高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件

2
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2(x≥2).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).
(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
②-①,得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数
的 值域
.
(2)如果两个函数的
定义域
两个函数是同一个函数.
相同,并且 对应关系 完全一致,那么这
微点拨对函数概念的理解
(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;
(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))
则 f(f(26))等于(
log 5 (-1), ≥ 4,
1
A.
5
1
B.
e
C.1
D.2
)
答案 (1)ln 2
(2)C
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;
当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.
由f(x)=4,得x2+2x+4=4,x≤0,解得x=0或x=-2.
因为f(a)=0不存在,所以舍去.
突破技巧求解分段函数求值问题的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定所求值的自变量属于哪一区间,然后
代入该区间对应的解析式求值;
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;
(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函
数不同段的端点;
(4)求参数或自变量的值或取值范围时,先在分段函数的各段上分别求解,
(1)若两个函数的值域和对应关系相同,则这两个函数必为同一个函
数.( × )
(2)任何函数的图象均不可能是一条封闭的曲线.( √
)
1
(3)f(x)=
+ √-3是一个函数.( × )
2-
2-1, > 1,
-2-1, > 1,
(4)若 f(x)= 2
则 f(-x)= 2
( × )
+ 4, < -1,
则cos x=t+1,由cos x∈[-1,1]知t∈[-2,0],
故原函数可转化为f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],
即f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).
(3)由于 f(x
1
4 1
2 1 2
2 1
+ 2 )=x + 4 =(x + 2 ) -2,且 x + 2 ≥2,当且仅当
(1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)复合函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域
由a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为
g(x)在x∈[a,b]时的值域.
(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
2.求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定
义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连
接,而应该用并集符号“∪”连接.
对点训练1(1)(2023河北衡水中学模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则
分母不能为0;③偶次根式函数的被开方式非负;④零次幂的底数不能为0;
⑤y=ax(a>0,a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域为R;⑥y=logax(a>0,a≠1)的定义
π
域为(0,+∞);⑦y=tan x的定义域为 丨 ≠ π + , ∈ .
2
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
+1
4
函数 f(x)在区间[1,4]上的最大值为(
3
A.2
答案 (1)D
7
B.3
(2)B
)
)
5
C.4
8
D.5
解析(2)由题意
9
f(0)=1,f(3)=4,则
3

f(x)=+1 − 3+1.而
3
4
9
,
4
1
,
3 故函数
=
=
解得
3 = 1,
= 3,
f(x)的解析式为
3

3(+1)-3
函数y=
( + 1)
√-1
+(x-2)0的定义域是(
A.(1,5]
B.(1,2)∪(2,5)
)
C.(1,2)∪(2,3]
D.(1,3]
2 + 2-1
(2)已知函数y=f 2
的定义域是[1,+∞),则函数y=f(x)的定义域
+ -1
是
.
答案 (1)C (2)(1,2]
0 ≤ + 1 ≤ 4,
这是判断两个函数是否为同一个函数的依据;
(3)函数常用的表示方法有:解析法、列表法、图象法.
3.分段函数
解析式中含有绝对值的函数经常可化为分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的
式子来表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数
第三章
第一节 函数的概念及其表示
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标
解读
1.了解函数的概念,会求简单的函数的定义域和值域.
2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.
3.了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.
强基础 增分策略
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是 非空
例 3.(1)(2023 青海西宁二模)已知实数 a≠1,函数 f(x)=
f(1-a)=f(a-1),则 a 的值为(
1
A.2
1
B.-2
4 , ≥ 0,
-
2
若
, < 0,
gt; 2,
(2)已知 a∈R,函数 f(x)=
若 f(f(√6))=3,则 a=
|-3| + , ≤ 2,
然后将求出的值或取值范围与该段函数的自变量的取值范围求交集,最后
将各段的结果合起来(取并集)即可.
-e , > 0,
对点训练 3(1)已知函数 f(x)= 2
若 f(f(a))=4,则
+ 2 + 4, ≤ 0,
a=
.
e-2 , < 4,
(2)(2023 安徽合肥一模)已知 g(x)=
解析(1)由题意,得 -1 > 0,
解得 1<x<2 或 2<x≤3,
-2 ≠ 0,
(+1)
∴函数 y=
+(x-2)0 的定义域是(1,2)∪(2,3].故选 C.
-1
考点二
函数的解析式
典例突破
例2.根据下列条件求函数的解析式:
(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x)满足f(cos x-1)=cos 2x-1,求f(x)的解析式;
1
(3)已知 f 2 + 2

1
=x + 4 ,求 f(x)的解析式;

4
(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
解 (1)依题意设f(x)=ax+b(a≠0),则由3f(x)-2f(x-1)=2x+5
A.(0,1) B.(1,2)
)
C.(0,4] D.(0,2]
(2)(2023 上海嘉定一模)若函数
义域为
.
1
1
y=-1的值域是(-∞,0)∪[2,+∞),则此函数的定
答案 (1)D (2)(-∞,1)∪(1,3]
解析 (1)要使函数 f(x)=ln
x+√16-2 有意义,则
> 0,
解得 0<x≤4,从而
可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,
= 2,
整理得 ax+2a+b=2x+5,于是有
2 + = 5,
= 2,
解得
故 f(x)=2x+1.
= 1,
(2)函数f(x)满足f(cos x-1)=cos 2x-1=2cos2x-1-1=2cos2x-2,设cos x-1=t,
的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照
某种确定的对应关系f,在集合B中都有 唯一确定
的数y和它对应,那么
就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
2.函数的定义域、值域
函数的定义域和值域必须写成集合(或区间)的形式
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;
段区间进行分类讨论,根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自
变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后将各段的
结果求并集即可.
(2)数形结合:解决分段函数问题时,通过画出函数的图象,对代数问题进行
转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.
ln, ≥ 1,
对点训练 4 已知函数 f(x)= 0,0 ≤ < 1,若 f(2a-1)-1≤0,则实数 a 的取值范围
的内层函数.
常用结论
1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.
2.只要两个函数的定义域和对应关系相同,那么它们的值域一定相同.
3.分式型函数
+


f(x)=
(c≠0,bc≠ad)的值域是(-∞, )∪( ,+∞).
+


4.常见函数的定义域:①一次函数、二次函数的定义域为R;②分式函数中
1 2
f(x)= x -2x.
3
x=±1 时,等号成立,
方法总结求函
数解析式的常
用方法
对点训练2(1)若函数f(x)满足f(x)-2f
A.0
B.2
C.3
1
=x+2,则f(2)=(

D.-3
(2)(2023 河南郑州一模)已知函数

9
f(x)=a(3-x)+ 的图象过点(0,1)与(3, ),则
.
答案 (1)A
(2)2
1
1-a
1
2-2a
1
解析(1)由题意,当a<1时,由f(1-a)=f(a-1),得4 =2 ,即2 =2 ,解得a=
2
;当
a>1时,由f(1-a)=f(a-1),得22a-1=4a-1,即22a-1=22a-2,方程无解.综上,实数a的值
1
为
2
.故选A.
(2)f(f( √6))=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.

16-2 ≥ 0,
函数 f(x)的定义域为(0,4].由 0<2x≤4,得 0<x≤2,故函数 f(2x)的定义域为
(0,2].
(2)当
1
y∈(-∞,0)时, <0,解得
-1
1<x≤3.
x<1,当
1
1
y∈[2,+∞)时,
-1
≥
1
1
1
,即
−
≥0,解得
2
2
-1
突破技巧1.求函数定义域的三种常考类型及求解策略
为
.
答案 (-3,3)
解析 由函数解析式知f(x)在R上单调递增,且-f(2)=-2=f(-2),
则f(1-|x|)+f(2)>0⇒f(1-|x|)>-f(2)=f(-2),由单调性知1-|x|>-2,解得-3<x<3.
突破技巧解决分段函数与不等式问题的基本策略
(1)分类讨论:解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分
-4, < -1.
2.函数
1
f(x)=
+ √1-的定义域是
.
答案 (-∞,0)∪(0,1]
≠ 0,
解析要使函数f(x)有意义,则
即x∈(-∞,0)∪(0,1].
1- ≥ 0,
2+1
3.若函数 f(x)= 2
的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是
-2+1
答案 [0,1)
解析 依题意得ax2-2ax+1≠0对∀x∈R恒成立.当a=0时,满足条件;当a≠0时,
应有Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.综上,实数a的取值范围是[0,1).
.
增素能 精准突破
考点一
函数的定义域
典例突破
例1.(1)已知函数f(x)=ln x+ √16-2 ,则函数f(2x)的定义域为(
+1
1
13
3
f(x)=+1 − 3+1= +1 − 3 + 3+1= 3 -(+1 +
+1
13
3
+1
|)≤
-2
·
3
3
+1 3
=
7
上的最大值为 .故选
3
B.
7
,当且仅当
3
x=2 时,等号成立,∴函数 f(x)在区间[1,4]
考点三
以分段函数为背景的问题(多考向探究)
考向1.求值问题
典例突破
由f(a)=-2,即-ea=-2,得a=ln 2.
(2)∵26>4,∴f(26)=log5(26-1)=2,
又2<4,∴f(f(26))=f(2)=e2-2=1.故选C.
考向2.分段函数与不等式
典例突破
, ≤ 1,
例4.设函数f(x)= (-1)2 + 1, > 1, 则不等式f(1-|x|)+f(2)>0的解集