2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4 Word版含答案

3.1.3空间向量基本定理 3.1.4空间向量的坐标表示
学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
知识点一空间向量基本定理
思考只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？
答案不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．
梳理空间向量基本定理
(1)定理内容：
．
不共面3e ，2e ，1e 条件：三个向量①
②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.
(2)基底：
(3)推论：
①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．
②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC →
. 知识点二空间向量的坐标表示
思考若向量AB →
＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？ 答
案
不一定．由向量的坐标表示知，若向量
AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB
→的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理(1)空间向量的坐标表示：
①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作
为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )． ②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →
＝(x ，y ，z )．
(2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，
①坐标表示：AB →＝OB →－OA →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．
②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：
(4)空间向量平行的坐标表示：
若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．
1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →
的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)
3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →
的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)
类型一空间向量基本定理及应用
命题角度1空间基底的概念
例1已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →
＝e 1＋e 2－
67
e 3，试判断{OA →，OB →，OC →
}能否作为空间的一个基底．
解假设OA →，OB →，OC →
共面，
由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，
使OA →＝x OB →＋y OC →
成立．
所以OA →
＝e 1＋2e 2－e 3
＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝
⎛⎭⎪
⎫
e1＋e2－67e3
＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －67y e 3.
得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋y ＝1，
x ＋y ＝2，
2x －67y ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝14
，y ＝7
4.
故OA →，OB →，OC →
共面，不可以构成空间的一个基底．
反思与感悟基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则
不能构成基底．
②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无
解，则不共面，能作为基底．
跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号)
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量；
③如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
答案②③
解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不
共面的向量组成的，故④不正确． 命题角度2空间向量基本定理的应用
例2如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA
→
＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.
解因为OG →＝OA →＋AG
→
＝OA →＋23AD →＝OA →＋23
(OD →－OA →)，
又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12
(OB →＋OC →
)，
所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)
＝OA →＋23×12(OB →＋OC →
)－23
OA
→
＝13(OA →＋OB →＋OC →
)＝13
(a ＋b ＋c )．
而GH →＝OH →－OG →
，
又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →
)＝13
(b ＋c )，
所以GH →＝1
3(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13
a .
所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →
＝－13
a .
引申探究
若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →
？
＝12OA →＋12×12
(OB →＋OC →)
＝1
2a ＋14b ＋1
4c .
OH →＝23OD →＝23×12
(OB →＋OC →)
＝1
3
(b ＋c )．
所以GH →＝OH →－OG
→
＝1
3(b ＋c )－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ＋14b ＋14c
＝－12a ＋112b ＋1
12
c .
反思与感悟用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．
跟踪训练2如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA′—→
＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶
1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．
(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.
解连结AC ，AD ′.
＝12(AB →＋AD →＋AA′—→)＝1
2
(a ＋b ＋c )．
(2)AM →＝12
(AC →＋AD′—→
)
＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12
c .
(3)AN →＝12(AC′—→＋AD′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA′—→)＋(AD →＋AA′—→
)]＝12
a ＋
b ＋
c .
(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA′—→＝AC →＋45(AA′—→－AC →)＝15AC →＋45AA′—→＝15(AB →＋AD →
)＋45AA′—→＝15a ＋15b ＋45
c .
类型二空间向量的坐标表示
例3如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′
C ′，BC 的中点，以{AB →，A
D →，AA′—→
}为基底，求下列向量的坐标．
(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.
解(1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD′—→＝AD →＋12
AA′
—→
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，0，
AF →＝AA′—→＋A′D′—→＋D′F —→＝12AB →＋AD →＋AA′—→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，1，1.
(2)EF →＝AF →－AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA′—→＋AD →＋12AB →－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫AD →＋12AA′—→
＝12AB →＋12AA′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，0，12，
EG →＝AG →－AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫AD →＋12AA′—→
＝AB →－12AD →－12AA′—→
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，
DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12
AD →－AD
→
＝AB →－12AD →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－12，0.
引申探究
本例中，若以{DA →，DC →，DD′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →
的坐标．
解AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD′—→
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1，0，12，
AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12
DA
→
＝－12DA →＋DC →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1，0，
EF →＝12DC →＋12DD′—→
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，12.
反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤
跟
踪
训
练
3如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN
→
的坐标．
解∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，
∴AB →，AD →，AP →
是两两垂直的单位向量．
设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →
＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .
∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →
＝－12AB →＋AP →＋12
PC
→
＝－12AB →＋AP →＋12
(PA →＋AC →
)
＝－12AB →＋AP →＋12
(PA →＋AB →＋AD →
)
＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12
e 3，
∴MN →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，12.
类型三空间向量的坐标运算及应用
例4已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．
(1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；
(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝x AB →＋y BC →
成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．
解AB →
＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →
＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)AB →＋AC →
＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)．
AB →－AC →
＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得
BC →
＝(－2，－1,2)．由题意得
(－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－1＝x －2y ，0＝x －y ，
2＝2y ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．
反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐
标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．
跟
踪
训
练
4已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四
边形ABCD 是一个梯形．
证明∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →
＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
∴－24＝3－6＝－36
，
∴AB →与CD →
共线，即AB ∥CD ，
又∵AD →
＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
BC →
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
∴0
－2≠－4－1≠1－2
，∴AD →与BC →
不平行．
∴四边形ABCD 为梯形．
1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }
下的坐标是________．
答案(12,14,10)
解析设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，
故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．
2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.
答案(2，－4,2)
解析依题意，得b ＝a －(－1,2，－1)
＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．
3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________.
答案(8,0,4)
解析4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则
AD1
—→
的坐标为________，AC1—→
的坐标为________．
答案(0,2,1)(2,2,1)
解析根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD1—→的坐标为(0,2,1)，AC1—→
的坐
标为(2,2,1)．
5．在四面体OABC 中，
OA
→＝a ，
OB
→＝b ，
OC
→＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则
OE
→＝________.(用a ，b ，c 表示)
答案12a ＋14b ＋14
c
解析OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12
(AB →＋AC →
)
＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)
＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14
c .
1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在
建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．
一、填空题
1．有下列三个命题：
①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；
③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 其中为真命题的是________．(填序号) 答案①②
解析①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．
2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________．
答案(5,13，－3)
解析由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，
设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →
＝(1,12，－6)，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4＝1，y －1＝12，
z －3＝－6，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝5，
y ＝13，
z ＝－3，
即D 点坐标为(5,13，－3)．
3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB
→的坐标为________，DC1—→的坐标为________，B1D —→
的坐标为
________.
答案(1,0,0)(1,0,1)(－1,1，－1)
解析由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC1—→＝(1,0,1)，B1D
—→
＝(－1,1，－1)．
4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________．
答案140
解析显然x ≠0，y ≠0.
因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7
y
，
即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.
5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分
别为________． 答案52，－1，－
12
解析∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋
3e 3，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
α＋β＋γ＝1，
α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
α＝52
，
β＝－1，γ＝－12
.
6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.
答案0
解析因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →
＝(2，－2,6)，
由题意得AB →∥AC →
，
所以m －12＝1－2＝m －2n －36，
所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.
7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________．
答案2,10,7
解析∵A 与A ′关于x 轴对称，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝2，
μ＝10，v ＝7.
8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.
考点空间向量运算的坐标表示
题点空间向量的坐标运算
答案16 －
32
解析∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，
∴2x 1＝1－2y ＝3
9
(y ≠0)，
∴x ＝16，y ＝－32
.
9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25
AB →
，则C 的坐标是________．
考点空间向量的正交分解
题点向量的坐标
答案⎝ ⎛⎭⎪
⎫－65
，－45，－85
解析设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →
＝(x ，y ，z )．
又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25
AB →，
∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－8
5.
10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA
→，OC
→，OD
→}为基底，
DM
→
＝x
OA
→＋y
OC
→＋z OD →
，则实数组(x ，y ，z )＝________.
答案⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12，0，－1
解析因为DM →＝OM →－OD
→
＝12OA →＋0OC →－OD →
，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，－1.
11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC
→
＝c ，则向量OD →
＝________.(用a ，b ，c 表示)
答案12a －12
b ＋c
解析∵AB →＝－2CD →
，
∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)，
∴b －a ＝－2(OD →
－c )，
∴OD →＝12a －1
2
b ＋
c .
二、解答题
12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．
解由已知p ＝2a ＋3b －c ，
设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋
(y ＋z )b ＋z c ，
则有⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，
z ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝4，
z ＝－1，
故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．
13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件
的P 点坐标：
(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12
(AB →－AC →
)．
解AB →＝OB →－OA →
＝(2,6，－3)，
AC →＝OC →－OA →
＝(－4,3,1)． (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，
则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →
)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，32，－2，
所以OP →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，32，－2.
(2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，
则AP →＝OP →－OA →
＝(x －2，y ＋1，z －2)，
由(1)知12(AB →－AC →
)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝3，
y ＋1＝32，
z －2＝－2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝1
2，
z ＝0，
所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5，12，0.
三、探究与拓展
14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底
的是________．(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c .
答案③④
解析∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ， ∴p 与q 共面，a ，b 共面．
而c 与a ，b 不共面，
∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，
同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．
15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知
△
ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA1—→，AB1—→，AC1—→
的坐标．
解分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD1—→
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正
方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，0，A 1⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫32，0，2，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，2，
C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，2，
所以AA1—→＝(0,0,2)，AB1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－
32，－12，2，
AC1—→＝⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫－
32，12，2.。