2012学年上海十三校第二次高三调研考试数学试卷(理科)

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2012年高三调研考（数学理科）试卷
2013．3
一、填空题：（本大题共有14题，满分56分）
1．已知函数()arcsin (11)f x x x =-≤≤，则1()6
f π
-=______..
2．若二项式2
91()ax x
-的展开式的各项系数和为1，则实数a 的值为 .
3．设集合{}23,log P a =
，{},Q a b =，若{}0P Q = ，则P Q =
4．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1
(())4
f f 的值等于 ．
5．若实数r 满足不等式11
0112r
>，则lim[2(1)]n
n r →∞
--= .
6．已知过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ
--=的一个法向量为
(2,1)-，则tan()αβ+= .
7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 . 8.极坐标系内，圆C ：2cos (0,)a a a R ρθ=>∈与直线:cos 2l ρθ=
相切，则a = .
9．已知12,z z 为实系数一元二次方程的两
虚根，1
2
)()a i z a R z ω+=∈，且||2ω≤，则
a 的取值范围是 .
10．已知随机变量
的概率分布律如下表，则的数学期望E ξ= .
11．有一根长为cm ，底面半径为cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕2
圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为40cm ，
则圆柱侧面积的最大值为 cm ．
12．已知△FAB ，点F 的坐标为(2,0)，点A 、B 分别在图中抛物 线2
8y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是
平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ． 13．已知集合{1,2,3,4}A =，函数
()f x 的定义域、值域都是A ，且
对于任意i A ∈，i i f ≠)(，设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排 列，定义数阵12341234()
()()
()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，若两个数阵的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数阵，那么满足条件的不同的数阵共有 个. 14.设数列*
{}()n a n N
∈是首项为0的递增数列，函数1
()sin ()n n f x x a n
=-，1[,]n n x a a +∈
满足：对于任意的实数[0,1),
()n m f x m ∈=总有两个不同的根，则}{n a 的通项公式是
n a = .
二、选择题：（本大题共有4题，满分20分） 15．“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件（ ）
（A ）a 的值可以是8-（B ）a 的值可以是3-（C ）a 的值可以是1-（D ）a 的值可以是12
- 16．下列四个命题中真命题是（ ）
（A ）同垂直于一直线的两条直线互相平行；
（B ）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；
（C ）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； （D ）过球面上任意两点的大圆有且只有一个。

17．已知光线沿向量(0,,)a md pn mp m R p R =+≠∈∈
照射，遇到直线L 后反射，其中d 是L 的一个方向向量，n
是L 的一个法向量，则反射光线的一个方向向量可以表示为（ ）
（A ）md pn -- （B ）md pn -
（C ）pd mn +
（D ）pd mn -
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18．已知函数2,1
()25,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成
立，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）4a < （B ）2a < （C ）24a ≤< （D ）2a > 三、解答题：（本大题共有5题，满分74分）
19．（本题满分12分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，
1
12
PA AB AD CD =
===，090BAD ADC ∠=∠=．
（1）求直线PD 与平面PAB 所成角的大小； （2）求点B 到平面PCD 的距离．
20．（本小题满分14分）在c b a ABC ,,,中
∆分别是角,,A B C 的对边，向量(,2)m b a c =- ，(cos ,cos )n B C =
且//m n ，
（1）求角B 的大小； （2）设
()cos()sin (0)2
B
f x x x ωωω=-+>且()f x 的最小正周期为π，求()f x 在区间
[0,]2
π
上的最大值和最小值，并指出相应的x 的值。

21．（本题满分14分）已知函数
22()log (23)f x ax x a =+-，
（1）当1a =-时，求该函数的定义域和值域； （2）当．0≤a 时．
，如果()f x ≥1在∈x [2,3]上恒成立，求实数a 的取值范围.
22．(本题满分16分)数列{}n a 中，121,2a a ==，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-
（1）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前6项和6S ； （2）若数列
{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式；
（3）若2210n n b b --=，2126
2n n
n
b b ++=
，求数列{}n a 的前4n 项的和2n T 。

23．(本题满分18分)如图，已知椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右两个焦点分
别为1F 、2F ，设(0,),(,0),(,0),A b P a Q a -若12AFF ∆为正三角形且周长为6. （1）求椭圆G 的标准方程； （2）若过点
()1,0且斜率为(0,)k k k R ≠∈的直线交椭圆G 于不同的两点M 、N ，是否存在实数k 使MPO NPO ∠=∠成立，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；
(3) 若过点
()1,0的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记,PMQ ∆
PNQ ∆的面积分别为12,S S 求
1
2
S S 的取值范围．
D。