等比数列的概念及基本运算复习 通用精品课件
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新课标高中一轮总复习
理数
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D ）
因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.
解方程组 a1an=128 a1+an=66,
解得 a1=64 ①或 a1=2 ②,
an=2
an=64
将①代入Sn=
a1
an 1 q
q
,得q= 1
2
,
由an=a1·qn-1,得n=6.
将②代入Sn=
a1
an 1 q
q
,得q=2,
由an=a1·qn-1，得n=6.
],
所以
1 3
Tn=2[2·312
1
+5·33
1
+…+(3n-4)·3n
1
+(3n-1)·3n1
],
所+从3以而·31n点 积 是T23-nT首构13评=n-=(选成7232当n-[,的此3-721出·新13)时··3现31+数n一1n3-由1·3列3定11n2]等,1时要+<3差,注·乘7231数3意.公+列…公比与比，等是错比否项为数相1列消. 的法
当n=1时,a1=S1=b+r;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)
=bn-bn-1=(b-1)bn-1.
因为b>0，且b≠１，所以，当n≥２时，数列
{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),
所以
a2 a1
=b,即
b(b 1) br
=b,得r=-1.
(2)等比数列的通项公式为② an=a1·qn-1 .
(3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 ＝ ab,G=③ ± ab .
(4)特别要注意等比数列前n项和公式应
分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 qn ) 或
1 q
比数列，|q|>1，令bn=an+1(n=1,2,…).若数 列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82} 中，则6q= -9 .
因为数列{bn}有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82}中，
又an=bn-1，所以数列{an}有连续四项在集合 {-54,-24,18,36,81}中,且必有正项、负项；
又|q|>1，所以q<-1,
因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(k∈N*)正负相间，
且|ak|，|ak+1|，|ak+2|,|ak+3|单调递增，
故等比数列四项只能为-24,36,-54,81.
此时，公比为q=-
3 2
，6q=-9.
学例2 (2009·山东卷)等比数列{an}的前n项
和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均 在 函 数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均 为 常 数 ) 的
b1 1·b2 1 b立1 . b2
·…·bnbn 1
3
当n=13时,左2边= 2
| bn |
2n
所以，当n≤10时，
= | bn1 |
| bn |
所以|b11|>|b10|>…>|b1|；
2021n 0>1，
当n≥11时，
|
= bn1 |
| bn |
2021n 0<1,所以|b11|>|b12|>…,
又因为b11<0，b10<0，b9>0，b12>0，
所 因以 为bbb1n92的= 最220011大00192 值((是112))3666b9和b12中的最大者.
=20103×(
1 2
)30=[22 010×(
1 2
)10]3>1.
所以当n=12时,{bn}有最大项为b12=201012×(-
1 2
)66.
点评 等比数列的通项公式类同于指数
函数，根据公比q与首项a1的正负、大小 有不同的单调性:
当 a1>0 或 a1<0 q>1 0<q<1时为单调增数列；
所以bn1{bn}3是以b1= 数列，
2 3
为首项，1 为公比的等比
3
于是bn=2·31n .
(2)数列{an}为等差数列，
公从差而dcn==12an(·ab7n-=a25)(=33n，-1)可·31n得.an=3n-1.
所以Tn=2[2·
1 3
1
+5·32
1
+8·33
+…+(3n-1)·31n
当q≠1时, 所以q=- 1
a1
(1 q3 1 q
)=3a1q2,解得q=-
或1.
1或1(舍去).
2
2
5.2009年，某内河可供船只航行的河段长 为1000 km，但由于水资源的过度使用， 促使河水断流，从2010年起，该内河每 年船只可行驶的河段长度仅为上一年 的 ，2 则到2018年，该内河可行驶的河 段长度3 为 1000×(2)k9 m.
(2)由(1)知，当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1,
bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n.
则 bn 1 = 2n 1 ,所以 b1 1 · b2 1 ·…·bn 1
bn
2n
b1
b2
bn
= 3 ×5 × 7 ·…·2n 1 .
24 6
2n
下面用数学归纳法证明不等式
3
设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年）， 则 所aa以1n0==an1=23010a00n0×-01，×( 23a(1)23=9.)1n0-10，0，
等比数列
(1) 等 比 数 列 定 义 ① an1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一 个 数 a列n 是 等 比 数 列 的 依 据 ， 也 可 由 an·an+2=an+12来判断.
例2 （2010·都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
1 2
an+n
(n为奇数）
an-2n (n为偶数).
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；
(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.
(1)因为a1=1,当n=1∈{奇数},a2=
图象上.
(1)求r的值；
(2) 当 b=2 时 ， 记 bn=2(log2an+1)(n∈N*). 证 明：对任意的n∈N*，
不等式 b1 1 ·b2 1 ·…·> n 1 成立.
b1
b2
(1) 因 为 对 任 意 的 n∈N*, 点 (n,Sn) 均 在 函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象 上,所以Sn=bn+r.
a2n
1
=
1
.
a2n 2 2
又b1=a2-2=-
1 2
，
所以数列 {bn}是以b1=-
比数列.
1 2
为首项,公比为
1 2
的等
(3)由(2)得bn=(-
1 2
)(
1 )n-1=-(
2
1 2
)n=a2n-2,
所以a2n=2-(
1 2
)n,
所以S=a2+a4+…+a100
=(2- 1 )+[2-( 1 )2]+…+[2-( 1 )50]
bn=a1·a2·…·an得表达式.(2)先判断bn的符号， 再由|bn|的单调性，进一步探求.
(1)因为an=2010×(-
1 2
)n-1,
所以bn=a1·a2·…·an
=2010n×(- 1 )0+1+2+…+(n-1)
2
=2010n×(
1
)
n
(
n1)
2.
2
(2)因为 | bn1 | = 2010 ,
公式或把递推公式看作一整体时，常用
定义法.
题型三 等比数列的最值
例3等比数列{an}的首项为a1=2010，
公比q=- 1 .
2
（1）设bn表示数列{an}的前n项的积，求 bn的表达式；
（2）在（1）的条件下，当n为何值时， 数列{bn}有最大项？
分析(1) 求 出 {an} 的 通 项 公 式 ， 再 由
C.充要条件 件
D.既不充分也不必要条
由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足;
由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.
4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中， S式n是q=数列{a-n1}.或的前1 n项和，S3=3a3，则公
2
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.
当 a1<0 或 a1>0 q>1 0<q<1为单调减数列；当
q<0时为摆动数列，应分类讨论其项的 符号与绝对值.
备选题
（ 2010·安 徽 师 大 附 中 ) 设 数 列 {bn} 的 前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列{an}为等差 数列，且a5=14，a7=20.
(1)求数列{bn}的通项公式；
2
2
2
=2×50-
1 2
(1
1 250
)
=99+
1
.
1 1
250
2
点评本题是以分段形式给出的数列通
项，特别要根据n的奇偶选递推式，而
不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数
列的常用方法有两种：第一种定义法，
即证
an1 an
=q(q是非零常数）；另一种是等
比中项法，即证an2=an-1·an+1.当已知通项
点评 (1)对于“知三求二”问题，通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解，
但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数
列的性质解题，就可化繁为简.
(2) 当 已 知 a1 、 q(q≠ １ ) 、 n 时 ， 用 公 式
Sn=
a1 (1 qn ) 1 q
求和较为方便；当已知a1、q
（q≠１）、an时，则用公式Sn=
Sn
a1 an q 1 q
.
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
a1 an q 1 q
求
和较为方便.
变式 一个等比数列有三项，如果把
第二项加上4，那么所得的三项就成等 差数列，如果再把这个等差数列的第
三项加上32，那么所得的三项又成等 比数列，求原来的等比数列.
设所求的等比数列为a,aq,aq2,
则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),
(2)若cn=an·bn(n=1,2,3,…)，Tn为数列{cn}的
前n项和，求证：Tn<
7 2
.
(1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1, 又当Sn1≥=2b时1，，所由bb1n=-123=2, -2Sn-1，
可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn，
即 bn = 1 .
A.22010
B.22011
C.32010
D.32011
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.
3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16” 是“a2011=4”的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
方法提炼
1.方程思想的应用.在等比数列的五个 基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一 般是运用通项公式和前n项和公式列方程， 通过解方程求解.
2.等比数列的判定常用定义法和等比 中项法；而证明不是等比数列时，只需 举反例（常从前几项入手）.
走进高考
学例1(2009·江苏卷)设{an}是公比为q的等
1 2
a1+1=
3 2
;
当n=2∈{偶数}，a3=a2-2×2=-
5 2
;
同理，a4=
7 4
，a5=-
25 4
.
(2)证明：因为bn=a2n-2，
所以bn1 =
= a2n2 2
1 2
a2
n1
2n
1
2
=
1 2
(a2n
4n)
2n
1
bn
a2n 2
a2n 2
a2n 2
=
1 2
解得a=2,q=3或a=
2 9
,q=-5.
故所求的等比数列为2,6,18或
2
,-
10
,
50
.
9 99
点评这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差 数列、等比数列的常用方法，其优点是思
路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.
题型二 等比数列的判定及证明
A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列；
当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
Hale Waihona Puke Baidu
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A）
理数
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D ）
因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.
解方程组 a1an=128 a1+an=66,
解得 a1=64 ①或 a1=2 ②,
an=2
an=64
将①代入Sn=
a1
an 1 q
q
,得q= 1
2
,
由an=a1·qn-1,得n=6.
将②代入Sn=
a1
an 1 q
q
,得q=2,
由an=a1·qn-1，得n=6.
],
所以
1 3
Tn=2[2·312
1
+5·33
1
+…+(3n-4)·3n
1
+(3n-1)·3n1
],
所+从3以而·31n点 积 是T23-nT首构13评=n-=(选成7232当n-[,的此3-721出·新13)时··3现31+数n一1n3-由1·3列3定11n2]等,1时要+<3差,注·乘7231数3意.公+列…公比与比，等是错比否项为数相1列消. 的法
当n=1时,a1=S1=b+r;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)
=bn-bn-1=(b-1)bn-1.
因为b>0，且b≠１，所以，当n≥２时，数列
{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),
所以
a2 a1
=b,即
b(b 1) br
=b,得r=-1.
(2)等比数列的通项公式为② an=a1·qn-1 .
(3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 ＝ ab,G=③ ± ab .
(4)特别要注意等比数列前n项和公式应
分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 qn ) 或
1 q
比数列，|q|>1，令bn=an+1(n=1,2,…).若数 列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82} 中，则6q= -9 .
因为数列{bn}有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82}中，
又an=bn-1，所以数列{an}有连续四项在集合 {-54,-24,18,36,81}中,且必有正项、负项；
又|q|>1，所以q<-1,
因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(k∈N*)正负相间，
且|ak|，|ak+1|，|ak+2|,|ak+3|单调递增，
故等比数列四项只能为-24,36,-54,81.
此时，公比为q=-
3 2
，6q=-9.
学例2 (2009·山东卷)等比数列{an}的前n项
和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均 在 函 数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均 为 常 数 ) 的
b1 1·b2 1 b立1 . b2
·…·bnbn 1
3
当n=13时,左2边= 2
| bn |
2n
所以，当n≤10时，
= | bn1 |
| bn |
所以|b11|>|b10|>…>|b1|；
2021n 0>1，
当n≥11时，
|
= bn1 |
| bn |
2021n 0<1,所以|b11|>|b12|>…,
又因为b11<0，b10<0，b9>0，b12>0，
所 因以 为bbb1n92的= 最220011大00192 值((是112))3666b9和b12中的最大者.
=20103×(
1 2
)30=[22 010×(
1 2
)10]3>1.
所以当n=12时,{bn}有最大项为b12=201012×(-
1 2
)66.
点评 等比数列的通项公式类同于指数
函数，根据公比q与首项a1的正负、大小 有不同的单调性:
当 a1>0 或 a1<0 q>1 0<q<1时为单调增数列；
所以bn1{bn}3是以b1= 数列，
2 3
为首项，1 为公比的等比
3
于是bn=2·31n .
(2)数列{an}为等差数列，
公从差而dcn==12an(·ab7n-=a25)(=33n，-1)可·31n得.an=3n-1.
所以Tn=2[2·
1 3
1
+5·32
1
+8·33
+…+(3n-1)·31n
当q≠1时, 所以q=- 1
a1
(1 q3 1 q
)=3a1q2,解得q=-
或1.
1或1(舍去).
2
2
5.2009年，某内河可供船只航行的河段长 为1000 km，但由于水资源的过度使用， 促使河水断流，从2010年起，该内河每 年船只可行驶的河段长度仅为上一年 的 ，2 则到2018年，该内河可行驶的河 段长度3 为 1000×(2)k9 m.
(2)由(1)知，当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1,
bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n.
则 bn 1 = 2n 1 ,所以 b1 1 · b2 1 ·…·bn 1
bn
2n
b1
b2
bn
= 3 ×5 × 7 ·…·2n 1 .
24 6
2n
下面用数学归纳法证明不等式
3
设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年）， 则 所aa以1n0==an1=23010a00n0×-01，×( 23a(1)23=9.)1n0-10，0，
等比数列
(1) 等 比 数 列 定 义 ① an1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一 个 数 a列n 是 等 比 数 列 的 依 据 ， 也 可 由 an·an+2=an+12来判断.
例2 （2010·都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
1 2
an+n
(n为奇数）
an-2n (n为偶数).
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；
(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.
(1)因为a1=1,当n=1∈{奇数},a2=
图象上.
(1)求r的值；
(2) 当 b=2 时 ， 记 bn=2(log2an+1)(n∈N*). 证 明：对任意的n∈N*，
不等式 b1 1 ·b2 1 ·…·> n 1 成立.
b1
b2
(1) 因 为 对 任 意 的 n∈N*, 点 (n,Sn) 均 在 函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象 上,所以Sn=bn+r.
a2n
1
=
1
.
a2n 2 2
又b1=a2-2=-
1 2
，
所以数列 {bn}是以b1=-
比数列.
1 2
为首项,公比为
1 2
的等
(3)由(2)得bn=(-
1 2
)(
1 )n-1=-(
2
1 2
)n=a2n-2,
所以a2n=2-(
1 2
)n,
所以S=a2+a4+…+a100
=(2- 1 )+[2-( 1 )2]+…+[2-( 1 )50]
bn=a1·a2·…·an得表达式.(2)先判断bn的符号， 再由|bn|的单调性，进一步探求.
(1)因为an=2010×(-
1 2
)n-1,
所以bn=a1·a2·…·an
=2010n×(- 1 )0+1+2+…+(n-1)
2
=2010n×(
1
)
n
(
n1)
2.
2
(2)因为 | bn1 | = 2010 ,
公式或把递推公式看作一整体时，常用
定义法.
题型三 等比数列的最值
例3等比数列{an}的首项为a1=2010，
公比q=- 1 .
2
（1）设bn表示数列{an}的前n项的积，求 bn的表达式；
（2）在（1）的条件下，当n为何值时， 数列{bn}有最大项？
分析(1) 求 出 {an} 的 通 项 公 式 ， 再 由
C.充要条件 件
D.既不充分也不必要条
由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足;
由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.
4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中， S式n是q=数列{a-n1}.或的前1 n项和，S3=3a3，则公
2
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.
当 a1<0 或 a1>0 q>1 0<q<1为单调减数列；当
q<0时为摆动数列，应分类讨论其项的 符号与绝对值.
备选题
（ 2010·安 徽 师 大 附 中 ) 设 数 列 {bn} 的 前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列{an}为等差 数列，且a5=14，a7=20.
(1)求数列{bn}的通项公式；
2
2
2
=2×50-
1 2
(1
1 250
)
=99+
1
.
1 1
250
2
点评本题是以分段形式给出的数列通
项，特别要根据n的奇偶选递推式，而
不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数
列的常用方法有两种：第一种定义法，
即证
an1 an
=q(q是非零常数）；另一种是等
比中项法，即证an2=an-1·an+1.当已知通项
点评 (1)对于“知三求二”问题，通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解，
但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数
列的性质解题，就可化繁为简.
(2) 当 已 知 a1 、 q(q≠ １ ) 、 n 时 ， 用 公 式
Sn=
a1 (1 qn ) 1 q
求和较为方便；当已知a1、q
（q≠１）、an时，则用公式Sn=
Sn
a1 an q 1 q
.
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
a1 an q 1 q
求
和较为方便.
变式 一个等比数列有三项，如果把
第二项加上4，那么所得的三项就成等 差数列，如果再把这个等差数列的第
三项加上32，那么所得的三项又成等 比数列，求原来的等比数列.
设所求的等比数列为a,aq,aq2,
则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),
(2)若cn=an·bn(n=1,2,3,…)，Tn为数列{cn}的
前n项和，求证：Tn<
7 2
.
(1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1, 又当Sn1≥=2b时1，，所由bb1n=-123=2, -2Sn-1，
可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn，
即 bn = 1 .
A.22010
B.22011
C.32010
D.32011
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.
3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16” 是“a2011=4”的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
方法提炼
1.方程思想的应用.在等比数列的五个 基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一 般是运用通项公式和前n项和公式列方程， 通过解方程求解.
2.等比数列的判定常用定义法和等比 中项法；而证明不是等比数列时，只需 举反例（常从前几项入手）.
走进高考
学例1(2009·江苏卷)设{an}是公比为q的等
1 2
a1+1=
3 2
;
当n=2∈{偶数}，a3=a2-2×2=-
5 2
;
同理，a4=
7 4
，a5=-
25 4
.
(2)证明：因为bn=a2n-2，
所以bn1 =
= a2n2 2
1 2
a2
n1
2n
1
2
=
1 2
(a2n
4n)
2n
1
bn
a2n 2
a2n 2
a2n 2
=
1 2
解得a=2,q=3或a=
2 9
,q=-5.
故所求的等比数列为2,6,18或
2
,-
10
,
50
.
9 99
点评这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差 数列、等比数列的常用方法，其优点是思
路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.
题型二 等比数列的判定及证明
A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列；
当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
Hale Waihona Puke Baidu
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A）