广东省河源市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年广东省河源市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁U（A∪B）（）A．{6，8} B．{5，7} C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}
2．函数f（x）=+的定义域是（）
A．[﹣1，+∞）B．[2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）
3．化简sin600°的值是（）
A．0.5 B．﹣0.5 C．D．
4．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（）
A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=cosx D．f（x）=x+
5．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
6．幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）
7．设f（x）=e x﹣2，则函数f（x）的零点位于区间（）
A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（2，3）
8．已知角α的终边经过点（3a，﹣4a）（a＜0），则sinα+cosα等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
9．若α∈（0，π），且，则cos2α=（）
A． B．C．D．
10．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
11．设O在△ABC的内部，且，△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
12．已知函数f（x）=|﹣sinx|﹣|+sinx|，则一定在函数y=f（x）图象上的点事（）
A．（x，f（﹣x））B．（x，﹣f（x））C．（﹣x，﹣f（x））D．（﹣x，f（x））
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．函数y=cos（2x﹣）的单调递增区间是．
14．已知||=1，=（1，），（﹣）⊥，则向量a与向量的夹角为．
15．已知，则f（f（3））的值为．16．已知函数f（x）=﹣m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
18．已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：
（1）（﹣2）•（+）；
（2）与+的夹角．
19．已知cosα=﹣，α为第三象限角．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求sin（α+），tan2α的值．
20．已知函数f（x）=2sinxcos（x﹣）﹣．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设α∈（0，），且f（+）=，求tan（α+）．
21．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．
（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．
（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）零点的个数．
2015-2016学年广东省河源市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁U（A∪B）（）A．{6，8} B．{5，7} C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}
【考点】补集及其运算；并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∪B，再利用集合补集的运算法则即可得到答案．
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}
∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，
∴C u（A∪B）={6，8}
故选A
【点评】本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”
2．函数f（x）=+的定义域是（）
A．[﹣1，+∞）B．[2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案．
【解答】解：由，解得：﹣1≤x≤2．
∴原函数的定义域为：[﹣1，2]．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．
3．化简sin600°的值是（）
A．0.5 B．﹣0.5 C．D．
【考点】诱导公式的作用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值．
【解答】解：sin600°=sin=sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．
故选D．
【点评】本题考查诱导公式sin（2kπ+α）=sinα及sin（π+α）=﹣sinα的应用，属于基础题．4．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（）
A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=cosx D．f（x）=x+
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】数形结合；函数的性质及应用．
【分析】由指数函数的单调性判断A；
作出函数的图象判断B、D；
由余弦函数的单调性判断C．
【解答】解：∵f（x）=2x是实数集上的增函数，
∴选项A不正确；
f（x）=|x﹣1|的图象如图所示，
由图可知，f（x）=|x﹣1|在区间（﹣∞，0）上为减函数．
∴选项B正确；
f（x）=cosx在[﹣π，0]上为增函数，
∴选项C不正确；
f（x）=x+的图象如图所示，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查基本初等函数的图象和性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），
又当x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．
6．幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）
【考点】幂函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的单调增区间．
【解答】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），
所以4=2α，即α=2，所以幂函数为f（x）=x2它的单调递增区间是：[0，+∞）
故选C．
【点评】本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题．
7．设f（x）=e x﹣2，则函数f（x）的零点位于区间（）
A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的解析式可得f（0）＜0，f（1）＞0，根据函数零点的判定定理可得，可得函数f（x）的零点
所在的区间．
【解答】解：∵f（x）=e x﹣2，可得f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣2＞0，
根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点位于区间（0，1）上，
故选A．
【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
8．已知角α的终边经过点（3a，﹣4a）（a＜0），则sinα+cosα等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】根据题意可得r=﹣5a，再求得sinα和cosα的值，可得sinα+cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，﹣4a）（a＜0），则r=﹣5a，
∴sinα==，cosα==﹣，
∴sinα+cosα=，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，注意a的符号，属于中档题．
9．若α∈（0，π），且，则cos2α=（）
A． B．C．D．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】计算题．
【分析】通过对表达式平方，求出cosα﹣sinα的值，然后利用二倍角公式求出cos2α的值，得到选项．
【解答】解：（cosα+sinα）2=，而sinα＞0，
cosα＜0cosα﹣sinα=﹣，
cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣=，
故选A．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，本题的解答策略比较多，注意角的范围，三角函数的符号的确定是解题的关键．
10．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．
【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），
∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+=kπ+（k∈Z），
则m的最小值为．
故选B
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．设O在△ABC的内部，且，△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】计算题．
【分析】由题意，可作出示意图，令D是AB的中点，由，可得出O是CD
的中点，从而得出O到AC的距离是点B到AC的距离的，即可求出△ABC的面积与△AOC
的面积之比
【解答】解：如图，令D是AB的中点，则有
又
∴，即C，O，D三点共线，且OC=OD
∴O到AC的距离是点D到AC的距离的，
∴O到AC的距离是点B到AC的距离的，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比为4
故选B
【点评】本题考查向量的线性运算及其几何意义，解题的关键是由所给的条件得出点O是AB边上中线的中点，再由三角形底同时面积比即为高的比直接得出答案
12．已知函数f（x）=|﹣sinx|﹣|+sinx|，则一定在函数y=f（x）图象上的点事（）
A．（x，f（﹣x））B．（x，﹣f（x））C．（﹣x，﹣f（x））D．（﹣x，f（x））【考点】正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质；分段函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据条件判断函数的奇偶性即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=|﹣sinx|﹣|+sinx|，
∴f（﹣x）=|﹣sin（﹣x）|﹣|+sin（﹣x）|=|+sinx|﹣|﹣sinx|=﹣（|﹣sinx|﹣|
+sinx|）=﹣f（x），
即函数f（x）是奇函数，
则（﹣x，﹣f（x））定在函数y=f（x）图象上，
故选：C
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，利用条件﹣判断函数的奇偶性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．函数y=cos（2x﹣）的单调递增区间是[kπ﹣π，kπ+]，k∈Z．
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】利用余弦函数的增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，列出不等式，求得自变量x的取值范围．
【解答】解：由题意，根据余弦函数的增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，
得：2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，
故答案为：[kπ﹣π，kπ+]，k∈Z
【点评】本题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用余弦函数的单调增区间，体现了换元法的应用．
14．已知||=1，=（1，），（﹣）⊥，则向量a与向量的夹角为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】求出，代入夹角公式计算．
【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即==1，
∵||==2，∴cos＜＞==．
∴＜＞=．
故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的夹角计算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
15．已知，则f（f（3））的值为3．
【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】先根据函数的解析式求出f（3）的值，再把f（3）看成自变量求出f（f（3））．
【解答】解：∵，
∴f（3）=log3（9﹣6）=1，
f（f（3））=f（1）=3•e0=3，
故答案为3．
【点评】本题考查求函数值的方法，关键是确定将自变量代入哪一个段得解析式进行运算．
16．已知函数f（x）=﹣m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为m＞1．
【考点】函数零点的判定定理；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将求函数f（x）的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可．
【解答】解：函数f（x）有三个零点等价于
方程=m|x|有且仅有三个实根．
∵=m|x|⇔=|x|（x+2），
作函数y=|x|（x+2）的图象，如图所示．
，
，由图象可知m应满足：0＜＜1，
故答案为：m＞1．
【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】（1）当a=时，A={x|}，可求A∩B
（2）若A∩B=∅，则A=∅时，A≠∅时，有，解不等式可求a的范围
【解答】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=∅
当A=∅时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠∅时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．
18．已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：
（1）（﹣2）•（+）；
（2）与+的夹角．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）先化简）（﹣2）•（+），再代入已知数据计算即可；
（2）根据夹角公式，代入数据计算即可．
【解答】解：∵||=4，||=2，且与夹角为120°，
∴，，=||•||•cos120°=4×2×（﹣）=﹣4，
（1）；
（2）∵|+|2==16+4﹣8=12，
∴|+|=2，
∵•（+）=+=16﹣4=12，
设与的夹角为θ，
∴，
又0°≤θ≤180°，
所以θ=30°，与的夹角为30°．
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及模长公式和夹角公式，属基础题．
19．已知cosα=﹣，α为第三象限角．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求sin（α+），tan2α的值．
【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，
∴，
∴．
（2）由（1）得
，．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
20．已知函数f（x）=2sinxcos（x﹣）﹣．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设α∈（0，），且f（+）=，求tan（α+）．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期．
Ⅱ）根据已知求得sinα的值，进而求得cosα和tanα的值，最后利用正切的两角和公式求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）
=
==．
∴f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ），
由可知，，．
∴．
【点评】本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数基础公式能熟练记忆．
21．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据幂函数的性质即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，
即2m2﹣m﹣1=0，
得m=1或m=﹣，
当m=1时，f（x）=x2，符合题意；
当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．
∴f（x）=x2．
（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，
即函数的对称轴为x=a﹣1，
由题意知函数在（2，3）上为单调函数，
∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，
即a≤3或a≥4．
【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．
22．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．
（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．
（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）零点的个数．
【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．
（2）利用参数分离法将不等式f（2x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围；
（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论．
【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的．
证明：设x1＜x2＜0，则
==
=
又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
所以
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故当m=2时，在（﹣∞，0）上单调递减的．
（2）由f（2x）＞0得，
变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2
而，
当即x=﹣1时，
所以．
（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）
令
作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：
当或时，f（x）有1个零点．
当或m=0或时，f（x）有2个零点；
当或时，f（x）有3个零点．
【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．
2016年3月5日。