第6章 数列与数学归纳法(6.4-6.8)

6.4数学归纳法
例题精讲
【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）
【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推
出(1)f k +≥2
)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）
A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；
B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；
C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；
D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B
【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++1
21
31211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．
【参考答案】当k n =时，左边为1
21
4131211-+++++k Λ． 当1+=k n 时，左边为121
2211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．
左边需要添的项为1
21
221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．
【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．
【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．
假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）． 当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅
4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．
422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时
原命题成立． 综上所述，原命题成立．
【例5】是否存在常数,a b 使得()()21
12233413
n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．
【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明
【例6】若*
n N ∈,求证:2
3sin cos
cos
cos
cos 2
2222sin
2n n n
α
α
αααα
=
L ．
【参考答案】① 1n =时,左=cos
2
α
, 右=
sin cos
2
2sin
2
αα
α
=,左=右
② 设n k =时, 2
3sin cos
cos
cos
cos 2
222
2sin
2k k k
α
α
αααα
=
L
1n k =+时, 2
311
sin (cos
cos
cos
cos )cos cos
2
2
222
2
2sin
2k k k k k
α
α
ααααα
α
++⋅=⋅L
=
1
1
1
1
1
1
sin sin cos
22
sin
cos
2
sin
2
2
2k k k k k k αα
α
α
α
α
++++++⋅=
过关演练
1． 等式22
2
2
2
574
123 (2)
n n n -+++++=（ ）．
A ． n 为任何正整数时都成立
B ． 仅n ＝1，2，3时成立
C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立
D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2． 用数学归纳法证明221
11...(1)1n n a a a a a a
++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．
3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*
()n n N ∈，n
n
a b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 ．
4． 若*1111...()23n S n N n =+
+++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2
n n
S n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为 ． 5． 若21
*7
18,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．
6． 利用数学归纳法证明2
2n
n >，第一步应该论证 ． 7． 数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n
-
+-++-=+++
-++（*
n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 ． 8． 用数学归纳法证明：2
21(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．
9． 用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)
n n
n +++++=
； （2）2
2
2
123+++ (2)
1
(1)(21)6
n n n n +=++； （3）3
3
3
123+++ (3)
2
21(1)4
n n n +=
+． 10． 在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*
n N ∈，若数列{}n a 前n
项和为n S ，求证：3n S n =．
6.5数学归纳法的运用
例题精讲
【例1】已知11=a ，)(*
2N n a n S n n ∈=
（1）求5432,,,a a a a ；
（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明
【参考答案】 解：（1）15
1
,101,61,315432====
a a a a （2）)1(2+=
n n a n ， 证明：（1）当n=1时，11=a 成立；
（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)
1(2
+=
k k a k ，则当n=k+1时，
⇒
+=++121)1(k k a k S )
2)(1(2222]1)1[(2221
12
2++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*
N n ∈，)
1(2
+=
n n a n 成立。

【例2】若*
n N ∈,且2n ≥,求证:11113
12224
n n n +++>
++L ． 【参考答案】
① 2n =时,左=
11713
341224+=> ② 设n k =时, 11113
12224k k k +++>
++L 1n k =+时, 左=
1111
222122k k k k +++++++L =111111()12212122
k k k k k k +++-+++++++L ∵11111
0121222122
k k k k k -
++=->+++++,∴左>1324 【例3】三个连续正整数的立方和可以被9整除．
【参考答案】设连续的三个数为2,1,++n n n )(*
N n ∈，下证3
3
3
)2()1(++++n n n 能被9
整除即可
【例4】已知函数()0f x ≥，对任意实数,x y 满足
()()()()()2f x y f x f y f x f y +=++，求证：()()2f nx n f x =（n N *∈）
【参考答案】（1）当1n =，原结论显然成立（ⅱ）假设当n k =时结论成立，即
()()2f kx k f x =，那么当1n k =+时，
()()()()()1()2f k x f kx x f kx f x f kx f x +=+=++⎡⎤⎣⎦
()()()()()()()2
2210,1k f x f x kf x k f x f x k =++=+≥≥，即当1n k =+时，结论也
成立，综合可知，()()2
f nx n f x =对任意n N *
∈都成立
过关演练
1． 利用数学归纳法证明“(1)(2)(3)...()213...(21)n
n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯-，*n N ∈”
时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增添的因式是 ． 2． 利用数学归纳法证明不等式“1111 (2321)
n n +
+++<-，2,n n N ≥∈”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了（ ） A ． 1项 B ． k 项 C ． 1
2
k -项 D ． 2k
项．
3． 数列2,0,4,0,6,0,...的一个通项公式是（ ）．
A ． [1(1)]2n n n a +-=
B ． (1)[1(1)]
2n n n a ++-=
C ． 1[1(1)]2n n n a ++-=
D ． 1(1)[1(1)]
2
n n n a +++-=．
4． 设平面内有n 条直线（3n ≥），其中有且只有两条互相平行，任意三条直线不过同一点， 若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ；当4n >时，()f n ＝ ．
5． 平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无任何三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成2
2n n -+个部分．
6.6归纳——猜想——论证
例题精讲
【例1】是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n
f n n =+⋅+ 对于任意*
n N ∈都能被m 整除,
若存在,求出m ;若不存在,请说明理由． 【参考答案】
(1)36,(2)108,(3)360f f f ===．猜想m 的值应为其最大公约数36．
① 1n =显然正确．
② 设n k =正确即 ()(27)39k
f k k =+⋅+ 能被36整除． 则1n k =+时 ,
11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+ 13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除．
【例2】数列{}n a 满足,2n n S n a =-*
n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归
纳法证明 【参考答案】
计算得: 12343715
1,,,248
a a a a ====．猜想 1212n n n a --=
① 1n =时,计算得11a =,结论成立;
② 设n k =时, 121
2
k k k a --=, 则
1n k =+时, 11
1111
21
[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-
∴11
212
k k k
a ++-=．
【例3】已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，n a >0,(*N n ∈),且n
n n a a s 12+=． （1）求出1a ，2a ，3a 并猜测出通向公式； （2）用数学归纳法证明你的结论． 【参考答案】
（1）令1n =，则111
1
2s a a =+
，解得111(0)a a =>； 令2n =，2221
2s a a =+
解得2
210)a a =->．
同理233-=a ． 猜测：1--=n n a n ．
（2）当1n =时，0111-==a 显然成立．
假设当k n =时原命题成立，即)(1*
∈--=N k k k a k 当1+=k n 时，
k k a k k a a a a a a a a s a a s k k k
k k k k k
k k k k k -+=--=+-+
=+=+
=+++++++11)1
(1212,121111111代入得又因为两式相减得由题意
综上所述，原命题成立
【例4】若)(n f 为12
+n 所表示的数字的各位数字之和，(n 为正整数)，例如：因为
1971142=+，17791=++，所以17)14(=f ，)()(1n f n f =，[])()(2n f f n f =，Λ，[])()(1n f f n f k k =+(k 为正整数)，则)11(2010f =
【参考答案】11 【例5】观察以下等式：
211=，22343++=，2345675++++=，……，将上述等式推广到一般情形：
对n N *
∈，有等式： ． 【参考答案】2
(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L
【例6】设*
n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设
()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+L ，
则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式为 【参考答案】()()112112S N N =+=+=；
()()()()2123411316S N N N N =+++=+++=；
()()()312822S N N N =+++=L ；21324,16S S S S ∴-=-=，
由归纳法可得：114n n n S S ---=，∴{}1n n S S --的前n 项和的表达式为：
()()41444114
3
n n
-=
--
过关演练
1． 若 11=；
14(12)-=-+； 149123-+=++；
14916(1234)-+-=-+++； ……
找出一般规律的数学表达式： ． 2． 从 11=； 2349++=； 3456725++++=； ……
找出第n 个等式的表达式： ． 3． 数列{}n a 中，*11111
1,0,,()n n
a a a a a a n N a a +≠>=+
=-∈，求出234,,a a a 的值，猜测n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．
4． 在数列{}n a 中，已知112,2n n a a a n +==+，则100a 等于 ．
5． 已知数列{}n a 满足1234,2,1a a a ===，又数列{}1n n a a +-成等差数列，则n a 等 于 ．
6． 正数数列{}n a 前n 项和为n S ，若11
()2n n n
S a a =+，猜测通项n a ，并用数学归纳法证 明．
7． 数列{}{},n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*
n N ∈），求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}{},n n a b 的通项公式，并证明你的结论．
6.7数学的极限
例题精讲
【例1】求下列极限： （1）∞
→n lim
7
57222+++n n n ; （2） ∞
→n lim （
n n n -+2）; （3）∞
→n lim
（22n +24n +…+2
2n n ）． 【参考答案】（1）∞→n lim 7
57
222+++n n n =∞→n lim 22757
12n
n n ++
+
=52
． （2）∞
→n lim （
n n n -+2）= ∞
→n lim
n
n n n ++2=∞
→n lim
1111++
n
=
2
1． （3）原式=∞
→n lim
2
2642n n
++++Λ=∞→n lim 2)1(n n n +=1．
【例2】已知无穷等比数列{}n a 各项的和等于10，则数列{}n a 的首项1a 的取值范
围是 _______
【参考答案】由）1||0(11
<<-=q q
a S ，可得()()20,1010,01Y ∈a
【例3】已知数列
{}n
a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足c a a
n n
lg lg lg 1+=-，其
中n 是大于1的整数，c 是正数．
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 和n S ； （2）求∞
→n lim
1
122+-+-n n
n n a a 的值．
【参考答案】 （1）由已知得1-⋅=n n
a c a ,
{}n a ∴是31
=a ，公比为c 的等比数列，则13-⋅=n n c a ．
=∴n
S ⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).
10(1)
1(3)
1(3c c c
c c n n 且
（2） ∞
→n lim
1
122+-+-n n
n n a a =
∞→n lim n n n n c
c 32321
1+---． ①当2=c 时，原式4
1
-=;
②当2>
c
时，原式＝∞→n lim c
c
c n n 3)2
(23)2
(11+⋅---c
1-
=; ③当20<
<c 时，原式=∞→n lim
1
1
)2
(32)2(31--⋅+-n n c
c c 2
1=． 【例4】若12122lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+∞→bn n an n n ，求b a
的值 【参考答案】()21
22212222++++=++-+bn n n a b bn n an n ，且12122lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-+∞→bn n an n n ， 所以⎪⎩⎪
⎨⎧==+120
2b
a b ，即2-=b a ．
【例5】求和：0.180.0180.0018S =+++⋯&&&
【参考答案】0.00817
0.18
0.10.080.0080.110.190
=+++⋯=+=
-&Q 0.008170.018
0.010.0080.00080.110.1900
=+++⋯=+=-& 170.0018
,9000
=⋯& 0
170.00018,910n
n ⋯=⋯⨯&14243个 1717171717909090091010.181
n ∴++⋯++⋯==⨯-原式=
【例6】如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，
另两个顶点,n n P Q 在函数2
2()(0)1x
f x x x =
>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形
n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞
=
【参考答案】因为)0,(n B n ，将n 代入函数)(x f ，得)12,
(2n n n P n +，设)12,(2
m
m
m Q n +，则根据n P 与n Q 纵坐标相等，有
221212m m
n n +=+，整理的0)1)((=--mn m n ，由于n m ≠，所以01=-mn ，进而n m 1
=，所以
1)
1(212)1(2
22+-=+⋅-==n n n n n n P B B A S n n n n n ，2lim =∞
→n n S
过关演练
n P
n Q
n
B n A
1
1 O y
x
1． 若lim n n a A →+∞
=，数列{}n b 是由{}n a 中123,,,......()k k k a a a k N *
+++∈按照原来的顺序排
列而成，则lim n n b →+∞
= ．
2． 数列{}n a 中，2
2
21
1100010012n n n a n n n n
⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限（ ）． A ． 等于0 B ． 等于1 C ． 等于0或1 D ． 不存在．
3． 设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则2
2
lim n n n
a n S →∞-= ．
4．（1）322
11
lim()334
n n n n n n →∞-+-=++ ． （2）1111
lim(
...)1447710(32)(31)
n n n →∞
++++=⨯⨯⨯-+ ． （3）若32
1
lim()03n n an b n n →∞---=+，则,a b 的值为 ． 5．（1）1lim(
)1n
n
n a a →∞-=+ ．（1a ≠-） （2）若131
lim 3(1)3
n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是 ． 6．在数列{}n a 中，542
n a n =-
，2123...n a a a a an bn ++++=+，*
n N ∈，其中,a b 为 常数，则lim n n
n
n
n a b a b →∞-=+ ． 7．（1）1
6248...(2)lim
43927...3n n
n +→∞-+-++-=+++++ ． （2）1111
lim(
...)123n m n n n n n m
→∞
-----=++++ （*m N ∈，m 为常数）．
8．设{}n a 是首项为a ，公比为(0)q q >的等比数列，它的前n 项和为n S ，若
222
12...()n n G a a a n N *=+++∈，求lim
n
n n
S G →+∞．
9．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为(0)x x >，其前n 项和为n S ，求函数
1
()lim
n
n n S f x S →∞+=的解析式．
10．已知数列{}n a 的前n 项和n S 可表示为(3)(2)(1)(2)(1)166
n n n n n n n
S +++++=-+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()f n 为关于n 的多项式，且满足lim ()2n n n S f n a →∞⎡⎤
-=⎢
⎥⎣⎦
，求()f n 的表达式．
6.8无穷等比数列各项的和
例题精讲
【例1】已知1212012
1()20122
n n n n a n -- , <⎧⎪
=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）
(A ）lim n n a →∞
和lim n n S →∞
都存在 (B) lim n n a →∞
和lim n n S →∞
都不存在
(C) lim n n a →∞
存在，lim n n S →∞
不存在 (D) lim n n a →∞
不存在，lim n n S →∞
存在
【参考答案】
选A ：因为数列的极限与数列前有限项无关，所以lim =0n n a →∞
，
又因为 ()()1232011201220132014+++...+...=n a a a a a a a S ++++，
所以()2012
1-1+402120112
lim =+121--2n n S →∞⎛⎫
⎪
⨯⎝⎭
⎛⎫
⎪⎝⎭
；
【例2】一个无穷等比数列公比为q ，满足01q <<，前n 项和为n S ，且它的第四项和第
A M N
E
F
C
B H G
S
1S 2
八项之和等于
178，第五项与第七项之积等于1
4
，则lim n n S →∞等于 （ ）
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【参考答案】B
【例3】已知无穷数列{}n a ，首项13a =，其前n 项和为n S ，且
1(1)2n n a a S +=-+*(0,1,)a a n ≠≠∈N ．若数列{}n a 的各项和为a 3
8
-，则=a
【参考答案】n 代换成1-n ，得到2)1(1+-=-n n S a a ，两式相减得到
)2(1≥=+n aa a n n ，所以n a 是一个从第二项开始的等比数列，又可求得132-=a a ，
所以可列等式a a a 3
8
1133-=--+
，解得21-=a （23=a 舍）
【例4】若数列{}n a 的通项公式是()()
321322
n
n n n n n a ----++--=，1,2n =，…，
则()12lim n n a a a →∞
++⋅⋅⋅+=（ ）
.
A 1124 .
B 1724 .
C 1924 .
D 25
24
【参考答案】选C ：当n 为奇数时2n n a -=，当n 为偶数时3n n a -=，所以
()-1-2122319lim +=1124
1-1-49
n n a a a →∞++⋅⋅⋅+= 【例5】如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求： （1）无穷个正方形的周长之和； （2）无穷个正方形的面积之积 【参考答案】（1）2a （2）2
1
8
a
【例6】设Λ,,,321T T T 为一组多边形，其作法如下：
1T 是边长为1的三角形以n T 的每一边中间31的线段为一边向外作正三角形，然后将该3
1
线
段抹去所得的多边形为1+n T ，如图所示。

令n a 表示n T 的周长，)(n T A 表示n T 的面积。

（1）计算321,,T T T 的面积)(1T A ，)(2T A ，)(3T A ； （2）求∞
→n lim (
11a +2
1a …+n a 1
)的值
【参考答案】（1）4
360sin 1121)(1=⋅⋅⋅=
οT A ， 33)(60sin 3131213)(12=+⋅⋅⋅⋅=T A T A ο，3
27
10)(60sin 91912112)(23=+⋅⋅⋅⋅=T A T A ο
（2）由分析知：13
4
-=n n a a （n T 的边数是1-n T 边数的4倍且每边是原来的41）
故1
343-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅=n n a ，∵
1
43311-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=n n a
344
3131
)111(lim 21=-
=+++∞→n n a a a Λ
过关演练
1．无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n a 有极限是数列{}n S 有极限的（ ）． A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 2．（1）化简：0.160.0160.0016...•••
+++= ．
（2）若1221...n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++，*
,0,0n N a b ∈>>，则1
lim
n
n n u u →+∞-=
．
3． 设{}n a 为无穷等比数列，{}n a 中每一项都是它后面所有项和的4倍，且516
625
a =，则它的所有偶数项之和为 ． 4． 无穷数列23112131sin ,sin ,sin ,...,sin , (22222222)
n n ππππ
的各项之和等于 ．
5． 记cos30b =︒，又无穷数列{}n a 满足112,log log 2b n b n a a a +==+，则
23lim(...)n n a a a →∞
+++等于 ．
6． 若θ是一个定锐角，1θ是
2θ
的余角，2θ是12θ的余角，3θ是22θ的余角，…，n θ是12
n θ-的余角，则lim n n θ→∞
等于 ．
7． 设无穷等比数列{}n a 满足135218
lim(...)3
n n a a a a -→∞
++++=
，求首项1a 的取值范围． 8． 数列{}n b 中任意相邻两项n b 、1n b +是方程2
1()03
n
n x a x -+=的两个根，其中n N *
∈，
且12b =，求12lim(...)n n a a a →∞
+++．
9． 以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 内用同样的方法得到又一个正方形
2222A B C D ，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和（包括正方形ABCD ）
10． 已知数列{}n a 的前n 项之和n S 满足2
13
n n S a =-，*n N ∈ （1）求lim n n S →∞
（2）若记数列{}n n a S 的前n 项之和为n U ，求lim n n U →∞
．。