2019-2020学年北京市人大附中高二下学期期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年北京市人大附中高二下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）
1.设z=1−i(i为虚数单位)，则z2+2
的共轭复数是()
z
A. −1−i
B. −1+i
C. 1−i
D. 1+i
2.若二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一
条直线，则y=f(x)的图象的顶点在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知曲线y=−3lnx的一条切线的斜率为−，则切点的横坐标为()
A. 3
B. 2
C. 1
D.
4.点P在函数y=lnx的图象上，若满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则实
数a的值为()
A. 1
B. −3
C. 2
D. −2√2
5.设函数f(x)=x2
，则()
e x
A. x=0为f(x)的极大值点
B. x=2为f(x)的极大值点
C. x=1为f(x)的极小值点
D. x=1为f(x)的极大值点
6.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发
展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：
中国新能源汽车产销情况一览表
新能源汽车产量新能源汽车销量
产量(万辆)比上年同期增长(%)销量(万辆)比上年同期增长(%) 2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4
5月9.685.610.2125.6
6月8.631.78.442.9
7月953.68.447.7
8月9.93910.149.5
9月12.764.412.154.8
10月14.658.113.851
11月17.336.916.937.6
1--12月12759.9125.661.7
2019年1月9.11139.6138 2月 5.950.9 5.353.6
根据上述图表信息，下列结论错误的是()
A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆
B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆
C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量
D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆
7.已知定义在R上的函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，且x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<
0成立，(其中f′(x)是f(x)的导函数)，a=(30.3)f(30.3)，b=(logπ3).f(logπ3)，c=
(log31
9)f(log31
9
)则a，b，c的大小关系是()
A. a>b>c
B. c>b>a
C. c>a>b
D. a>c>b
8.下列函数中，随着x的增大，增大速度最快的是()
A. y=50
B. y=1000x
C. y=lgx
D. y=1
1000
e x
9.若y=(x+1)(x+2)(x−1)，则y′=()
A. x3+2x2−x−2
B. 3x2+4x−1
C. 3x2+4x−2
D. 3x2+4x−3
10.根据广安市环保部门的空气质量监测资料表明，广安市一天的空气质量为优良的概率是0.75，
连续两天为优良的概率是0.6.若广安市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()
A. 0.45
B. 0.6
C. 0.75
D. 0.8
二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）
11.已知区间(0,+∞)为函数f(x)=ax+b
x
(a,b∈R,b≠0)的单调递增区间，则a，b满足的条件是______．
12.在复平面内，复数i、1、4+2i所对应的点分别为A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD
的中点所对应的复数为______．
13.已知f′(x)为函数f(x)=2x+sinx的导函数，则f′(0)=______．
14.函数f(x)(x∈R)满足f(1)=2且f(x)在R上的导数f′(x)满足f′(x)−3>0，则不等式f(log3x)<
3log3x−1的解集为______ ．
15.命题：“存在正实数x，y，使5x+5y=5x+y成立”的否定形式为______ ．
三、解答题（本大题共3小题，共35.0分）
16.已知函数，R.
(1)求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存
在，说明理由．
17.在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一
，象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为3
4
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点M的横坐标为√2，直线l：y=kx+1
与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个
4
≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．
不同的交点D，E，求当1
2
18.设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【答案与解析】1.答案：D
解析：解：∵z=1−i，∴z2+2
z =(1−i)2+2
1−i
=−2i+2(1+i)
(1−i)(1+i)
=−2i+2(1+i)
2
=1−i，
∴z2+2
z
的共轭复数是1+i．
故选：D．
把z=1−i代入z2+2
z
，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
2.答案：C
解析：
设二次函数y=f(x)=ax2+bx，利用它的导数y=f′(x)=2ax+b是经过第一、二、三象限的一条直线，
可得a>0，b>0，y=f(x)的图象顶点(−b
2a ,−b2
4a
)在第三象限．
本题考查求函数的导数的方法，直线在坐标系中的位置与斜率、截距的关系，二次函数的性质．解：由题意可知可设二次函数y=f(x)=ax2+bx，它的导数y=f′(x)=2ax+b，
由导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，∴a>0，b>0，
y=f(x)的图象顶点(−b
2a ,−b2
4a
)在第三象限，
故选C．
3.答案：B
解析：由y=−3lnx，得
，
设斜率为的切线的切点为(x0,y0)，则，
由，
解得：x0=−3或x0=2，
∵函数的定义域为(0,+∞)，
∴x0=2．
故选B．
4.答案：B
解析：解：过函数y=lnx的图象上点P(x0,y0)作切线，使得此切线与直线y=x+a平行，
又y′=1
x ，于是
1
x0
=1，则x0=1，y0=0，∴P(1,0)，
当点P到直线y=x+a的距离为√2时，则满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，∴d=
√1+1
=√2，解得a=1或a=−3，
又当a=1时，函数y=lnx的图象与直线y=x+1没有交点，只有两个点到直线距离为√2，所以不满足条件，
故a=−3．
故选：B．
要满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y=lnx的图象相交，而且点P在函数y=lnx的图象上满足在直线一侧有一个点到直线距离为√2，另外一侧两个点到直线距离为√2，于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点，进一步求出实数a的值．
本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的转化能力，属于中档题．
5.答案：B
解析：解：函数f(x)=x2
e x ，则函数f′(x)=x(2−x)
e x
，
令f′(x)=0，解得x=0或x=2，
当f′(x)>0，解得0<x<2，
∴函数f(x)在(0,2)单调递增；
由f′(x)<0，解得x>2或x<0，
∴函数f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递减．
∴函数f(x)在x=0取得极小值，f(0)=0；
在x=2取得极大值，f(2)=4
e2
．
故选：B．
先求出函数的导数，令f′(x)=0，求出可能的极值点，分别得到单调区间，从而求出函数的极值．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，属于中档题．
6.答案：D
解析：解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为： 6.8
1+1.05≈3.32，所以选项A 正确；
由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：125.6
1+0.617≈77.67，所以选项B 正确； 由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C 正确； 由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25=2.4，所以选项D 错误， 故选：D ．
由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A ，B 正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出． 本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
7.答案：C
解析：解：∵当x ∈(−∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立 即：(xf(x))′<0，
∴xf(x)在(−∞,0)上是减函数．
又∵函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称， ∴函数y =f(x)的图象关于点(0,0)对称， ∴函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数 ∴xf(x)是定义在R 上的偶函数 ∴xf(x)在(0,+∞)上是增函数．
又∵30.3>1>log π
3>0>log 3 1
9=−2， 2=−log 3 1
9>30.3>1>log π 
3 >0．
∴(−log 319
)⋅f(−log 31
9
)>30.3⋅f(30.3)>(log π3)⋅f(log π3)
即(log 319)⋅f(log 31
9)>30.3⋅f(30.3)>(log π3)⋅f(log π3) 即：c >a >b 故选C ．
由“当x ∈(−∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立”知xf(x)是减函数，要得到a ，
b ，
c 的大小关系，只要比较30.3,log π 
3,log 3 1
9
的大小即可．
本题考查的考点与方法有：1)所有的基本函数的奇偶性；2)抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3)导数的运算法则：(uv)′=u′v+uv′；4)指对数函数的图象；5)奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出ℎ(x)是正确解答的关键所在．
8.答案：D
解析：解：根据题意，依次计算4个选项中函数的导数：
对于A，y=50，其导数为y′=0，
对于B，y=1000x，其导数y′=1000，
对于C，y=lgx，其导数为y′=1
x
，
对于D，y=1
1000e x，其导数为y′=e x
1000
，
分析可得，当x增大时，增大速度最快的是y=1
1000
e x；
故选D．
根据题意，依次计算4个选项中函数的导数，由导数的几何意义分析可得答案．
本题考查函数的导数的几何意义，注意利用导数的几何意义进行分析．
9.答案：B
解析：解：∵y=(x+1)(x+2)(x−1)，
∴y′=(x+2)(x−1)+(x+1)(x−1)+(x+1)(x+2)
=3x2+4x−1，
故选B．
利用导数运算法则直接运算即可．
本题考查了导数的简单运算，属于基础题．
10.答案：D
解析：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为x，
则0.75x=0.6，
解得x=0.8．
故选：D．
设随后一天的空气质量为优良的概率为x，相互独立事件发生的乘法公式，解方程可得所求值．本题考查相互独立事件发生的乘法公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11.答案：a≥0，b<0
解析：解：区间(0,+∞)为函数f(x)=ax +b
x (a,b ∈R,b ≠0)的单调递增区间， f′(x)=a −b
x 2=
ax 2−b x 2
≥0．
①a =0时，f′(x)=−b
x 2>0，解得b <0． ②a ≠0时，f′(x)=
a(x 2−b a
)x 2
，
a >0，
b <0时，f′(x)>0.满足条件． a <0，b >0时，f′(x)<0.不满足条件． a >0，b >0时，f′(x)=
a(x+√b a
)(x−√b a
)
x 2
.在区间(0,√b
a )内单调递减，不满足条件，舍去．
a <0，
b <0时，f′(x)=a(x+√b
a )(x−√b
a )x 2
.在区间(√b
a
,+∞)内单调递减，不满足条件，舍去．
综上可得：a ≥0，b <0时，满足条件． 故答案为：a ≥0，b <0．
区间(0,+∞)为函数f(x)=ax +b
x (a,b ∈R,b ≠0)的单调递增区间，可得f′(x)=a −b x 2
=
ax 2−b x 2
≥0.
对a ，b 分类讨论即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12.答案：2+3
2i
解析：解：由题意可知，A(0,1)，C(4,2)， 则AC 的中点坐标为(2,3
2)，
由平行四边形的对角线互相平分，可得BD 的中点为(2,3
2)， 则BD 的中点所对应的复数为2+3
2i ． 故答案为：2+3
2i ．
由已知求得A ，C 的坐标，进一步求得AC 的中点坐标，则答案可求．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查中点坐标公式的应用，是基础题．
13.答案：ln2+1
解析：解：∵f′(x)=2x ln2+cosx ， ∴f′(0)=ln2+1． 故答案为：ln2+1．
可求出导函数，然后即可得出f′(0)的值．
本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：(0,3)
解析：
令g(x)=f(x)−3x，求出g(1)=−1，问题转化为g(log3x)<g(1)，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及对数函数的性质，是一道中档题．
解：令g(x)=f(x)−3x，则g′(x)=f′(x)−3>0，
可得g(x)在R上递增，
由f(1)=2，得g(1)=f(1)−3=−1，
f(log3x)<3log3x−1，
即g(log3x)<g(1)，
故log3x<1，解得：0<x<3，
故不等式的解集是：(0,3)．
15.答案：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．
解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题：“存在正实数x，y，使5x+5y=5x+y成立”的否定形式为：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．
故答案为：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，注意量词的变换，基本知识的考查．
16.答案：(1)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间
为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.(2)存在，范围为
解析：试题分析：(1)函数的定义域为，．
①当时，，∵∴，∴函数单调递增区间为
②当时，令得，即，．
(ⅰ)当，即时，得，故，
∴函数的单调递增区间为．
(ⅰ)当，即时，方程的两个实根分别为，
．
若，则，此时，当时，．
∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间
为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．(2)由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，∴有极大值，其值为，其中．
∵，即，∴．
设函数，则，
∴在上为增函数，又，则，
∴．
即，结合解得，∴实数的取值范围为．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X 轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．
17.答案：解：(1)由题意可知F(0,p 2)，圆心Q 在线段OF 平分线y =p 4上，
因为抛物线C 的准线方程为y =−p 2，
所以3p 4=34，即p =1，
因此抛物线C 的方程x 2=2y;
(2)点M 的横坐标为√2，∴M(√2,1)，
∵F (0,12)，∴直线FM ：y =√24x +12
， ∴直线FM 的中垂线为y =−2√2x +
114， ∵Q 既在直线y =14上又在y =−2√2x +
114上， ∴Q(5√28,14
)，⊙Q 的半径为：r =(5√28)(14)=3√68， 所以⊙Q 的方程为(x −
5√28)2+(y −14)2=2732． 由{y =12x 2
y =kx +14
，整理得2x 2−4kx −1=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
由于△=16k 2+8>0，x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−1
2，
所以|AB|2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2); 由{(x −5√28)2+(y −14)2=2732y =kx +14，整理得(1+k 2)x 2−5√24x −116=0， 设D ，E 两点的坐标分别为(x 3,y 3)，(x 4,y 4)，
由于△=k 24+278>0，x 3+x 4=5√24(1+k 2)，x 3x 4=−116(1+k 2)，
所以|DE|2=(1+k 2)[(x 3+x 4)2−4x 3x 4]=258(1+k 2)+14，
因此|AB|2+|DE|2=(1+k 2)(4k 2+2)+258(1+k 2)+14，
令1+k 2=t ，由于12≤k ≤2，∴54≤t ≤5，
所以|AB|2+|DE|2=t(4t −2)+258t +14=4t 2−2t +258t +14，
设g(t)=4t 2−2t +258t +14，t ∈[54,5]，
因为g′(t)=8t −2−258t 2=64t 3−16t 2−258t 2，
令ℎ(t )=64t 3−16t 2−25，则ℎ′(t )=192t 2−32t ，
则t ∈[54,5]，ℎ′(t )>0，ℎ(t )单调递增，
∴g′(t)≥g′(54)=6，即函数g(t)在t ∈[54,5]是增函数， 所以当t =54时，g(t)取最小值132，
因此当k =12时，|AB|2+|DE|2的最小值为132．
解析：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属于较难题．
(1)通过F(0,p 2)，圆心Q 在线段OF 平分线y =p 4上，推出求出p =1，推出抛物线C 的方程．
(2)点M 的横坐标为√2时，求出⊙Q 的方程．利用直线与抛物线方程联立方程组，设A(x 1,y 1)，
B(x 2,y 2)，利用韦达定理，求出|AB|2.同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值． 18.答案：解：(1)f′(x)=2a(x −5)+6x ，
依题意，f′(1)=6−8a =2，得a =12．
(2)由(1)知，f(x)=12(x −5)2+6lnx(x >0)，
f′(x)=x −5+6x =(x−2)(x−3)x ．
令f′(x)=0，得x =2或3．
x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故f(x)的单调增区间为(0,2)和(3,+∞)，
单调减区间为(2,3)．
f(x)的极大值f(2)=9
2
+6ln2，极小值f(3)=2+6ln3．解析：(1)依题意，f′(1)=2，解得a．
(2)由(1)知，f(x)=1
2(x−5)2+6lnx(x>0)，f′(x)=x−5+6
x
=(x−2)(x−3)
x
.令f′(x)=0，得x=2或
3.可得x，f′(x)，f(x)的变化情况列出表格，即可得出函数f(x)的单调区间与极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。