第12讲 角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)

第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）
考点考向
一、角的相关概念
1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．
角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．
如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．
如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.
2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．
1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．
3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：
(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．
(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．
(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．
4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；
(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．
5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的1
60
为1
分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的1
60
为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．
二、角的比较1）角的比较方法
(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．
(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.
提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.
2）角的和、差
由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．
3）角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝2
1
∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示
○
1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。

注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA 是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC 表示北偏西45。

或写成西北方向．
○
2仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 三、余角、补角、对顶角
1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。

用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。

用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
3）余角（补角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

4）对顶角的定义：一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。

注：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。

5）对顶角的性质：对顶角相等。

说明：如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角，即∠1=∠4，∠2=∠3
一．角的概念（共2小题）
1．（2021秋•镇江期末）如图，已知点O 在直线AB 上，∠AOC ＝5∠BOC ，则∠BOC ＝ 30° ．
【分析】利用邻补角的定义解答即可得出结论． 【解答】解：由题意得： ∠AOC +∠BOC ＝180°． ∵∠AOC ＝5∠BOC ， ∴5∠BOC +∠BOC ＝180°． ∴∠BOC ＝30°． 故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了邻补角的定义的应用，由题意列出关于∠BOC 的方程是解题的关键．
2．（2021秋•亭湖区期末）如图，在∠AOB 的内部以O 为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n 条射线，共有 （n +2）（n +1）
个角．
考点精讲
1 2
3
4
【分析】根据基本图形，寻找角的个数变化的规律，即每增加一条射线，增加了多少角，找出角的个数与射线条数之间的数量关系．
【解答】解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；
若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
…
若引n条射线，图中共有1+2+3+…+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；
故答案为：（n+2）（n+1）．
【点评】本题是找规律题，总结出在一个角的内部引n条射线共有（n+2）（n+1）个角是解题的关键．
二．钟面角（共2小题）
3．（2021秋•苏州期末）学校早上8：20上第一节课，40分钟后下课，这节课中分针转动的角度为（）
A．180°B．240°C．270°D．200°
【分析】根据钟面角的定义以及角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：由钟面角的特征可知，钟面上每两个数字之间所对应的圆心角，即所对应的一个“大格”的度数，
所以∠BOC＝360°×＝30°，
分针从指向“4”转到指向“12”，共转过了8格“大格”，
所以转过的度数为30°×8＝240°，
故选：B．
【点评】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键．
4．（2021秋•宜兴市期末）一块手表上午6点45分，此时时针分针所夹锐角的大小为67.5
度．
【分析】6点45分时，分针指向9，时针在指向6与7之间，则时针45分钟转过的角度即为6时45分时，时钟的时针与分针的夹角度数，根据时针每分钟转0.5°，计算2×30°+30°﹣0.5°×45即可．
【解答】解：∵6点45分时，分针指向9，时针在指向6与7之间，
∴时针45分钟转过的角度即为6时45分时，
时钟的时针与分针的夹角度数，
即2×30°+30°﹣0.5°×45＝67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
三．方向角（共2小题）
5．（2021秋•大丰区期末）已知射线OA与射线OB垂直，射线OA表示的方向是北偏西25°方向，则射线OB表示的方向为南偏西65°方向．
【分析】利用平角180°减去90°与25°的和即可解答．
【解答】解：∵射线OA与射线OB垂直，
∴∠AOB＝90°，
由题意得：
180°﹣（90°+25°）＝65°，
∴射线OB表示的方向为南偏西65°方向，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．6．（2021秋•邗江区期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是北偏东70°；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数，根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
【点评】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．
四．度分秒的换算（共2小题）
7．（2021秋•江都区期末）如图，∠1＝24°24′，则射线OA表示的方位是南偏东65.6°．
【分析】求出∠1的余角为65°36′，然后再根据度分秒的进制进行换算即可解答．
【解答】解：由题意得：
90°﹣∠1＝90°﹣24°24′
＝89°60′﹣24°24′
＝65°36′，
∵1°＝60′，
∴36′＝0.6°，
∴65°36′＝65.6°，
∴射线OA表示的方位是南偏东65.6°，
故答案为：65.6．
【点评】本题考查了方向角，度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．8．（2021秋•邗江区期末）计算：33°52′+21°50′＝55°42'．
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可．
【解答】解：33°52′+21°50′
＝54°102′
＝55°42′，
故答案为：55°42′．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
五．角平分线的定义（共3小题）
9．（2021秋•如皋市期末）如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．
【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解．
【解答】解：∵OC为∠AOB内的一条射线，
∴当∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC时OC平分∠AOB，
∴A，C，D不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．10．（2021秋•溧阳市期末）OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，则∠AOB＝（2m﹣n）°（用含m、n的代数式表示）．
【分析】设∠AOM＝α，∠BON＝β，根据角平分线的定义可得∠MOC＝∠AOM＝α，∠DON ＝∠BON＝β，即可得出∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠DOB＝2∠DON＝2β，由∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝m°，等量代换得α+n°+β＝m°，即可得出α+β＝m°﹣n°，由∠AOB ＝∠AOC+∠COD+∠DOB＝2α+n°+2β＝2（α+β）+n°，计算即可得出答案．
【解答】解：设∠AOM＝α，∠BON＝β，
∵OM平分∠AOC，ON平∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOM＝α，∠DON＝∠BON＝β，
∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠DOB＝2∠DON＝2β，
∵∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝m°，
∴α+n°+β＝m°，
∴α+β＝m°﹣n°，
∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠DOB＝2α+n°+2β＝2（α+β）+n°＝2m°﹣n°．
故答案为：（2m﹣n）．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，熟练角平分线的定义及角的计算列出代数式进行计算是解决本题的关键．
11．（2021秋•无锡期末）已知O是直线上的一点，∠AOB是直角，OE平分∠AOC．（1）在图1中，若∠BOD＝26°，求∠AOE的度数；
（2）将图1中的∠AOB绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．若∠BOD＝α，试通过计算，用含α的式子表示∠AOE．
【分析】（1）由平角的定义可求解∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解；
（2）由角的和差可求解∠AOD，∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°；
（2）∵∠BOD＝α，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣α，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝90°+α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝45°+α．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．六．角的计算（共3小题）
12．（2021秋•常州期末）一副三角尺按如图所示位置放置，OP为公共边，量角器中心与点O重合，OA为0°刻度线．如果三角尺一边OB与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的是（）
A．15°刻度线B．30°刻度线C．45°刻度线D．75°刻度线
【分析】由图可知：∠BOP＝30°，∠POC＝45°，∠BOA＝90°，进而由∠BOA﹣∠BOP ﹣∠POC可求出∠AOC的度数，求出结果．
【解答】解：由图可知：∠BOP＝30°，∠POC＝45°，∠BOA＝90°，
∴∠AOC＝∠BOA﹣∠BOP﹣∠POC＝90°﹣30°﹣45°＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要考查角的计算，关键是熟知三角板的各个角的度数，并能准确计算．13．（2021秋•泰州期末）将一副三角板如图所示摆放，使其中一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若已知∠2＝58°28'，则∠1的度数是28°28′．
【分析】利用角的和差关系先求出∠3，再求出∠1．
【解答】解：∵∠DAE＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠3＝∠DAE﹣∠2＝90°﹣58°28′，
∠1＝∠BAC﹣∠3
＝60°﹣（90°﹣58°28′）
＝60°﹣90°+58°28′
＝28°28′．
故答案为：28°28′．
【点评】本题主要考查了角的计算，掌握角的和差关系是解决本题的关键．
14．（2021秋•太仓市期末）如图，已知∠AOB＝2∠BOC，OD平分∠AOC，且∠BOD＝20°，则∠AOC的度数为120°．
【分析】由角平分线的定义得∠AOD＝∠COD，而∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∠COD＝∠BOC+∠BOD，从而可得∠AOB﹣∠BOD＝∠BOC+∠BOD，则可求得∠BOC的度数，则可求∠AOC的度数．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠BOC+∠BOD，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOD＝20°，
∴2∠BOC﹣20°＝∠BOC+20°，
解得：∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
七．余角和补角（共9小题）
15．（2021秋•大丰区期末）已知∠A＝34°，则∠A的余角为56°．
【分析】根据余角的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝34°，
∴∠A的余角为90°﹣34°＝56°．
故答案为：56°．
【点评】本题主要考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义进行求解是解决本题的关键．16．（2021秋•射阳县校级期末）已知∠α＝32°24′，则∠α的补角是147°36′．【分析】根据和为180°的两个角互为补角求解即可．
【解答】解：∠α的补角＝180°﹣32°24′＝147°36′，
故答案为：147°36′．
【点评】此题考查了补角，熟记和为180°的两个角互为补角是解题的关键．17．（2021秋•射阳县校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°，∠2＝57°．
【分析】本题需先求出∠EAC的度数，再由∠EAC与∠2互余，进而求出∠2的度数．【解答】解：由题意可知：∠1+∠EAC＝60°，∠EAC+∠2＝90°，
∵∠1＝27°，
∴∠EAC＝60°﹣∠1＝33°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝57°．
故答案为：57°．
【点评】本题考查了余角，熟练掌握余角的性质即可得到答案．
18．（2021秋•高邮市期末）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（）
A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3
【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3，
∴180°﹣∠1＝90°﹣∠3，
∴∠1﹣∠3＝90°．
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
19．（2021秋•海门市期末）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1叠加放置，其中B与E 重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的平分线，当三角板ADE旋转至如图2的位置时，∠MAN的度数为37.5°．
【分析】由角平分线的定义可得∠MAE＝∠BAE，∠NAC＝∠CAD，再根据∠MAN＝∠MAE+NAC﹣∠CAE，整理可得∠MAN的度数．
【解答】解：∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE＝∠BAE，∠NAC＝∠DAC，
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE
＝（∠BAE+∠DAC）﹣∠CAE
＝（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE
＝×75°
＝37.5°；
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差是解题关键，注意要分情况讨论．
20．（2021秋•常州期末）如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据余角的性质可得∠BOC+∠BOD＝90°．由已知条件∠BOC＝4∠BOD，可得∠BOC＝×90°，计算即可得出答案．
（2））根据题意∠AOC与∠BOC互为补角，可得∠AOC+∠BOC＝180°．即可算出∠AOC ＝180°﹣∠BOC的度数，由角平分线的定义可得，∠COE＝AOC的度数，根据∠BOE ＝∠COE+∠BOC代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BOC与∠BOD互为余角，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∵∠BOC＝4∠BOD，
∴∠BOC＝×90°＝72°．
（2）∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣72°＝108°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝AOC＝108°＝54°，
∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝54°+72°＝126°．
【点评】本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．
21．（2021秋•泰兴市期末）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，则∠DOC＝25°，∠DOC与∠AOB的关系是互补；
（2）如图②，固定三角板BOD不动，将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置．
①（1）中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立，请说明理由；
②如图②，若∠BOC＝70°，在∠BOC内画射线OP，设∠BOP＝x°（0＜x＜50），探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．
【分析】（1）利用角度的和差计算得出∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB，代入角度即可；由∠AOB+∠COD＝180°和补角的定义可得结论；
（2）①∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD＝∠AOC+∠BOD＝180°可得结论；
②根据图中角的度数可知，需要分三种情况：当x＝35时；当x＝20时；当0＜x＜50且x ≠35和20时．
【解答】解：（1）由题意可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝155°，
∴∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝25°，
∴∠AOB+∠COD＝155°+25°＝180°；
故答案为：25；互补；
（2）①成立；
理由：∠DOC+∠AOB
＝∠AOC﹣∠AOD+∠DOB+∠AOD
＝∠AOC+∠DOB
＝90°+90°
＝180°；
②∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝20°，
∴∠AOD＝70°；此时有两对角互余，∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD；
当共有3种情况：
当x＝35时，∠BOP＝∠COP＝35°，则∠BOP+∠DOP＝∠COP+∠DOP＝90°，
此时互余的角有4对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP，∠COP和∠DOP；
当x＝20时，∠BOC＝∠AOD＝∠DOP＝70°，∠COD＝∠COP＝20°，
此时，互余的角有6对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠DOP和∠COD，∠AOD 和∠BOP，∠BOC和∠BOP，∠DOP和∠BOP；
当0＜x＜50且x≠35和20时，
此时互余的角有3对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP．
【点评】此题主要考查了余角和补角，角的计算，关键是理清图中角的和差关系．22．（2021秋•兴化市期末）如图，∠AOB＝m°，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC．
（1）若∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
（2）试用含m的代数式表示∠DOE；
（3）在图中，将OC反向延长，得到OP，OM、ON分别平分∠BOP、∠AOP．请将图补充完整，并用含m的代数式表示∠MON．
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠DOE＝，代入即可得出答案；（2）由（1）知，∠DOE＝＝＝；
（3）首先得出∠BOP+∠AOP＝360°﹣∠AOB＝360°﹣m°，再由角平分线的定义得∠MON＝∠MOP+∠NOP＝．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，
∴∠DOE＝＝60°；
（2）由（1）知，∠DOE＝＝＝；
（3）补充图形如下：
∵∠AOB＝m°，
∴∠BOP+∠AOP＝360°﹣∠AOB＝360°﹣m°，
∵OM、ON分别平分∠BOP、∠AOP，
∴∠MON＝∠MOP+∠NOP＝＝．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差关系等知识，等量代换是找出两个角之间关系常用的方法．
23．（2021秋•南京期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOB＝80°，则∠BOC＝100°，∠AOD＝130°；
（2）如图②，若∠AOB＝140°，求∠AOD的度数；
（3）若∠AOB＝n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
【分析】（1）根据补角的定义可求解∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOD 的度数，进而可求解∠AOD的度数；
（2）可分两种情况：当∠BOC在∠AOB的外部时，当∠BOC在∠AOB的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当∠BOC和∠AOB互为邻补角时，即OC和OA在OB的不同侧时；当OC和OA在OB的同一侧时．而对于当OC和OA在OB的同一侧时可分为：当n＝60°时；当0＜n≤60时；当60＜n＜180时分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∵∠AOB＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+50°＝130°，
故答案为：100，130；
（2）当∠BOC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝×40°＝20°．
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝140°+20°＝160°．
当∠BOC在∠AOB的内部时，
∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝×40°＝20°．
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°﹣20°＝120°．
答：∠AOD的度数为160°或120°．
（3）当∠BOC和∠AOB互为邻补角时，即OC和OA在OB的不同侧时，∵∠AOB＝n°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠AOD＝∠DOB+∠AOB＝90°﹣n°+n°＝90°+n°，
即∠AOD＝90°+n°，此时0°＜n＜180°；
当OC和OA在OB的同一侧时，
当n＝60°，如图，此时∠AOB＝60°，∠BOC＝120°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝60°，OA和OD重合，
∴∠AOD＝0°，
当60°＜n＜180°时，如图，∠AOB＝n°，∠BOC＝180°﹣n°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOC＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°；
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝n°﹣2（90°﹣n°）＝2n°﹣180°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°﹣n°+2n°﹣180°＝n°﹣90°，即∠AOD＝n°﹣90°，此时60°＜n＜180°，
当0°＜n＜60°时，如图，∠AOB＝n°，∠BOC＝180°﹣n°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣n°，
即∠AOD＝90°﹣n°，此时0＜n＜60，
综上，当OC和OA在OB的不同侧时，∠AOD＝90°+n°，0°＜n＜180°，
当OC和OA在OB的同一侧时，当n＝60°时，∠AOD＝0°，
当0＜n＜60时，∠AOD的度数为（90﹣n）°；
当60＜n＜180时，∠AOD的度数为（n﹣90）°．
【点评】本题主要考查角的计算，分类讨论是解题的关键．
八．相交线（共1小题）
24．（2021秋•滨湖区期末）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是0个或1个或2个或3个．
【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．
【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；
当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；
当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；
当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；
故答案为：0个或1个或2个或3个．
【点评】本题考查了相交线和平行线，能够正确分类讨论是解题的关键．
九．对顶角、邻补角（共6小题）
25．（2021秋•宿城区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角∠DOB，∠AOE的补角是∠BOE．
（2）已知∠AOC＝80°，且∠COE：∠AOE＝1：3，求∠DOE的度数．
【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角；
（2）根据比例设未知数，
【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC和∠BOD是对顶角．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE的补角是∠BOE．
故答案为：∠DOB，∠BOE．
（2）∵∠COE：∠AOE＝1：3，
∴设∠COE＝x°，则∠AOE＝3x°，
∵∠AOC＝80°，
∴x+3x＝80，
∴x＝20，即∠COE＝20°，
∴∠DOE＝160°．
【点评】主要考查角的相关定义以及角度的和差倍分，要结合图象找隐藏的角度关系．26．（2021秋•泰州期末）如图，直线AB和CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠EOC，求∠EOD的度数．
【分析】根据对顶角以及邻补角的定义解决此题．
【解答】解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°．
∵OA平分∠EOC，
∴∠COE＝2∠AOC＝80°．
∴∠EOD＝180°﹣∠COE＝180°﹣80°＝100°．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角与邻补角的定义是解决本题的关键．27．（2021秋•南京期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°．
（1）如果∠AOC＝20°，求∠COE和∠BOD的度数；
（2）如果∠COE＝2∠BOD，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据角的计算与对顶角即可求解；
（2）根据已知条件可得∠COE＝2∠AOC，从而可求得∠AOC＝30°，根据邻补角即可求∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°，
∠BOD＝∠AOC＝20°．
（2）∵∠BOD＝∠AOC，∠COE＝2∠BOD，
∴∠COE＝2∠AOC．
又∵∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝3∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°．
【点评】本题主要考查对顶角，邻补角，解答的关键是熟记对顶角与邻补角的定义的掌握与应用．
28．（2021秋•玄武区期末）若∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，则∠4与∠1的数量关系是（）
A．∠1＝∠4B．∠4+∠1＝90°C．∠1﹣∠4＝90°D．∠4﹣∠1＝90°【分析】根据∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角求出∠4﹣∠1＝90°，解答即可．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，∠4与∠3是对顶角，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝180°，∠4＝∠3，
∴∠3﹣∠1＝90°，
∴∠4﹣∠1＝90°，
故选：D．
【点评】本题考查了互余和互补，掌握对顶角想等是解题的关键．
29．（2021秋•建湖县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE＝24°13′48″，则∠AOC＝48.46°．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠BOE，再根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOE＝2×24°13′48″＝48°27′36″＝48.46°，
∴∠AOC＝∠BOD＝48.46°．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
30．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）根据互补线解答即可；
（2）根据射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，得到∠BOC+∠BOE＝180°，再有等量代换得出∠AOC＝∠BOE，求出∠DOA的度数，再由∠DOE＝180°﹣∠COE求得即可；（3）根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵射线OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）∵射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
∴∠BOC+∠BOE＝180°，
又∵∠AOC +∠BOC ＝180°，
∴∠AOC ＝∠BOE ，
∵∠AOC +∠DOA ＝180°，且∠DOA ＝136°，
∴∠AOC ＝180°﹣∠DOA ＝180°﹣136°＝44°，
∴∠BOC ＝44°，
∴∠COE ＝180°﹣∠AOC ﹣∠BOE ＝180°﹣44°﹣44°＝92°，
∴∠DOE ＝180°﹣∠COE ，
＝180°﹣92°，
＝88°；
（3）∠BOC +∠EOF 的度数是为定值，等于90°
∵射线OB 为∠BOC 与∠AOC 的“互补线”，
∴∠AOC +∠BOC ＝180°，
∵射线OE 、OF 分别平分∠AOC 、∠BOC ，
∴∠AOE ＝∠EOC ，∠BOF ＝∠FOC ，
∵∠AOC +∠BOC ＝180°，
∴∠BOF +∠FOC +∠AOE +∠EOC ＝180°，
∵2∠BOF +2∠EOC ＝180°，
∴∠BOF +∠EOC ＝90°，
∵∠EOC ＝∠EOB +∠BOF +∠FOC ，
∴∠BOF +∠EOB +∠BOF +∠FOC ＝90°，
∴2∠BOF +∠EOB +∠FOC ＝90°，
∴∠BOF +∠EOB +∠BOF +∠BOF ＝90°，
∴2∠BOF ＝∠BOC ，∠EOB +∠BOF ＝∠EOF ，
∴∠BOC +∠EOF ＝90°，
∴∠BOC +∠EOF 的度数是为定值，等于90°．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，正确的找出个角之间的关系是解题的关键．
一、单选题
1．（2021·江苏射阳·七年级期中）如图所示，将一块直角三角板的直角顶点O 放在直尺的一边CD 上，如果22AOC ∠=︒，那么BOD ∠=（ ） 巩固提升
A．68︒B．58︒C．78︒D．22︒
【答案】A
【分析】根据平角的定义和直角的意义，由角的和差关系计算即可求解．
【详解】解：∵∠AOC＝22°，
∴∠BOD＝180°−22°−90°＝68°．
故选：A．
【点睛】考查了平角和直角的定义以及余角的定义，关键是熟悉平角等于180°．2．（2021·江苏洪泽·七年级期末）若∠A＝23°，则它的补角的度数为（）
A．57°B．67°C．147°D．157°
【答案】D
【分析】根据∠A的补角是180°﹣∠A，代入求出即可．
【详解】解：∵∠A＝23°，
∴∠A的补角是180°﹣23°＝157°．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的定义，如果∠A和∠B互为补角，那么∠A=180°-∠B．3．（2019·江苏鼓楼·七年级期中）如图，一个人从A点出发沿北偏东30°方向走到B点，若这个人再从B点沿南偏东15°方向走到C点则∠ABC等于（）
A．15o B．30o C．45o D．165o
【答案】C
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】解：由题意可知∠ABC=30°+15°=45°
故选C．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．（2021·江苏泗阳·七年级期末）15点整时针与分针的夹角度数为（）
A．60°B．75°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，15点整时，时针指到3上，分针指到12上，15点整时针和分针夹角是3份即可得出答案．
【详解】解：15点整，时针和分针夹角是3份，每份30°，
故3×30°＝90°．
故选：C．
【点睛】本题考查了钟表表盘与角度相关的特征，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
5．（2020·江苏江苏·七年级期中）下列图形中，1
∠与2
∠互为对顶角的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：D中∠1、∠2属于对顶角，
故选D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，是需要熟记的内容．
6．（2021·江苏镇江·七年级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，则∠ACE+∠BCD等于（）
A．120°B．145°C．175°D．180°
【答案】D
【分析】由题意可知90
∠=∠=︒，根据补角的定义可得∠ACE+∠BCD等于180°．
ACB DCE
【详解】解：∵90
∠=∠=︒，
ACB DCE
∴．
【点睛】本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，熟悉相关性质是解题的关键．
7．（2020·江苏无锡·七年级期中）将一副三角板如图摆放，∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，则∠MON的度数为（）
A．60°B．45°C．65.5°D．52.5°
【答案】D
【分析】设∠AOM=∠DOM=x，∠CON=∠BON=y，则∠BOD=60-2x，根据∠AOB=60°，∠COD=45°，列出算式，求出x-y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，即可求出答案．
【详解】设∠AOM=∠DOM=x，∠CON=∠BON=y，则∠BOD=60°-2x
∵∠COD=45°
∴60°-2x+2y=45°，
∴x-y=7.5°
∴∠MON=x+(60°-2x)+y=60°(x-y）=52.5°
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、几何图形中角度计算问题，通过代数方法解决几何问题是本题的关键
二、填空题
8．（2020·江苏·苏州中学七年级期中）一个角为65°，这个角的余角是_____度．
【答案】25°
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．
【详解】解：90°﹣65°=25°．
故这个角的余角是25°．
【点睛】本题考查余角的定义，解题的关键是理解余角的两个角的和等于90°．9．（2021·江苏徐州·七年级期末）若∠α＝23°，则∠α的补角为_____°．
【分析】根据补角的定义列式计算即可求解．
【详解】解：若∠α＝23°，则∠α的补角为：180°﹣23°＝157°．
故答案为：157．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟知互为补角的定义“如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角”是解题关键．
10．（2018·江苏新沂·七年级期中）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_____度．
【答案】75
【分析】根据特殊三角形的性质、对顶角的性质及三角形三内角和等于180°求解即可．【详解】解：如图所示：
∵360
＝，
∠︒
∠︒
＝，445
∴151803475
＝＝＝．
∠∠︒−∠−∠︒
故答案为：75．
【点睛】题目主要考查特殊三角形的角度、对顶角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理及各角之间的关系是解题关键．
11．（2020·江苏常州·七年级期中）如图，A处在B处的北偏东45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，则∠BAC等于________°．。