优化课堂高中数学 1.1.1 简单旋转体课件 北师大版必修2

2．球 (1)概念：以半圆的_直__径__所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所 形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作_球__体__，简称 球．半圆的_圆__心__叫作球心，如图中的 O.连接球心和球面上任 意一点的线段叫作球的半径，如图中的 OA，OE 等．连接球面 上两点并且过球心的线段叫作球的直径，如图中的 BC，EF 等．
如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°围成 的几何体是两个半圆锥， 旋转 360°围成的几何体是一个圆锥．
探究点二 旋转体中有关元素的计算问题
(1)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该
正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积
为( )
A．2π
B．π
C．2
4．剖析球的结构特征 球是旋转体，球面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间 组成的几何体．
探究点一 旋转体的概念及其结构特征 判断下列说法是否正确，请说明理由： (1)一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一 周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥； (2)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (3)球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形 成的旋转体； (4)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．
(2)球的表示：用表示球心的字母表示球，如图中的球体表示为 球 O.
3．圆柱、圆锥、圆台的比较
名称 定 义
相关概念
以
_矩__形__的__一__边__ 高：在旋转轴上这条边的长
度；底面：垂直于旋转轴的
所在的直线为 旋转轴，其余
边旋转而成的_圆___面_；侧面：
圆柱 各边旋转而形 不垂直于旋转轴的边旋转而
1．剖析圆柱的结构特征 (1)圆柱的底面是圆面而不是圆，且两个底面互相平行． (2)圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两 条母线相互平行且相等． (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面是 全等的矩形．
2．剖析圆锥的结构特征 (1)底面是圆面． (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点． (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面是 全等的等腰三角形． 3．剖析圆台的结构特征 (1)圆台的上、下底面互相平行且是不等的圆面． (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点． (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截 面是全等的等腰梯形．
在本例(2)条件不变的前提下，试求圆台的高． 解：过 A′作 A′B⊥AO 于 B，则在 Rt△A′BA 中， A′A＝2a， 由例题(2)解析中结论可知：
AB＝2a－a＝a，解得 A′B＝ 4a2－a2＝ 3a，即圆台的高是 3a.
轴截面在计算中的应用 (1)明确旋转体边角的关系，画出其轴截面，实现立体几何中 “化立体为平面”的转化思想． (2)对于与旋转体有关的组合体的问题，也常常借助于轴截面来 解决． (3)画轴截面时，要尽可能体现边与角的关系，使交点尽可能出 现在边界上.
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
1.1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位置 关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形 成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径 r、下底面半径 R、高 h 与母线 l 之间有 怎样的关系？
[解] (1)正确．由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所以 分别绕两条直角边旋转得到的两个圆锥的底面大小及母线长度、 高等都相等，所以是两个相同的圆锥． (2)错误．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆 锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不能得 到一个圆锥和一个圆台． (3)正确．由球的定义易知该说法正确． (4)正确．由圆锥母线的定义知，圆锥顶点与底面圆周上任意一 点的连线都是母线．
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面 积等于 392 cm2，母线所在直线与轴的夹角是 45°，求这个圆 台的高、母线长和两底面半径． 解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为 x cm， 3x cm，延长 AA1 交 OO1 的延长线于 S.
在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45°， 则∠SAO＝45°，所以 SO＝AO＝3x， SO1＝A1O1＝x，所以 OO1＝2x. 又 S 轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以 x＝7. 所以圆台的高 OO1＝14 cm， 母线长 AA1＝ 2OO1＝14 2 cm，两底面半径分别为 7 cm，21 cm.
2．例题导读 P4 知识点二“圆柱、圆锥、圆台”．通过该知识点的学习，了 解圆柱、圆锥、圆台的概念及其结构，需要注意的是圆台也可 以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．
1．旋转体 (1)概念：一条_平__面__曲__线__绕着它所在的平面内的一条定直线旋 转所形成的_曲__面__叫作旋转面；封 __闭 ___的旋转面围成的几何体叫 作旋转体． (2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．
旋转轴的边旋转而成的 轴，其余各边旋转而 形成的曲面所围成的 _曲__面__；母线：无论转到
几何体叫作圆台
什么位置，这条边都叫
作侧面的母线
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体是圆柱．( ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体是圆锥．( ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的 几何体是圆台．( ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转 180°围成的几何体是 球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(1)点 O1 为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，
过 O1 与底面平行的截面面积是底面面积的( )
1 A.3
B．23
1 C.4
D．19
(2)将一个边长为 a 的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面
的面积．
解：(1)选 D．作出圆锥轴截面如图所示，
由题知 SO1∶SO＝1∶3， 所以 O1B∶OA＝1∶3. 所以 S⊙O 1 ∶S⊙O＝1∶9. (2)设圆柱的底面半径为 r，则 2π r＝a，r＝2aπ ，故轴截面的长 为 a，宽为πa ，面积为πa ·a＝πa2.
1．下列几何体是圆柱的是( )
解析：选 B．由圆柱的结构特征：上、下底面为两个相等的圆 面，可知选 B．
2．下列说法正确的是( ) A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直 C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心 答案：D
3．用一个平面截半径为 5 cm 的球，球心与截面圆心之间的距 离为 4 cm，则截面圆的周长为________cm. 解析：设截面圆的半径为 r cm，依题意有 r＝ 52－42＝3，于 是截面圆的周长为 2π ×3＝6π (cm)． 答案：6π
得 r＝6－3 x，(3 分)
所以 S＝－23x2＋4x.(6 分)
(2)S＝－23x2＋4x＝－32(x－3)2＋6， (10 分)
所以当 x＝3 时，Smax＝6 cm2.(12 分)
[规范与警示]
处利用相似三角形确定圆柱底面半径和高
的关系是解题的关键点．
处求 S 最大值时容易失分，一是转化不对造成失分，二是不 知如何求而失分．
2．下列命题中正确的个数是( )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的；
④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆
柱的母线．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 B．①正确；②错误；③正确；④错误．故选 B．
3．用一个平面去截以下几何体，所得截面一定是圆面的是
圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质
圆柱
圆锥
圆台
两底面平行且
两底面平行
底面 半径相等的圆 圆面 且半径不相
面
等的圆面
侧面展 开图
矩形
扇形
扇环
母线
等长且相 等长且延长 平行且相等
交于顶点 线交于一点
球
无
不可展 开 无
圆柱
圆锥
圆台
平行于
与底面半
与两底面半径
底面的
径不相等
相等的圆面
截面
的圆面
与两底面半 径不相等的 圆面
轴截面
矩形
等腰三角 形
等腰梯形
球 无 圆面
1. (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图 形旋转而形成的( )
(2)一个有 30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周 所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°得到什么几何体？旋转 360°又得到什么几何体？
解：(1)选 B．这个几何体由上到下可分为 3 部分，分别是圆锥、 圆台、圆柱，故选 B． (2)如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何 体是圆锥． 如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同 底相对的圆锥．
成的曲面所围 成的_曲__面__；母线：无论转到什么位置，这条边都叫作侧
成的几何体叫
面的母线
作圆柱
图形表示
名称
定义
相关概念
图形表示
以直角三角形的 高：在旋转轴上这条边的长
__一__条__直__角__边____ 度；底面：垂直于旋转轴的 所在的直线为旋 边旋转而成的_圆__面__；侧面：
圆锥 转轴，其余各边 不垂直于旋转轴的边旋转
D．1
(2)圆台的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30°，一个底面半
径是另一个底面半径的 2 倍，则两底面半径分别为________、
________.
[解析] (1)如图，轴截面 ABCD 的面积 S＝AB×BC＝1×2＝2. 故选 C.
(2)不妨设圆台上底面半径为 r，下底面半径为 2r，如图作出圆 台的轴截面，并延长母线交于 S，∠ASO＝30°. 在 Rt△SA′O′中，SAr′＝sin 30°， 则 SA′＝2r. 在 Rt△SAO 中，S2Ar ＝sin 30°，则 SA＝4r，有 SA－SA′＝AA′， 即 4r－2r＝2a，r＝a， 所以圆台的上、下底面半径分别为 a，2a. [答案] (1)C (2)a 2a
规范解答
旋转体中的计算问题
(本题满分 12 分)一个圆锥的底面半径为 2 cm，高为 6 cm，在圆锥内部有一个高为 x cm 的内接圆柱． (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S； (2)当 x 为何值时，S 最大？
[解] (1)如图为几何体的轴截面，设圆柱的底面半径为 r cm， 则2r＝6－6 x，
() A．圆柱 答案：C
B．圆锥
C．球
D．圆台
4．给出下列命题： ①球的半径是球面上任意一点与球心连成的线段； ②球的直径是球面上任意两点间的线段； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球． 正确命题的序号是________．
解析：连接球心和球面上任意一点的线段，叫球的半径，显然 ①正确；球面上的两点连线经过球心时，这条线段才是球的直 径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而 不是一条曲线，所以③错误；④中的点的集合是一个球面，而 不是一个球体，所以④错误． 答案：①
旋转而形成的曲 而成的_曲__面__；母线：无论
面所围成的几何 转到什么位置，这条边都叫
体叫作圆锥 作侧面的母线
名称
定义
相关概念
图形表示
高：在旋转轴上这条边
以 的长度；底面：垂直于
__直__角__梯__形__垂________ __直__于__底__边__的___腰_____ 旋转轴的边旋转而成的 圆台 所在的直线为旋转 _圆__面__；侧面：不垂直于