√2 ，若M 是AA 1的中点，则BM 与平面B 1D 1M 所成角的正弦值是___ ．16.（填空题，5分）过双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___ .（用区间表示）17.（问答题，10分） ① a 4+a 5=-4， ② a 2+a 6=-6， ③ S 7=14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k的值；若k 不存在，说明理由．问题：等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 7=3，若 ____，是否存在k ，使得S k-1＞S k 且S k ＜S k+1？18.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P到两点M（√3，0），N（−√3，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线y=kx+2与曲线C有公共点，求实数k的取值范围．19.（问答题，12分）某公司进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝、低碳排放”．经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本y（元）与二氧化碳月处理量x（x∈[300，600]，单位：吨）之间x2 -300x+80000，假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200满足函数关系y= 12元．（1）该公司二氧化碳月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低，最低平均成本是多少？（2）该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少？（月收益=月收入-月处理成本）20.（问答题，12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点．（1）求证：AB1 || 平面DBC1；（2）若AB1⊥BC1，求二面角D-BC1-C的余弦值．21.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +3n+1（n∈N*）．（1）求证：数列 {an 3n } 是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证： S n3n ＞3n 2−74 ．22.（问答题，12分）已知点A （1，0），E ，F 为直线x=-1上的两个动点，且 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 满足 EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M ，N ，如果 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4 ，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标．。
广东省东莞市2023年高二上学期期末考试数学试题+答案解析(附后)
广东省东莞市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列，，1，3，5，的一个通项公式为( )A. B. C. D.2.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D.4.已知直线l过点，且其方向向量，则直线l的方程为( )A. B. C. D.5.如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则( )A. 5B. 13C.D.6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则( )A. 8B. 7C. 6D. 57.设P，Q分别为直线与上任意一点，则PQ的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68.定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，P 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以为直径的圆的位置关系是( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.若，则方程可能表示下列哪些曲线( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 两条直线11.已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列结论正确的是( )A. 四边形MAPB面积的最小值为4B. 四边形MAPB面积的最大值为8C. 当最大时，D. 当最大时，直线AB的方程为12.某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的从2021年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的变成绿地，同时，前一年绿地的又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是( )A. 2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的B. 2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的C. 在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过D. 在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到全覆盖三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点B，则__________.14.在数列中，，，则数列的前6项和为__________.15.曲线围成的图形的面积为__________.16.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M ，N两点点M位于第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
精品解析：广东省广州市2021-2022学年七年级上学期期末考试数学(B)试题(解析版)
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知：成本+利润=售价，设这种商品每件的成本是 元，则提高30%后的标价为 元；打9折出售，则售价为 ，列出方程即可.
【详解】由题意可知：售价=成本+利润，设这种商品每件的成本是 元，则提高30%后的标价为 元；
打9折出售，则售价为 ；
根据：售价=成本+利润，列出方程：
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：左面可看见一个小正方形，中间可以看见上下各一个，右面只有一个．
故选A．
5.若x＝2是关于x的方程x+2m+6＝0的解，则m的值是（ ）
A.﹣4B.4C.﹣2D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，把x＝2代入方程x+2m+6＝0即可求出m的值．
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用单项式的系数与次数的定义分析得出答案．
【详解】解：单项式 的系数为-9，次数为6.
故选：A.
【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
4.由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，其主视图是（）
故选C．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，熟练掌握化简的方法是解题的关键．
2.将有理数682000000用科学记数法表示，其中正确的是（ ）
A.68.2×108B.6.82×108C.6.82×107D.6.82×109
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
2021-2022学年广东省广州市番禺区高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|0＜x＜1}，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（-1，2）C.（0，1）D.（0，2）2.（单选题，5分）设i是虚数单位，则复数z=2i（3-2i）对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）直线l1：mx+y-1=0与直线l2：（m-2）x+my-1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，5分）函数y=ln（1-x）的图象大致为（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）在空间四边形OABC 中， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，点M 在线段OA上，且OM=2MA ，N 为BC 的中点，则 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ） A. 12 a - 23 b ⃗ + 12c B.- 23 a + 12 b ⃗ + 12c C. 12a +12b ⃗ −23c D. 23a +23b ⃗ −12c 6.（单选题，5分）直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程为（ ）A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=07.（单选题，5分）过双曲线 C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的左焦点F 1作x 轴的垂线交曲线C 于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=45°，则双曲线的离心率为（ ）A. √22B. √2−1C. √2D. √2+18.（单选题，5分）在等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 3+a 8＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n ＜0成立时n 的最小值为（ ）A.6B.7C.9D.109.（多选题，5分）已知f （x ）=2sinxcosx+2 √3 cos 2x- √3 ，下列说法正确的有（ ）A.f （x ）的最小正周期为2πB.f （x ）的最大值为2C.f （x ）的图象关于 x =π3 对称D.f （x ）的图象关于 (−2π3，0) 对称 10.（多选题，5分）在空间中，已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α是一平面，下列说法正确的是（ ）A.若a || b ，b || c ，则a || cB.若a⊥b ，b⊥c ，则a⊥cC.若a⊥α，b⊥α，则a || bD.若a || α，b || α，则a || b11.（多选题，5分）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n }是等积数列，且a 1=3，前7项的和为14，则下列结论正确的是（ ）A.a n+2=a nB.a 2= 23C.公积为1D.a n a n+1a n+2=612.（多选题，5分）设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．过焦点F 的直线交曲线C 于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，则（ ）A.以PF 为直径的圆与准线l 相切B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. x 1x 2=p 24 D. 1|FP|+1|FQ|=2p13.（填空题，5分）已知向量 a =(1，−3，2) ， b ⃗ =(−2，m ，−4) ，若 a ⊥b⃗ ，则实数m 的值是 ___ ．14.（填空题，5分）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 13 ， 14 ，则密码被成功破译的概率 ___ ．15.（填空题，5分）已知圆O ：x 2+y 2=1，过点P （2，1））作圆O 的切线，则切线方程为 ___ ．16.（填空题，5分）已知A ，B 为x ，y 轴正半轴上的动点，且|AB|=4，O 为坐标原点，现以|AB|为边长在第一象限做正方形ABCD ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ． 17.（问答题，10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 S n =2n+1−2 ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.（问答题，12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且ccosB+（b-2a ）cosC=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积S的最大值．19.（问答题，12分）2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15～65小时内，其数据分组依次为：[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]，得到频率分布直方图如图所示，其中a-b=0.028．（Ⅰ）求a，b的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（Ⅱ）学校要在参加公益劳动总时间在[35，45）、[45，55）这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB || CD，AB⊥BC，AB=2CD，O为BD的中点，BD=4，PB=PC=PD=√5．（1）证明：OP⊥平面ABCD；（2）若BC=CD，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21.（问答题，12分）已知A（-2，0），B（2，0），设动点P满足直线PA与PB的斜率之，记动点P的轨迹为曲线E．积为−34（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点（1，0），且与曲线E交于C，D（不同于A（-2，0），B（2，0））两点，则直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x+2-x．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若mf（x）≤2-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．。
2021-2022学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知A（3，5），B（1，7），则直线AB的倾斜角大小是（）A.45°B.60°C.120°D.135°2.（单选题，5分）已知空间向量a⃗=(2，1，−3)，则向量a⃗在坐标平面xOy上的投影向量是（）A.（0，2，1）B.（2，1，0）C.（0，1，-3）D.（2，0，-3）3.（单选题，5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A. (1，0)2B.（1，0）)C. (0，12D.（0，1）4.（单选题，5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.3盏B.7盏C.9盏D.11盏5.（单选题，5分）圆C1：x2+y2=16与圆C2：（x-4）2+（y+3）2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切6.（单选题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线OB1与A1D所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π2 7.（单选题，5分）已知曲线C ：mx 2+ny 2=1，则下列结论正确的是（ ）A.若m=0，n=1，则C 是两条直线，都平行于y 轴B.若m=n ＞0，则C 是圆，其半径为 1nC.若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D.若m ＞0，n ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =±√−m n x8.（单选题，5分）已知{a n }是各项均为整数的递增数列，且a 1≥5，若a 1+a 2+⋯+a n =300，则n 的最大值为（ ）A.18B.19C.20D.219.（多选题，5分）已知点P 是△ABC 所在平面外一点，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-1）， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，3，2）， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，0，-4），则（ ） A.AB⊥APB.BC⊥APC. |AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5 D. |BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√19 10.（多选题，5分）已知直线l ：ax+by=r 2与圆C ：x 2+y 2=r 2（r ＞0），则下列结论正确的是（ ）A.若点P （a ，b ）在圆C 内，则直线l 与圆C 相交B.若点P （a ，b ）在圆C 外，则直线l 与圆C 相离C.若直线l 与圆C 相切，则点P （a ，b ）在直线l 上D.若直线l 与圆C 相离，则点P （a ，b ）在圆C 内11.（多选题，5分）已知数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）A. {a n+1a n } 是等差数列B.{a n+1-a n }是等差数列C.{log 3a n }等比数列D.{a n a n+1}是等比数列12.（多选题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为平面ABCD内一动点，则下列命题正确的是（）A.若点N到点M的距离为2，则点N的轨迹所围成图形的面积为3πB.若直线MN与平面ABCD所成的角为π6，则点N的轨迹为椭圆C.若直线MN与直线BC所成的角为π6，则点N的轨迹为双曲线D.若点N到直线CC1的距离与点N到直线AD的距离相等，则点N的轨迹为抛物线13.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2- 1a n(n∈N∗），则a5=___ ．14.（填空题，5分）已知直线l1：ax-y+1=0与l2：（a-2）x+ay-1=0平行，则实数a的值为___ ．15.（填空题，5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，则点C1到平面A1BC的距离为 ___ ．16.（填空题，5分）已知椭圆x225+y216=1的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段PF的中点M在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ___ ．17.（问答题，10分）在平面直角坐标系xOy中，A（-1，1），B（3，3），C（2，0）．（1）求△ABC的面积；（2）判断O，A，B，C四点是否在同一个圆上？并说明理由．18.（问答题，12分）在① a3+b3=9；② a2+b3=a4这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q＞0）的等比数列，且a1=b1=1，a2+b2=5，___ ．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，△PAC是边长为6的等边三角形，PB=√30．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20.（问答题，12分）已知椭圆C1：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B 两点，交C2于C，D两点，且|AB|=43|CD|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为8，求C1与C2的标准方程．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD || BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13，点G在PB上，且PGPB=23．（1）求证：AG || 平面PCD；（2）求二面角F-AE-D的余弦值．22.（问答题，12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且过点A（2，3）．（1）求C的方程；（2）若点M，N在C上，且AM⊥AN，AB⊥MN，B为垂足．是否存在定点Q，使得|BQ|为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．。
广东省广州市荔湾区2021-2022学年高二上学期期末教学质量监测数学试题
高二数学试题
一、选择题：本题共有 8 小题。每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求：
1.数列｛an｝满足 a1＝1，an＝an-1＋2n（n≥2），则 a3＝（ ）
A.3 B.5
C.11
D.13
2．若｛a，b，c｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ )
为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若
＝0，则点 A 的横坐标为（ ）
A．2 或 1 B.3
C．3 或 1 D.2
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对 5 分，部(m-1)x2＋(3-m)y2＝(m-1)(3-m)，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5．与圆 C1：(x＋2)2＋y2＝1 和圆 C2：(x-2)2＋y2＝4 都外切的动圆圆心的轨迹是（
)
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线 D.圆
6．直线
与双曲线
（a＞0）相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标之积-9，
则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
7．去年某地产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 14 万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环
则 a5 =
,a2022=
16．如图，已知直线与抛物线 y2＝2px（p＞0）交于 A，B 两点，且 OA⊥OB，OD⊥AB 交 AB 于点 D，点 D 的坐标为（2,1），则 p＝ 四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题满分 10 分）
2021-2022学年广东省江门市高二上学期期末调研(一)数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省江门市高二上学期期末调研（一）数学试题一、单选题1．直线2210x y -+=的倾斜角是（ ）． A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】A【分析】先求斜率，再求倾斜角【详解】2210x y -+=，则斜率1k =，设倾斜角是α，0απ≤< ，即tan 1α=， 所以4πα=故选：A2．圆224240x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()2,1-，1r = B ．()2,1-，2r = C ．2,1，1r = D ．2,1，2r =【答案】A【分析】根据圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】由于圆224240x y x y ++-+=，所以其圆心坐标为42,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,1-；半径为1=. 故选：A.3．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-+，则这个数列的通项公式为（ ）A ．42n a nB ．32n a n =-+C ．1,1,4 2.2n n a n n -=⎧=⎨-+≥⎩D ．1,1,32,2n n a n n -=⎧=⎨+≥⎩【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行计算.【详解】当1n =时，11211;a S ==-+=-当2n ≥时，()2212121142;n n n a S S n n n -=-=-++--=-+ 故选：C4．在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ） A ．3010B ．12C ．7010D ．3015【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===， 则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =-，()11,0,2AF =-， 设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒， 则11330cos 1056AF BD AF BD α⋅===⨯⋅， 所以270sin 1cos 10αα=-=，即1BD 与1AF 所成角的正弦值是7010. 故选：C.5．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.6．己知12,F F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．36B ．25C ．20D ．16【答案】B【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆22:1259x y C +=易知5a =，根据椭圆定义可知12210MF MF a +==， 所以21212252MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125MF MF ==时，等号成立，所以1225MF MF ⋅≤，即12MF MF ⋅的最大值为25. 故选：B.7．直线()()()222350R m x m y m ++-+=∈与圆22:(1)(2)16C x y -++=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．6 B ．4C．D．【答案】D【分析】先求出直线经过的定点P，再由弦长公式AB =AB PC ⊥时，AB 最小，从而可求得结果.【详解】因为()()222350m x m y ++-+=可化为()22350x y m x y ++-+=，令()202350x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线AB 恒过定点(1,1)P -，该点在圆内，因为AB =AB 的最小值，即求圆心C 到直线AB 的最大距离d ， 显然当AB PC ⊥时，d PC =最大，AB 最小，又因为圆22:(1)(2)16C x y -++=，所以圆心()1,2C -，216r =，则PC ==故此时2AB ==故选：D.8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A ．4x ＋2y ＋3＝0 B ．2x －4y ＋3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0【答案】B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出AB 中点和AB 的斜率后可得． 【详解】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为1(,1)2，kAB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝1122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2x －4y ＋3＝0.故选：B ．二、多选题9．若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+ D ．,,a b a b c c +++【答案】ABD【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.【详解】A ：()()12b a b a a ⎡⎤=+-⎦+⎣，A 是； B: ()()12b bc b c ⎡⎤=-++⎣⎦，B 是； C ：{,,}a b c 构成空间的一个基底，故c 无法用,a b 表示，C 不是； D ：()()c a b c a b =++-+，D 是； 故选：ABD10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）．A ．1d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质可求公差和9S ，从而可判断ABCD 的正误. 【详解】因为35a =，73a =，故35142d -==-，故A 错误，B 正确. 而()()91937999836222S a a a a =⨯+=⨯+=⨯=，故C 错误，D 正确.故选：BD.11．已知曲线C 的方程为221282x y m m+=+-，则（ ）A ．当2m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为7y x =± C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C 【答案】AD【分析】对于AB ，代入曲线C 的方程，结合圆的标准方程与双曲线的性质即可判断； 对于C ，结合选项B 的分析举反例即可排除；对于D ，先由曲线C 为双曲线求得m 的范围，22a b =，分类讨论2m <-与4m >两种况情，从而求得10m =，据此判断即可.【详解】对于A ，当2m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22144x y +=，即224x y +=，所以曲线C 是圆，故A 正确；对于B ，当5m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22172x y -=，所以曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =，故B 错误； 对于C ，当1m >时，不妨令5m =，由选项B 可知曲线C 为双曲线，故C 错误；对于D ，假设存在实数m 使得曲线C 因为曲线C 为双曲线，所以(2)(82)0m m +-<，解得2m <-或4m >，，即ca=222c a b =+，易得22a b =， 当2m <-时，曲线C ：()221822y x m m -=--+，则()822m m -=-+，解得10m =，舍去； 当4m >时，曲线C ：221228x y m m -=+-，则228m m +=-，解得10m =，满足题意；综上：存在10m =满足题意，故D 正确. 故选：AD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，EF 是棱AB 上的一条线段，且12EF =点Q 是棱11A D 的中点，点P 是棱11C D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．PQ 与EF 一定不垂直B ．二面角P EF Q --C ．点P 到平面QEF 的距离是定值D ．PEF 【答案】BCD【分析】对于A ，利用特殊位置法，当P 与点1D 重合时即可判断；对于B ，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角P EF Q --的余弦值的绝对值，从而即可判断；对于C ，由线面平行的判定定理判断得到11//C D 平面QEF ，即可判断；对于D ，利用线面垂直的性质定理可得1BC 是PEF 的高，再利用三角形的面积公式求解即可判断． 【详解】对于A ，当P 与点1D 重合时，由正方体的性质易得PQ ⊥面11AA B B ，而EF ⊂面11AA B B ，所以PQ EF ⊥，故A 错误；对于B ，由于点P 是棱11C D 上的动点，EF 是棱AB 上的一条线段，所以平面PEF 即平面11ABC D ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()11,0,2,2,0,0,2,2,0,0,0,2Q A B D ， 所以()1(1,0,2),(0,2,0),2,0,2QA AB AD →→=-==-，因为平面QEF 即平面QAB ，设平面QAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n QA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则(2,0,1)n →=，设平面11ABC D 的法向量为(),,m a b c =，则100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020a c b -+=⎧⎨=⎩，令1c =，则(1,0,1)m →=，设二面角P EF Q --为θ，0πθ≤≤，所以||21310|cos |cos ,1025||||m n m n m n θ→→→→→→⋅+====⨯， 故2231010sin 1cos 11010θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，由于11//C D EF ，且11C D ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11//C D 平面QEF ， 又点P 在11C D 上，所以点P 到平面QEF 的距离是定值，故C 正确； 对于D ，由于AB ⊥平面11BB CC ，又1BC ⊂平面11BB CC ，所以1AB BC ⊥，所以1BC EF ⊥，又11//C D EF ，所以1BC 是PEF 的高， 所以11112222222PEFSEF BC =⋅⋅=⨯⨯=，故D 正确. 故选：BCD ．.三、填空题13．已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点，则m =______．【答案】4【分析】求出椭圆的焦点，再解方程35m =+. 【详解】解：由题意得椭圆的焦点为()3,0-和()3,0， 所以35m =+4m =． 故答案为：414．已知点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，则OB =__________.【分析】按照点关于平面对称的规律求出B 的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可. 【详解】因为点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点， 所以()2,1,3B ，所以22OB==15．如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项和等于330，那么这个数列的首项等于__________. 【答案】1031【分析】利用等比数列前n 项和公式得到方程组，两式作商即可求出q ，进而可求得1a . 【详解】设该等比数列的首项为1a ，公比为()1q q ≠，则()()51510110110113301a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，所以()()10151113311a q q a q q --=--，即1051331q q -=-， 所以()()55511331q q q-+=-，则5133q +=，即532q =，所以2q ，将2q代入510S =得，()11321012a -=-，解得11031a =，所以这个数列的首项等于1031.故答案为：1031. 16．若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.【答案】14##0.25【分析】根据已知可得OC OA m n ⋅=+=，2221OA m n =+=，利用完全平方公式求得mn ，再根据cos ||||mn OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅即可求得答案.【详解】因为两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，π4AOC BOC ∴∠=∠=，||3OC =，||||1OA OB ==， π||||cos4OC OA OC OA ∴⋅=⋅⋅1==2221OA m n =+=， 又OC OA m n⋅=+，则m n +()()222221212mn m n m n ∴=+-+=-=⎝⎭，即14mn =， n OA OB m ⋅=，4cos ||||1OA OB AOB OA O mn B ⋅∴∠===⋅.故答案为：14.四、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n n a -=（2）21n nT n =+ 【分析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去）， ∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．在正四面体OABC 中，,,,E F G H 分别是,,,OA AB BC OC 的中点.设OA a =，,.OB b OC c ==(1)用,,a b c 表示,EF FG ； (2)用向量方法证明； ①EF FG ⊥； ②,,,E F G H 四点共面.【答案】(1)12EF b =，1122FG c a =-(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得12EF OB =，12FG AC =，再由向量的减法运算即可得到答案； （2）①利用空间向量数量积的运算律求得0EF FG ⋅=，从而可证；②用向量a ，b ，c 分别表示出EG ，EF ，EH ，从而得到EG EF EH =+，再利用空间向量的共面定理即可得证.【详解】（1）因为E ，F 分别是OA ，AB 的中点， 所以//EF OB 且12EF OB =，所以1122EF OB b ==，因为F ，G 分别是AB ，BC 的中点，所以//FG AC 且12FG AC =， 所以1111122222FG AC OC OA c a ==-=-．.（2）①不妨设正四面体的棱长为a ，则由题意知向量a ，b ，c 中，两两之间的夹角均为π3，且a b c a ===，所以2π1cos 322a a b a b a a ⋅=⋅=⨯⨯=，同理22a a c b c ⋅=⋅=，所以()()1110224EF FG b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，故EF FG ⊥；②因为()11112222EG OG OE OB OC OA b c a =-=+-=+-，()()1122EH OH OE OC OA c a =-=-=-，12EF b =，所以EG EF EH =+， 所以,,,E F G H 四点共面．19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上一点A 到F 的距离是4，求A 的坐标. 【答案】(1)28y x = (2)()2,4或()2,4-【分析】（1）由题意求得抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点线距离公式求得p 值，从而得到抛物线方程；（2）由抛物线的定义可求得A 点横坐标，再代入抛物线方程即可得解.【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点F 为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为3y =，即30x ±=， 则焦点F 到双曲线2213xy -=()222113p =+±，解得4p =（负值舍去），故抛物线的方程为28y x =.（2）设()00,A x y ，由抛物线的定义可知042pAF x =+=，即0442x +=，解得02x =，将02x =代入抛物线方程28y x =，得04y =±， 所以A 的坐标为()2,4或()2,4-．20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈.(1)求证：{}3nn a -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析 (2)()135122n n ++--【分析】（1）由递推式变形得11313n n nn a a ++-=--，从而利用等比数列的定义即可得证； （2）由（1）求得()321nn n a =⨯-+，再利用分组求和法与等比数列的前n 项和公式即可得解.【详解】（1）因为数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈，所以()1133n nn n a a ++-=--，即11313n n nn a a ++-=--， 又1132a -=-，故数列{}3nn a -是以2-为首项，1-为公比的等比数列；（2）由（1）可得()()()132121n n n n a --=-⨯-=⨯-，则()321nn n a =⨯-+，所以()()()212321321321n n n S =+⨯-++⨯-+++⨯-()()()()2213331121n n⎡⎤+++++⎣⎦=-+-+-()313(1)1(1)2131(1)n n ⎡⎤⨯--⨯=--⎣⎦+⨯---()152231n n ++--=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，三角形PAD 为等边三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且1,2AB AD AD AB CD ⊥==，E 为棱PC 上的动点.（1）若13PE PC =，AC 交BD 于H ，证明：//EH 平面PAD ；（2）若E 为棱PC 的中点，且过,,A B E 三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为23，求CD 的长，并求直线PC 与该截面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4，55. 【分析】（1）::1:2AH HC PE EC ==，结合12PE EC =，证得//EH PA ，从而证明//EH 平面PAD . （2）作出截面ABEF ，由其面积求得CD 的长，建立空间直角坐标系，求得PC 的方向向量及截面ABEF 的法向量，由向量间夹角关系求得线面夹角的正弦值. 【详解】（1）由题意得12PE EC =，又底面ABCD 为梯形，//AB CD ，12AB CD =，∴::1:2AH HC PE EC ==，∴//EH PA . 又EH ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴//EH 平面PAD .（2）如图，取PD 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥且12EF CD =， 又由题意得//AB CD ，12AB CD =，所以,EF AB EF AB =∥，所以四边形ABEF 为平行四边形， 即四边形ABEF 为所截得的截面.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =， 所以AB ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AB AF ⊥， 所以四边形ABEF 为矩形. 令==AB AD a ，则3AF =，2323ABEF S =四边形2a =，所以2,4AB CD ==， 取AD 的中点O ，连接OP . 由题意得OP ⊥底面ABCD .以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，平行于AB 的直线OG 为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,4,0)C -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，13(,2,)22E -， 故33(1,4,3),(0,2,0),(,2,)22PC AB AE →→→=--==-. 设平面ABE 的法向量为(,,),n x y z →=则00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332022y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则平面ABE 的一个法向量为(1,0,3).n →=设直线PC 与截面ABEF 所成的角为θ，则(1,0,3)(1,4,3)5sin |cos ,|||.5225n PC θ→→⋅--===⨯ 所以直线PC 与截面ABEF 所成角的正弦值为55. 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，把线面夹角问题转化为向量间的夹角问题求解. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线2212y x -=的焦距相同，且椭圆C 经过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆C 的上､下顶点分別为,A B ，点P 在椭圆C 上且异于点,A B ，直线,AP PB 与直线:2l y =-分别交于点,M N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过y 轴上的定点？请证明你的结论.【答案】(1)2214x y +=(2)是；证明见解析【分析】（1）根据椭圆与双曲线的几何性质及点在椭圆上列出方程，解之即可得解；（2）先利用点在椭圆上及斜率公式证得1214k k ⋅=-，再联立直线方程分别求得,M N 的坐标，从而写出以MN 为直径的圆的方程，令0x =，即证得该圆必经过y 轴上的定点. 【详解】（1）因为双曲线为2212y x -=，所以2213c =+=，又因为椭圆2222:1x y C a b +=和双曲线的焦距相同，所以2223c a b =-=，将12P ⎫⎪⎭代入椭圆方程222213x y a a +=-，可得42425360a a -+=， 解得24a =或294a =（舍去）， 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是，证明如下：由（1）得椭圆C ：2214x y +=，所以()()0,1,0,1A B -，令()00,P x y ，则由题设可知00x ≠， 所以直线AP 的斜率0101,y k PB x -=的斜率为0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以()220001,04x y x +=≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-， 又易得AP 的方程为()110y k x -=-，直线PB 的方程为()()210y k x --=-， 由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，解得13 2x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，解得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 所以，直线AP 与直线l 的交点13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线PB 与直线l 的交点21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设点(),Q x y 是以 MN 为直径的圆上的任意一点，则0MQ NQ ⋅=， 故有1231(2)(2)0x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1214k k =-，所以以 MN 为直径的圆的方程为22113(2)1240x y k x k ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭，令0x =，则2(2)120y +-=，解得2y =-+2y =-- 所以以 MN为直径的圆恒过定点(0,2-+或(0,2--.【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键有两点，一是利用点在椭圆上证得1214k k ⋅=-，二是以()()1122,,,M x y N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。
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广州市初中统考2021届高二上学期数学期末试卷一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(3)0.031P x >=，则(13)P x -<<=( ) A ．0.031 B ．0.969C ．0.062D ．0.9382．某公司2013—2018年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如表所示：A ．利润中位数是16，x 与y 有正相关关系B ．利润中位数是17，x 与y 有正相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有负相关关系D ．利润中位数是18，x 与y 有负相关关系3．若，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．4．某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是 A.两次都不中 B.至多有一次中靶 C.两次都中靶D.只有一次中靶5．当 1,2,3,4,5,6n = 时，比较 2n 和 2n 的大小并猜想A.1n ≥ 时，22n n >B.3n ≥ 时，22n n >C.4n ≥ 时，22n n >D.5n ≥ 时，22n n >6．设有一个回归方程y ＝6－6.5x ，变量x 每增加一个单位时，变量y 平均( ) A ．增加6.5个单位 B ．增加6个单位 C ．减少6.5个单位 D ．减少6个单位7．已知复数21iz i=-，z 为z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）A ．2-B ．0CD ．28．把38化为二进制数为 ( )A ．B ．C ．D ．9．若p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则( ) A ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x > B ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x > C ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥D ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x ≥10．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k 则A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．132k k k <<D ．321k k k <<11．为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ） A.30B.90C.150D.21012．已知全集为R ，集合22{|}{|2}230A x log x B x x x =<=->-，，则()R A B ⋂ð等于( )A ．[1，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)二、填空题13．一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上点的最短距离是 . 14．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．15．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，给出定义：设'()f x 是()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数32115()33212g x x x x =-+-，则1220182018g g ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20172018g ⎛⎫+⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭__________．16．已知()(421a x +的展开式的所有项系数的和为192，则展开式中2x项的系数是______.三、解答题17．在如图所示的几何体中，平面平面，四边形和四边形都是正方形，且边长为，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小.18．（1）解不等式:（2）设，求证：19．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与该椭圆相交于、两点，若线段恰被点所平分，求直线的方程.20．命题方程表示双曲线；命题不等式的解集是.为假，为真，求的取值范围.21．伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：认为“使用手机支付”与人的年龄有关；“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；参考数据如下：参考格式：，其中22．某土特产销售总公司为了解其经营状况，调查了其下属各分公司月销售额和利润，得到数据如下表：月销售额万元月利润万元Ⅰ根据如下的参考公式与参考数据，求月利润y与月销售额x之间的线性回归方程；Ⅱ若该总公司还有一个分公司“雅果”月销售额为10万元，试求估计它的月利润额是多少？参考公式：，，其中：，．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．14．(17,15)15．201716．45三、解答题17．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连结交于，根据平行四边形性质得是中点，再根据三角形中位线性质得，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角. 试题解析：（1）∵且，与交于点，与交于点∴平面平面，∴几何体是三棱柱又平面平面，，∴平面，故几何体是直三棱柱（1）四边形和四边形都是正方形，所以且，所以四边形为矩形；于是，连结交于，连结，是中点，又是的中点，故是三角形D的中位线，，注意到在平面外，在平面内，∴直线平面（2）由于平面平面，，∴平面，所以.于是，，两两垂直.以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为，且为中点，所以，，，于是，，设平面的法向量为则，解之得，同理可得平面的法向量，∴记二面角的大小为，依题意知，为锐角，，即求二面角的大小为18．（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据零点分段法，分三段建立不等式组，解出各不等式组的解集，再求并集即可.（2）运用柯西不等式，直接可以证明不等式，注意考查等号成立的条件，.【详解】（1）解：原不等式等价于或或即：或或故元不等式的解集为：（2）由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立.所以【点睛】本题考查绝对值不等式得解法、柯西不等式等基础知识，考查运算能力.含绝对值不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；19．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列出方程求出a,b，即可得到答案（2）解法一：运用点差法，设出点坐标，代入求出结果；解法二：联立直线方程与椭圆方程，求出交点的横坐标的和，由中点坐标求出结果【详解】解：（1）由题意得，解得，.则椭圆的方程为；（2）法一：很明显点在椭圆内部，设、，①-②得：的中点为，所以，.代入上式得，得.直线的方程为，即为.法二：若直线斜率不存在，不符合题意.设直线方程为，设、，消去，化简得，由于点在椭圆内部，所以.，解得.直线的方程为，即为.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，在遇到中点坐标时可以采用点差法计算，需要掌握解题方法20．【解析】分析：先化简命题p和q,再根据为假，为真得到真假或假真，最后得到m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围.详解：真：，真：或∴因为为假，为真所以真假或假真，真假得假真得∴范围为.点睛：（1）本题主要考查命题的化简和复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.21．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题中的数据补充列联表，计算出的值，根据临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的问题下结论；（2）先确定年龄在和的人数，可得知的取值有、、、，然后利用超几何分布列的概率公式计算概率，列出随机变量的分布列，并计算出的数学期望。
【详解】（1）根据题意填写列联表，如下；根据表中数据，计算K2的观测值，所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）由题意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：ξ的数学期望是．【点睛】本题第（1）问考查独立性检验，关键在于列出列联表并计算出的观测值，第（2）问考查离散型随机分布列与数学期望，这类问题首先要弄清楚随机变量所服从的分布列，并利用相关公式进行计算，属于常考题型，考查计算能力，属于中等题。
22．（1）（2）5.4万元【解析】试题分析：(1)首先由题意求得平均数，然后利用系数公式计算可得回归方程为 .(2)由题意结合(1)中的结论预测可得“雅果”分公司的月利润额是5.4万元.试题解析：(Ⅰ) 由已知数据计算得：，∴线性回归方程为(Ⅱ)将x=10代入线性回归方程中得到（万元）∴估计“雅果”分公司的月利润额是5.4万元。