河北省中考系统复习：第19讲锐角三角函数（8年真题训练）

第19讲 锐角三角函数
命题点 解直角三角形
1．(·承德模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝1
2，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos
∠ADC 的值．
解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝AC BC ＝1
2，∴AC ＝BC ·tanB ＝4.
设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，
在Rt △ADC 中，(8－x)2＋42＝x 2
，解得x ＝5. ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3，∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝3
5
.
2．(·河北模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝2
2
，AC ＝ 2.求：
(1)BC 的长；
(2)sin ∠ADC 的值．
解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝
2
2
，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.
在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝1
3，
∴BE ＝3AE ＝3.
∴BC ＝BE ＋CE ＝4.
(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝1
2BC ＝2.
∴DE ＝CD －CE ＝1.
∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝
22
.
重难点1 解直角三角形
(·河北模拟)已知，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝4
3，AB ＝5，D 在AB 上．
(1)求BC 的长；
(2)如图1，若∠CDB ＝∠B ，求sin ∠DCB 的值；
(3)如图2，过点B 作BE ⊥CD 所在的直线，垂足为E ，BE 的延长线交直线AC 于点F. ①当tan ∠BCD ＝2时，求S △CBF ； ②当AF ＝5
4
时，求线段AD 的长．
【思路点拨】 (1)由正切的定义可知△ABC 是一个勾3，股4，弦5的直角三角形；(2)可通过过点D 作DE ⊥BC ，利用tanB 找到DE ，BE 的数量关系，再解直角△DCE ，求得sin ∠DCB 的值；(3)因为∠BCD ＝∠CFB ：①利用tan ∠CFB 的值，求CF ，进而求S △CBF ；②可通过过点A 作BC 的平行线交CD 延长线于点G ，先求AG ，再利用相似求AD 的长． 【自主解答】 解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝4
3
，
∴tanB ＝AC BC ＝43，∴AC ＝4
3
BC.
∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(43BC)2＋BC 2＝52
，∴BC ＝3.
(2)过点D 作DE ⊥BC ，则tanB ＝43＝DE
BE ，
∴BE ＝34DE ，∴CE ＝BC －BE ＝3－34DE.
∵∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝3.
∵CD 2＝CE 2＋DE 2，∴32＝DE 2
＋(3－34DE)2，解得DE ＝7225.
∴sin ∠DCB ＝DE DC ＝24
25
.
(3)①∵∠BCD ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠FCE ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CFB.
∴tan ∠BCD ＝tan ∠CFB ＝2.
∵tan ∠CFB ＝BC CF ＝2，BC ＝3，∴CF ＝3
2.
∴S △CBF ＝9
4
.
②当点F 在线段AC 上时，如图3，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G ， ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝1112，AC ＝4，∴AG ＝11
3.
∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD
BD .
∴
119＝AD 5－AD ，AD ＝114
.
图3 图4
当点F 在线段CA 的延长线上，如图4，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G. ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝7
4，AC ＝4，∴AG ＝7.
∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD BD .∴73＝AD 5－AD .∴AD ＝7
2.
方法指导
1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．
2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．
3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．Ｋ,
【变式训练1】 如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC ＝23
3
．
【变式训练2】(·上海)如图，已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝3
4
.
(1)求边AC 的长；
(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD
DB
的值．
解：(1)过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， tan ∠ABC ＝AE BE ＝3
4，AB ＝5，
∴AE ＝3，BE ＝4.
∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.
在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32
＋12
＝10.
(2)如图，∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝5
2
.
∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝15
8.
在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258， ∴AD ＝5－258＝158，则AD DB ＝35
. 重难点2 解直角三角形的应用
(1)如图1，为了游客的安全，某景点将原坡角为60°的斜坡AB 改为坡度为1∶3的斜坡AC ，已知AB ＝100米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长；
(2)(·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图2，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝30米，求无人机飞行的高度AD ；(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
(3)(·湘西)如图3，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A ，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB ＝10 km.
①求景点B 与C 的距离；
②为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)
【思路点拨】这三个问题均可以通过过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，再利用解直角三角形ABD 和直角三角形ACD 来解决．
【自主解答】解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，
∴BD ＝AB ·cos ∠ABD ＝100×cos60°＝50(米)，
AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝503米． ∵AC 的坡度为1∶3， ∴AD ∶CD ＝1∶ 3.
∴CD ＝150，BC ＝CD －BD ＝150－50＝100(米)．
∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长是100 m. (2)由题意，得∠EAC ＝30°，∠EAB ＝60°，
∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ＝30°，∠EAB ＝∠ABD ＝60°. ∵∠ABD ＝∠ACB ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. ∴AB ＝BC ＝30.
在Rt △ABD 中，∴AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝153≈25.98(米)． (3)①由题意，得∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠C ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝30°.∴∠CAB ＝∠C ＝30°. ∴BC ＝AB ＝10 km ，即景点B ，C 的距离为10 km.
②过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵BC ＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上，∴∠CBD ＝60°，在Rt △CBD 中，CD ＝
3
2
BC ＝5 3 km. 【变式训练3】(·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量得AB ＝160 m ，CD ＝40 m ，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长)．
解：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m.
设CH＝DE＝x m，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝
3
3
x.
在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝3x.
由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得3x＋40＋
3
3
x＝160，
解得x＝303，即CH＝30 3 m.
答：该段运河的河宽为30 3 m．
方法指导
1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：
(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；
(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：
另外实际问题还可以抽象的几何图形为：
1．(·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)
A.3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
2．(·保定模拟)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)(2sinA－3)＝0，则△ABC一定是(D) A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．有一个角是60°的三角形
3．(·唐山丰南区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝24，则tanB 等于(B)
A.5
13
B.5
12
C.12
13 D.125
4．(·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B)
A.1
2
B ．1
C.
3
3
D. 3
5．(·河北模拟)如图，△ABC 在边长为1个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝
5
5，那么点C 的位置可以在(D) A ．点C 1处
B ．点
C 2处
C ．点C 3处
D ．点C 4处
6．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点A 到OB 的距离小于OB 与墙MN 平行的距离．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
7．【分类讨论思想】(·无锡)已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于153或10 3.
8．(·贵阳)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sinA 与b
sinB
之间关系的方法：
∵sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴c ＝a sinA ，c ＝b sinB .∴a sinA ＝b
sinB ，根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC
中，探究a sinA ，b sinB ，c
sinC
之间的关系，并写出探究过程．
解：a sinA ＝b sinB ＝c sinC
.
理由：过点A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC ， 在Rt △ABD 中，sinB ＝AD
c ，即AD ＝c ·sinB ，
在Rt △ADC 中，sinC ＝AD
b ，即AD ＝b ·sinC ，
∴c ·sinB ＝b ·sinC ，即b sinB ＝c
sinC .
同理可得a sinA ＝c
sinC ，
则
a sinA ＝
b sinB ＝
c sinC
.
9．(·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C 出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．
(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？
解：(1)过点C 作CP ⊥AB 于点P ，由题意，得∠A ＝30°，AP ＝2 000米， 则CP ＝1
2
AC ＝1 000米．
(2)∵在Rt △PBC 中，PC ＝1 000，∠PBC ＝∠BCP ＝45°， ∴BC ＝2PC ＝1 0002米．
∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆， ∴他到达宾馆需要的时间为
1 0002
100
＝102＜15. ∴他在15分钟内能到达宾馆．
10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝1，∠DAB ＝30°，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD 的面积为53，AD 的长是23．
提示：延长AD ，BC 相交于点E ，可得△ABE 为直角三角形．
11．(·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝2．
提示：连接BE ，构造Rt △BOF ，根据△AOC ∽△BOK 可得OK 与CK 的数量关系，求出OF 与BF 的数量关系即可．
12．如图，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，sinB ＝25
5，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE
＝BC.连接AE ，F 为线段AE 的中点．求：
(1)线段DE 的长； (2)∠CAE 的正切值．
解：(1)连接AD.
∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， 即∠ADB ＝90°.
∵AB ＝AC ＝25，sinB ＝25
5，
∴
AD AB ＝255
.∴AD ＝4. 由勾股定理，得BD ＝2，∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4. ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4. ∴DE ＝DC ＋CE ＝2＋4＝6.
(2)过点C 作CM ⊥AE 于点M, 则∠CMA ＝∠CME ＝90°. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AE ＝AD 2
＋DE 2
＝213.
∵CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2
， ∴(25)2
－AM 2
＝42
－(213－AM)2
， 解得AM ＝1413
13.
∴CM ＝AC 2－AM 2
＝81313.
∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝4
7
.
13．(·河北模拟)阅读下面的材料：
嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：
如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝1
3
，求α＋β的度数．
淇淇是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD ＝α，∠CBE ＝β，且BA ，BC 在直线
BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC ＝45°．
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果α，β都为锐角，当tan α＝4，tan β＝3
5
时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON
＝α－β，由此可得α－β＝45°．解：如图．。