2013-2022北京中考真题数学汇编：相交线与平行线

2013-2022北京中考真题数学汇编
相交线与平行线
一、单选题
1．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
3．（2020·北京·中考真题）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）
A ．∠1=∠2
B ．∠2=∠3
C ．∠1＞∠4+∠5
D ．∠2＜∠5
4．（2019·北京·中考真题）用三个不等式a b >，0ab >，
11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．（2017·北京·中考真题）如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ）
A ．线段PA 的长度
B ．线段PB 的长度
C ．线段PC 的长度
D ．线段PD 的长度
6．（2016·北京·中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（2015·北京·中考真题）如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）
A ．26°
B ．36°
C ．46°
D ．56°
8．（2013·北京·中考真题）如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于
A ．40°
B ．50°
C ．70°
D ．80°
二、填空题 9．（2020·北京·中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．
10．（2018·北京·中考真题）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是=a _____，b =______，c =_______。

三、解答题
11．（2015·北京·中考真题）在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线.点P 在射线CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH 、PH.
（1）若点P在线CD上，如图1，
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）
参考答案
1．A
【分析】利用对顶角相等求解。

【详解】解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，130∠=︒。

故选A 。

【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键。

2．A
【分析】由题意易得60COB ∠=︒，90COD ∠=︒，进而问题可求解。

【详解】解：∵点O 在直线AB 上，OC OD ⊥，
∴180AOC COB ∠+∠=︒，90COD ∠=︒，
∵120AOC ∠=︒，
∴60COB ∠=︒，
∴9030BOD COB ∠=︒-∠=︒；
故选A 。

【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键。

3．A
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案。

【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B 选项为∠2＞∠3，
C 选项为∠1=∠4+∠5，
D 选项为∠2＞∠5。

故选：A 。

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断。

4．D
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可。

【详解】解：命题①，如果,0a b ab >>，那么
11a b <. ∵a b >，∴0a b ->，∵0ab >，∴
0a b ab ->，整理得11b a >，∴该命题是真命题。

命题②，如果11,
,a b a b ><那么0ab >。

∵11,a b <∴110,0.b a a b ab
--<<∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >。

∴该命题为真命题。

命题③，如果110,ab a b
><，那么a b >。

∵11
,
a b
<∴
11
0,0.
b a
a b ab
-
-<<∵0
ab>，∴0
b a
-<，∴b a
<
∴该命题为真命题。

故，选D
【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键。

5．B
【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB的长度，
故选：B。

6．D
【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确。

故选D。

7．B
【分析】首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义，即可求解。

【详解】解：如图，
∵l4∥l1，
∴∠4+∠1=180°，
∵∠1=124°，
∴∠4=56°，
∵∠2=88°，
∴∠3=180°-∠4-∠2=36°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键。

8．C
【分析】由平角的定义可求出∠1，再利用平行线得内错角相等，即可求∠4。

【详解】∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1＝∠2＝1
2
（180°－40°）＝70°。

∵a∥b，∴根据两直线平行，内错相等，得∠4＝∠1＝70°。

故选C 。

9．丙，丁，甲，乙
【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可。

【详解】解：丙先选择：1，2，3，4。

丁选：5，7，9，11，13。

甲选：6，8。

乙选：10，12，14。

∴顺序为丙，丁，甲，乙。

（答案不唯一）
【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键。

10． 2 3 -1
【分析】根据不等式的性质3，举出例子即可。

【详解】解：根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

满足a b <，0c ≤即可，例如：2，3，1-。

故答案为2，3，1-。

【点睛】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键。

11．（1）①如图；②AH ＝PH ，AH ⊥PH ．证明见解析（2）tan 28或1tan17
1tan17
-+ 【详解】试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH ＝PH ，AH ⊥PH ．连接CH ，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ 等腰Rt △，根据平移的性质得DP ＝CQ ，证得△HDP ≌△△HQC ，全等三角形的对应边相等得PH ＝CH ，等边对等角得∠HPC ＝∠HCP ，再结合BD 是正方形的对称轴得出∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°，∴AH ＝PH 且AH ⊥PH ．四点共圆作法，同上得：∠HPC ＝∠DAH ，∴A 、D 、P 、H 共向，∴∠AHP ＝90°，∠APH ＝∠ADH ＝45°，∴△APH 等腰Rt △。

（2）轴对称作法同（1）作HR ⊥PC 于R ，∵∠AHQ ＝152°，∴∠AHB ＝62°，∴∠DAH ＝17°
∴∠DCH ＝17°．设DP ＝x ，则12
x DR HR RQ -===.由tan17HR CR =代入HR ，CR 解方程即可得出x 的值. 四点共圆作法，A 、H 、D 、P 共向，∴∠APD ＝∠AHB ＝62°，∴1tan 28tan 62tan 62AD PD =
==。

试题解析： （1）①法一：轴对称作法，判断：AH ＝PH ，AH ⊥PH
证：连接CH ，得：△DHQ 等腰Rt △，又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△△HQC ，∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP BD 为正方形ABCD 对称轴，∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ，∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ，∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°，∴AH ＝PH 且AH ⊥PH 。

法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC ＝∠DAH ，∴A 、D 、P 、H 共向，∴∠AHP ＝90°，∠APH ＝∠ADH ＝45°，∴△APH 等腰Rt △。

（2）法一：轴对称作法
考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则
1
2
x DR HR RQ
-
===.
由tan17
HR
CR
=得：
1
2tan17
1
2
x
x
-
=
+
，∴
1tan17
1tan17
x
-
=
+
．即
PD=
1tan17
1tan17
-
+
法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴
1
tan28 tan62tan62
AD
PD===。

考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆。