待定系数法求数列通项公式
待定系数法求数列的通项公式
待定系数法求数列的通项公式尹伟云（贵州省仁怀市周林高中５６４５００）尹伟云全国高中数学联赛优秀教练员，多次荣获优秀教师称号。
发表论文２０多篇。
数列的通项公式是高中数学的核心知识点，根据条件式求通项是近几年高考考查的热点之一．本文从条件的结构特征入手，探讨几类数列通项公式的求法．１．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ”型例１已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝３ａｎ＋１，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋ｘ＝３（ａｎ＋ｘ），即ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ｘ，与ａｎ＋１＝３ａｎ＋１对比知２ｘ＝１，即ｘ＝１２，所以ａｎ＋１＋１２＝３ ａｎ＋１２（），从而数列ａｎ＋１２｛｝是首项为ａ１＋１２，公比为３的等比数列，所以ａｎ＋１２＝ａ１＋１２（）·３ｎ－１，得ａｎ＝３ｎ－１２．２．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｎ＋Ｃ”型例２已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝－１，且ａｎ＋１＝３ａｎ－２ｎ＋３，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋Ａ（ｎ＋１）＋Ｂ＝３（ａｎ＋Ａｎ＋Ｂ），即ａｎ＋１＝３ａｎ＋２Ａｎ＋２Ｂ－Ａ，与原式对比知２Ａ＝－２，２Ｂ－Ａ＝３，烅烄烆解得Ａ＝－１，Ｂ＝１，烅烄烆即ａｎ＋１－（ｎ＋１）＋１＝３（ａｎ－ｎ＋１），所以ａｎ－ｎ＋１＝－３ｎ－１，故ａｎ＝－３ｎ－１＋ｎ－１．３．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｑｎ＋１”型例３已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝－１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋４×３ｎ－１，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解法１设ａｎ＋１＋α·３ｎ＋１＝２（ａｎ＋α·３ｎ），即ａｎ＋１＝２ａｎ－α·３ｎ，所以α＝－４３，从而ａｎ＋１－４３·３ｎ＋１＝２ ａｎ－４３·３ｎ（），所以ａｎ－４３·３ｎ＝－５·２ｎ－１，即ａｎ＝４·３ｎ－１－５·２ｎ－１．解法２原式化为ａｎ＋１３ｎ＋１＝２３·ａｎ３ｎ＋４９，设ａｎ＋１３ｎ＋１＋α＝２３ａｎ３ｎ＋α（），易得α＝－４３，所以ａｎ＋１３ｎ＋１－４３＝２３ａｎ３ｎ－４３（），即ａｎ３ｎ－４３＝－５３２３（）ｎ－１，所以ａｎ＝４·３ｎ－１－５·２ｎ－１．４．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｑｎ＋１＋Ｃ”型例４已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝·２１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第２期３ａｎ＋５·２ｎ＋４，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α·２ｎ＋１＋β＝３（ａｎ＋α·２ｎ＋β），①将ａｎ＋１＝３ａｎ＋５·２ｎ＋４代入①式，得３ａｎ＋５·２ｎ＋４＋α·２ｎ＋１＋β＝３（ａｎ＋α·２ｎ＋β），整理得（５＋２α）２ｎ＋４＋β＝３α·２ｎ＋３β．令５＋２α＝３α，４＋β＝３β，烅烄烆解得α＝５，β＝２，烅烄烆代入①式得ａｎ＋１＋５·２ｎ＋１＋２＝３（ａｎ＋５·２ｎ＋２），②由ａ１＋５×２１＋２＝１＋１２＝１３≠０及②式，得ａｎ＋５·２ｎ＋２≠０，所以ａｎ＋１＋５·２ｎ＋１＋２ａｎ＋５·２ｎ＋２＝３，故数列｛ａｎ＋５×２ｎ＋２｝是以１３为首项、３为公比的等比数列，即ａｎ＋５×２ｎ＋２＝１３×３ｎ－１，所以ａｎ＝１３×３ｎ－１－５×２ｎ－２．５．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·Ａｎ＋１＋Ｃ”型例５已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α３ｎ＋１＝ａｎ＋α３ｎ＋１，整理得ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２α，与ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２比较，得α＝１，所以ａｎ＋１＋１３ｎ＋１＝ａｎ＋１３ｎ＋１，ａｎ＋１３ｎ＝ａ１＋１３１＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋２，故ａｎ＝（ｎ＋２）·３ｎ－１．６．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·ｑｎ＋１＋Ｃｎ＋Ｄ”型例６已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａｎ＋１＝２ａｎ＋４×３ｎ＋２ｎ＋１，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α·３ｎ＋１＋β（ｎ＋１）＋γ＝２（ａｎ＋α·３ｎ＋βｎ＋γ），即ａｎ＋１＝２ａｎ－α·３ｎ＋βｎ＋γ－β，所以α＝－４，β＝２，γ－β＝１，烅烄烆从而γ＝３，ａｎ＋１－４×３ｎ＋１＋２（ｎ＋１）＋３＝２（ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３），所以数列｛ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３｝是首项为８－４×３＋２＋３＝１、公比为２的等比数列，所以ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３＝１×２ｎ－１，故ａｎ＝４×３ｎ＋２ｎ－１－２ｎ－３．７．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·Ａｎ＋１＋Ｃｎ＋Ｄ”型例７已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝６，ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２ｎ＋３，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α（ｎ＋１）＋β３ｎ＋１＝ａｎ＋αｎ＋β３ｎ＋１，整理得ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２αｎ－α＋２β，所以α＝１，β＝２，即ａｎ＋１＋（ｎ＋１）＋２３ｎ＋１＝ａｎ＋ｎ＋２３ｎ＋１，得ａｎ＋ｎ＋２３ｎ＝ａ１＋１＋２３＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋２，故ａｎ＝（ｎ＋２）·３ｎ－ｎ－２．８．“ａｎ＋２＝Ａａｎ＋１＋Ｂａｎ”型例８已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａ２＝２，且当ｎ≥２时，ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１２，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１－αａｎ＝β（ａｎ－αａｎ－１），即ａｎ＋１＝（α＋β）ａｎ－αβａｎ－１，与ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１２对比得α＋β＝１２，αβ＝－１２，烅烄烆·３１·２０２１年第２期数学中的思想和方法《数理天地》高中版所以α，β是方程ｘ２－１２ｘ－１２＝０的两根，解得α＝１，β＝－１２，烅烄烆或α＝－１２，β＝１，烅烄烆取α＝１，β＝－１２，烅烄烆得ａｎ＋１－ａｎ＝－１２（ａｎ－ａｎ－１），即ａｎ＋１－ａｎａｎ－ａｎ－１＝－１２，所以数列｛ａｎ＋１－ａｎ｝是首项为ａ２－ａ１＝１、公比为－１２的等比数列，即ａｎ＋１－ａｎ＝－１２（）ｎ－１，从而ａｎ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋…＋（ａｎ－ａｎ－１）＝１＋１＋－１２（）＋…＋－１２（）ｎ－２＝１＋１－－１２（）ｎ－１１－－１２（）＝５３－２３－１２（）ｎ－１，又ｎ＝１时，ａ１＝５３－２３×－１２（）１－１＝１，故ａｎ＝５３－２３×－１２（）ｎ－１．（上接第１１页）球Ｏ的表面积Ｓ＝４πＲ２＝１００π．４．向量法例４已知在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＰ＝ＡＣ＝２，求三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的半径Ｒ．图４解过Ａ作Ａｙ⊥ＢＣ，以Ａ为空间坐标原点，分别以ＡＢ→ ，Ａｙ→ ，ＡＰ→为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向，建立如图４所示的空间直角坐标系．设三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的球心为Ｏ（ｘ，ｙ，ｚ），由题可知Ｂ（２，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｃ（－１，槡３，０），又ＯＰ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＡ，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ｘ２＋ｙ２＋（ｚ－２）２，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝（ｘ＋１）２＋（ｙ －槡３）２＋ｚ２，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝（ｘ－２）２＋ｙ２＋ｚ２，烅烄烆解得ｘ＝１，ｙ＝槡３，ｚ＝１，烅烄烆即球心Ｏ（１，槡３，１），所以三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的半径Ｒ＝槡５．５．截面圆法例５已知正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（）（Ａ）８１４π．（Ｂ）１６π．（Ｃ）９π．（Ｄ）２７４π．解连接ＡＣ，ＢＤ交于Ｅ，连接ＡＯ，ＰＥ，如图５所示．设球心为Ｏ，球Ｏ半径为Ｒ，由题可知，△ＡＯＥ所在的平面是球Ｏ大圆所在的平面，图５在Ｒｔ△ＡＯＥ中，（４－Ｒ）２＋（槡２）２＝Ｒ２，解得Ｒ＝９４，所以该球的表面积为４πＲ２＝８１４π，故选（Ａ）．·４１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第２期。
待定系数法求数列通项
待定系数法求数列通项作者：王庶来源：《高中生学习·高三版》2015年第10期数列是高中数学的重难点问题，也是高考考查的重点内容. 由于它是一个特殊的函数，因此在解题的过程中经常会用到一些函数的思想方法，其中待定系数法求数列通项就是一种非常不错的思想方法. 尤其是在已知数列递推关系式求数列通项问题上的应用，一般是先运用待定系数法构造一个新的递推关系式，然后与原递推关系式对应系数相等从而解决问题. 本文就这类问题做一个归类分析，以供大家参考.[an+1=pan+q（p，q均为常数）]型此类型属于数列线性递推关系式求通项问题，用待定系数法求这类通项问题是一种比较常规的方法. 一般将[an+1=pan+q（p，q均为常数）]构造成[an+1+r=p（an+r）]（[p]为常数）形式，注意参数[r]的引入.例1 ;若[a1=1]，[an+1=2an+3，]求数列[an]的通项.解析 ;令[an+1+r=2（an+r）]，则[an+1=2an+r].[∵][an+1=2an+3，][∴]由待定系数法可得，[r=3，]即[an+1+3=2（an+3）].[∴][an+1+3an+3=2].[∴]数列[{an+3}]是一个公比为[2]的等比数列，其通项为[an+3=a1⋅2n+1].又[∵a1=1]，[∴数列{an}的通项为an=2n+1-3].[an+1=pan+qn]（[p，q]为常数）型此类型属于数列非线性递推关系式求通项问题，一般将原式[an+1=pan+qn]（[p，q]为常数）构造成[an+1+λqn+1][=p（an+λqn）]（[p，q]为常数），注意参数[λ]的引入和[an]的系数[p]的提取.例2 ;若[a1=1，][an+1+an=3∙2n，]求数列[an]的通项.解析 ;令[an+1+λ∙2n+1=-（an+λ∙2n）]，则[an+1+an=-λ∙2n+1-λ∙2n=-3λ∙2n].由待定系数法可知，[λ=-1].即[an+1-2n+1=-（an-2n）]，[∴an+1-2n+1an-2n=-1].[∴]数列[{an-2n}]是公比为[-1]的等比数列.又因为[a1=1]，所以其通项为[an-2n=（a1-2）∙（-1）n-1=（-1）∙（-1）n-1.] [∴an=2n+（-1）n].例3 ;若[a1=1，an+1+2an=3∙2n，]求数列[an]的通项.解析 ;例3是例2的一种变式，方法同例2.令[an+1+λ∙2n+1=-2（an+λ∙2n），]则[an+1+2an=-λ∙2n+1-2λ∙2n=-4λ∙2n]由待定系数法可得，[λ=-34]，即[an+1-34∙2n+1=-2（an-34∙2n）.][∴an+1-34·2n+1an-34·2n=-2].[∴]数列[{an-34·2n}]是公比为[-2]的等比数列.又[a1=1]，所以其通项为[an-34·2n=（1-34·2）∙（-2）n-1][=（-2）n-2]. [∴an=34·2n+（-2）n-2].[an+1=pan+nq+r（p，q，r均为常数）]型此类型属于数列线性递推关系式求通项的另一类问题，它是在第一种类型的基础上多了一个非常数项[nq]. 对于这类递推关系，一般将其构造为[an+1+x（n+1）+y][=p（an+xn+y）]（[p]为常数）的形式，注意引入了两个参数[x，y.]例4 ;已知[a1=2，][an+1=2an+3n+1，]求数列[an]的通项.解析 ;令[an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y）]，则[an+1=2an+xn-x+y].由待定系数法对应系数相等可得，[x=3，-x+y=1，⇒x=3，y=4.][∴an+1+3（n+1）+4=2（an+3n+4）.]所以数列[{an+3n+4}]是公比为[2]的等比数列，其通项为[an+3n+4=（a1+7）·2n-1=9·2n-1]. [∴an=9·2n-1-3n-4].[an+1=pan+qn+r（p，q，r均为常数）]型此类型属于数列非线性递推关系式求通项问题，它是在第二类型问题基础上多了一个常数[r]. 对于这类递推关系，一般将其构造成[an+1+xqn+1+y][=p（an+xqn+y）]（[p，q]为常数）的形式，然后根据题目条件，运用对应系数相等的方法求出相关系数，其中要注意参数[x，y]的引入.例5 ;已知[a1=1]，[an+1=2an+3n+1，]求数列[an]的通项.解析 ;令[an+1+x3n+1+y=2（an+x3n+y）]，则[an+1=2an-x3n+y].由待定系数法对应系数相等可得，[x=-1，y=1.][∴an+1-3n+1+1=2（an-3n+1）].即数列[{an-3n+1}]是公比为[2]的等比数列，其通项为[an-3n+1=（a1-2）·2n-1].又[a1=1，][∴]通项公式为[an=3n-2n-1-1].数列求通项问题在每年的高考中都有考查，其方法多种多样，灵活多变. 待定系数法作为数学的基本思想方法，应用非常广泛，它在已知数列递推关系式求通项问题中的应用，只不过是它的冰山一角. 如果我们在平时的学习中注意积累，做个有心人，你将会有意想不到的收获.。
数列求通项待定系数法
数列求通项待定系数法摘要：一、引言二、数列求通项的概念三、待定系数法的原理四、使用待定系数法求解数列通项五、总结正文：一、引言在数学中，数列是一个具有特定规律的数字序列。
了解数列的通项公式有助于我们更好地把握数列的性质和规律。
待定系数法是一种常用的求解数列通项的方法，本文将对其进行详细介绍。
二、数列求通项的概念数列求通项是指找到一个公式，能够表示数列中任意一项与它的位置之间的关系。
通常用an 表示数列的第n 项，而通项公式则表示为an = f(n)。
三、待定系数法的原理待定系数法是一种求解数列通项的方法，主要思想是在已知数列的前几项情况下，设定一个通项公式，并求解待定系数，使得该公式满足已知的数列项。
待定系数法通常分为两步：1.设定一个通项公式an = a1 * r^(n-1) + b1 * r^(n-2) + ...+ k1 * r^0，其中a1、b1、...、k1 为待定系数，r 为公比。
2.利用已知的数列项，列出关于待定系数的方程组，求解该方程组，得到待定系数的值。
四、使用待定系数法求解数列通项假设我们有一个数列：1, 3, 5, 7, 9，我们可以使用待定系数法求解该数列的通项。
1.设定通项公式an = a1 * 2^(n-1) + b1 * 2^(n-2) + ...+ k1 * 2^0。
2.利用已知的数列项，列出关于待定系数的方程组：a1 * 2^0 + b1 * 2^(-1) + ...+ k1 * 2^(-4) = 1a1 * 2^1 + b1 * 2^0 + ...+ k1 * 2^(-3) = 3a1 * 2^2 + b1 * 2^1 + ...+ k1 * 2^(-2) = 5a1 * 2^3 + b1 * 2^2 + ...+ k1 * 2^(-1) = 7a1 * 2^4 + b1 * 2^3 + ...+ k1 * 2^0 = 93.求解方程组，得到待定系数的值。
4.根据求解得到的待定系数，得到数列的通项公式。
用待定系数法求解递推数列的通项公式
用待定系数法求解递推数列的通项公式
1待定系数法概述
待定系数法（待实例后，又称勒让德法）是一种求解递推数列通项公式的数学方法。
它以建立恰当的通项公式和找出隐含其中的待定系数为任务来处理数学问题。
因此，它属于一种推广了线性代数知识的计算方法，能够解决较为复杂的数列序列求解问题。
2基本步骤
第一步：准备递推数列，也就是给足够的项，然后依此保持一定的规律，确定n的范围，比如n的取值从0开始，一直到n-1；
第二步：将所有系数都放回到等式左边，将等号右边的数字转化为系数，并写作公式的右边：
第三步：用矩阵解法求解。
假设A=（aij），B=（bi）是m方系数矩阵和m向量，其中i、j可取从1到m，那么求解相应线性代数方程组AX=B，则X=AB-1；
第四步：最后将得到的X中所有的数给出，即得出该递推数列的通项公式。
3示例及应用
以下例子来说明如何使用待定系数法求解递推数列的通项公式：例如：求数列an的通项公式
由给定的递推关系an=an-1-1，可得a0=1
根据待定系数法求解，设an=a0xn：
a0xn=a0x(n-1)-1
化简成：xn-xn-1=-1
可以得出答案：an=a0(xn+1)=a0[(1/2)(-1)n+1]
它最简之形式便是an=1+[(-1/2)n]
待定系数法广泛用于建模和求解相关数列问题，也可用于研究不同类型的递推关系，如定组成规律、数值递推关系、数学表达式和函数表达式等。
有时可以用来解决具有特殊条件的复杂系统，比如比较整数组的格局，或者计算连续随机变量的概率分布等。
待定系数法求数列通项公式
待定系数法求数列通项公式数列是在数学中经常出现的一种序列，它是按照一定规律依次排列的一组数。
数列可以通过给定前几项来确定它的通项公式，通项公式则能够给出数列中任意一项的值。
待定系数法就是一种用于求解数列通项公式的数学方法。
1.假设通项公式的形式：首先通过观察数列的特征，猜测通项公式的形式。
通项公式可以是多项式、指数函数、三角函数等。
2.求解未知系数：将通项公式中的未知系数设为待定系数，用已知条件代入通项公式，得到一组方程。
通过求解这组方程，我们可以确定待定系数的值。
3.验证通项公式：将求得的待定系数代入到通项公式中，验证该公式是否能够满足数列的所有已知条件。
如果满足条件，那么该通项公式即为数列的通项公式；如果不满足条件，则需要重新调整通项公式的形式或求解更多的未知系数。
下面我们以一个具体的例子来演示待定系数法的应用过程。
例题：已知数列的前几项依次为2、5、10、17、26...求数列的通项公式。
解：1. 假设通项公式的形式：我们观察数列的前几项，发现每一项与前一项之间的差都是递增的。
这种差的递增规律，提示我们可以假设通项公式为一个多项式来表达。
假设通项公式为An = an^2 + bn + c，其中a、b、c为待定系数。
2.求解未知系数：将已知条件代入通项公式，得到一组方程。
代入An = an^2 + bn + c中的已知条件：当n=1时，A1=a+b+c=2；当n=2时，A2=4a+2b+c=5；当n=3时，A3=9a+3b+c=10；解这组方程可以得到a=1，b=0，c=13.验证通项公式：将求得的待定系数代入到通项公式中，验证是否满足数列的所有已知条件。
将a=1，b=0，c=1代入通项公式An = an^2 + bn + c中：当n=1时，A1=1+0+1=2，符合；当n=2时，A2=4+0+1=5，符合；当n=3时，A3=9+0+1=10，符合。
因此，通项公式为An=n^2+1，可以得到数列的通项公式。
用待定系数法求递推数列的通项公式
用待定系数法求递推数列的通项公式待定系数法是求递推数列通项公式的一种常用方法。
该方法基于递推数列的特点，通过设定合适的待定系数，将通项公式表示成由待定系数组成的表达式，并经过递推关系的逐步化简，最终求解出待定系数的值，从而得到递推数列的通项公式。
下面将详细介绍待定系数法的求解步骤。
首先，我们假设递推数列的通项公式为An=f(n)，其中An表示数列的第n项。
为了方便计算，我们通常假设数列的递推关系为线性关系，即数列的第n项可以通过前面若干项的线性组合来表示。
接下来，我们使用待定系数法的基本步骤来求解递推数列的通项公式。
第一步：确定待定系数的个数根据递推数列的递推关系，确定待定系数的个数。
一般来说，待定系数的个数等于递推数列递推关系中的最高指数。
例如，如果递推关系中的最高指数为k，那么待定系数的个数就是k+1、通过确定待定系数的个数，我们可以知道通项公式中所需的待定系数个数。
第二步：设定待定系数设定待定系数的具体值。
通常情况下，我们设定待定系数为a0、a1、a2等。
第三步：根据递推关系列出方程根据递推数列的递推关系，使用已设定的待定系数列出方程。
将递推数列的递推关系代入通项公式中，得到包含待定系数的方程。
第四步：递推计算根据前面列出的方程，逐步计算数列的各项，并同时计算待定系数的值。
通过从1到k的递推计算，可以求解出待定系数的值。
第五步：得到通项公式将求得的待定系数的值代入到第一步所确定的通项公式中，即可得到递推数列的通项公式。
通过以上五个步骤，可以使用待定系数法求解递推数列的通项公式。
在实际应用中，待定系数法可以广泛应用于求解各种类型的递推数列，无论是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
总结起来，待定系数法是求解递推数列通项公式的一种常用方法。
通过设定待定系数、列出方程、递推计算和得到通项公式的步骤，我们可以求解出递推数列的通项公式。
待定系数法在数列的研究和应用中有着重要的地位，通过手动计算或使用计算机软件进行数值计算，可以求解出复杂的递推数列的通项公式。
待定系数法求数列通项公式(可编辑
待定系数法求数列通项公式(可编辑下面，我将以一个具体的例子来说明待定系数法的具体步骤。
假设我们已知数列的前几项为：1,3,5,7,9,...我们需要找出满足这些已知项的数列通项公式。
首先，我们要观察数列的递推关系。
在本例中，我们可以发现数列的每一项都是前一项加上2，因此可以得到递推关系：An=An-1+2，其中An 表示数列的第n项。
然后，我们用未知系数来表示数列的通项公式。
假设数列的通项公式为An = an^2 + bn + c，其中an、bn和c是待定系数。
我们要确定这些待定系数的值，使得公式能够满足已知的前几项。
接下来，我们将已知项代入数列通项公式，并带入递推关系中。
对于本例，我们将前四项代入：A1=a(1)^2+b(1)+c=1A2=a(2)^2+b(2)+c=3A3=a(3)^2+b(3)+c=5A4=a(4)^2+b(4)+c=7上面的等式可以简化为：a+b+c=14a+2b+c=39a+3b+c=516a+4b+c=7现在，我们可以通过解这个线性方程组来确定未知系数的值。
使用待定系数法的第一步是通过消元法将这个线性方程组转化为上三角或下三角形式，这样方程的解就能够通过回代法求得。
但是这里我们之求a、b和c的值，而不需要求解方程组的解。
因此，为了简化求解过程，我们可以采用另一种更简单的方法。
我们可以通过观察等式两边的系数来发现一个规律。
在本例中，我们可以发现左边的系数分别是1,4,9,16，是一个公差为3的等差数列，而右边的常数项分别是1,3,5,7，也是一个等差数列。
因此，我们可以假设左边系数的递推公式为n^2，且右边常数项的递推公式为2n-1、即a=n^2，b=2n-1，c为常数项。
将这些规律代入等式中，我们可以得到三个等式：n^2+(2n-1)+c=14n^2+(2(2n-1))+c=39n^2+(2(2n-1))+c=5将等式进行再次简化：n^2+2n+(c-1)=14n^2+4n+(c-3)=39n^2+4n+(c-5)=5由于等式是成立的，所以左边的式子和右边的常数项应该是相等的。
用待定系数法求数列的通项公式
用待定系数法求数列的通项公式给出数列的递推公式求数列通项公式，常用到待定系数法，就是设法在原递推式中增添适当的项，进而把它转化为一个等比数列的递推公式，这种方法应用广泛，易于掌握。
现举例说明。
（其中,,,p q r s 为常数）题型一：1n n a pa q +=+型例1 在数列}{n a 中，11=a ，831+=+n n a a ，求数列的通项公式。
分析：为使原递推式两端项数相同，并能满足同一对应关系，可知应在左端添加常数项，故需设待定系数x ，将原递推式恒等变形。
解：∵831+=+n n a a ∴ x a x a n n ++=++831 ∴)38(31x a x a n n ++=++，应使1n a x ++与83n x a ++满足同一函数()n f n a λ=+的对应关系，以便化为等比数列求解。
可令83x x +=，所以4x =，∴143(4)n n a a ++=+。
∴数列{4}n a +是首项145a +=，公比为3的等比数列。
故1453n n a -+=⋅ ∴1534n n a -=⋅+。
掌握了这个基本思想，我们就可以用同样的方法做下面的几个例题。
题型二：1n n a pa rn s +=++型 与11n n n a pa r q s ++=+⋅+型。
例2．在数列}{n a 中，已知1117,5234n n n a a a ++==+⋅-，求数列}{n a 的通项公式。
分析：为使原递推式两端的项数相同，并满足同一种对应关系，在左端应添加含23n +的项和常数项，故需设两个待定系数,x y ，将原式恒等变形。
解：115234n n n a a ++=+⋅- ∴2121352334n n n n n a x y a x y ++++++=+⋅++- 即：211(23)435[3]55n n n n x y a x y a ++++-++=+⋅+，应使该等式两侧满足同一函数1()3n n f n a λμ+=+⋅+的对应关系，以便求解，可令(23)4,55x y x y +-==，∴1,1x y ==，∴211315(31)n n n n a a +++++=++，于是数列1{31}n n a ++-是首项为15，公比为5的等比数列。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
待定系数法求通项公式
待定系数法求通项公式
待定系数法是一种求解递推数列通项公式的常用方法。
递推数列是一种按照一定规律递推生成的数列，而通项公式则是这个数列的第n项与n的函数的关系式。
我们可以通过待定系数法来求递推数列的通项公式。
具体地说，待定系数法是一种猜测法，我们假设通项公式为某个形式，再通过数列前几项的值和递推式来确定该形式中出现的未知系数，最终得到通项公式。
以下是待定系数法的具体步骤：
1. 根据数列的性质和规律猜测通项公式的形式，如等差数列通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 根据数列前几项的值和递推式来确定未知系数的值。
3. 验证得到的通项公式是否符合数列的性质和规律。
举例来说，假设我们要求递推数列{an}的通项公式，其中a1=1，a2=2，a3=4，递推式为an=3an-2+2an-1，我们可以按照以下步骤来使用待定系数法求解：
1. 假设通项公式为an=2n+k，其中k为待定系数。
2. 根据数列前几项的值和递推式，得到以下方程组：
a1=2+k
a2=4+k
a3=8+k
an=3an-2+2an-1
将an=2n+k代入递推式得到：
2n+k=3(2n-2+k)+2(2n-1+k)
化简得到k=-1，因此通项公式为an=2n-1。
3. 验证通项公式是否符合数列的性质和规律，可以发现该通项公式满足递推式和数列前几项的值，因此是正确的。
总之，待定系数法是一种简单有效的方法，可以帮助我们求解各种递推数列的通项公式。
求数列通项公式的8种方法
求数列通项公式的8种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武
例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式_陈增武待定系数法是一种常见的求解递推数列通项公式的方法，通过假设数列的通项公式并利用递推关系逐步确定待定系数的值。
本文将以几类典型的递推数列为例，详细阐述待定系数法的应用。
首先考虑等差数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
假设数列的通项公式为 an = an-1 + d，其中d为公差。
根据递推关系an = an-1 + d，我们可以令an = a1 + (n-1)d，再将an-1 = a1 + (n-2)d代入等式中，经过化简得到 an = a1 +(n-1)d，即数列的通项公式。
其次考虑等比数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
假设数列的通项公式为 an = a1 * q^n ，其中q为公比。
根据递推关系an = a1 * q^n，我们可以令an = a1 * q ^ (n-1)，再将an-1 = a1 * q ^ (n-2)代入等式中，经过化简得到 an =a1 * q ^(n-1)，即数列的通项公式。
再次考虑斐波那契数列：数列的通项公式一般形式为 an = an-1 +an-2，其中a1 = 1，a2 = 1、假设数列的通项公式为 an = ax ^ n + by ^ n，其中x、y为待定系数。
根据递推关系an = an-1 + an-2，我们可以令an = ax ^ (n-1) + by ^ (n-1)，再将an-1 = ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)、an-2 = ax ^ (n-3) + by ^ (n-3)代入等式中，经过化简得到 an = (x + y) * (ax ^ (n-2) + by ^ (n-2)) - aux^(n-3) - by^(n-3)，即数列的通项公式。
最后考虑二次递推数列：数列的通项公式一般形式为 an = a1 * n^2 + b1 * n + c1，其中a1、b1、c1为常数。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=例1例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， n a例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
浅谈用待定系数法求数列通项公式
33
3
a1与通项an公式.
2. （2009年全国Ⅱ理科卷）设数列{an}的前n项
和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.
（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
筲参考答案
1. a1=2，an=4n-2n.
2.（1） 证略 ，{bn}是 以3为 首 项 ，2 为 公 比 的 等 比
恰恰是解题的关键所在. 实际上是利用了待定系数
法得以实现.
设an-san-1=t（an-1-san-2），即an=（s+t）an-1-stan-2，比较
≥ 系数，得 ss+t=t-=32，，所以s，t是一元二次方程x2-2x-3=0的
≥ ≥ 两根，解得
st==-31，或
s=-1， t=-3.
因此 ，便 得 到 an - 3an-1=-（an-1-3an-2）以及an+an-1=
3（an-1+an-2）这两个关键的式子.
下面，我们来看看由此演变出来的各个高考试
题或模拟试题.
例 1 （% 2007年天津文科卷第20题）在数列{an}
中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.证明数列{an-n}是等比 数列.
证明 设an+1-x（n+1）=4（an-xn），则an+1=4an-3xn+x.
例 4 （% 2005年江西卷）已知数列{an}各项为正
数，且满足a1=1，an+1=
1 2
a（n 4-an）（n∈N*）.
（1）求证：an<an+1<2（n∈N*）； （2）求数列{an}的通项公式.
几种求数列通项公式的方法
几种求数列通项公式的常用方法一、公式法：1、等差数列公式例1（1）. 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式；解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-2、等比数列公式例1（2）.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈ 3、通用公式：若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的a n 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例1（3）.已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
解：011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。
∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 二、叠加法(逐差相加法)：对于已知形如)(1n f a a n n +=+类的递推公式求通项，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求的题型，可把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用叠加法(逐差相加法)求通项公式.例2. 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。
数列待定系数法公式
数列待定系数法公式数列待定系数法是解决递推关系式问题的一种常用方法，它的基本思路是：设出数列的通项公式并求出待定系数的值，从而得到数列的通项公式，进而求出数列中任意一项的值。
接下来，本文将详细介绍数列待定系数法的公式和具体步骤，希望能为大家提供一些参考和帮助。
一、数列待定系数法公式假设有一个数列 {an}，它的通项公式为 an = a1 + (n-1)d +c1n + c2n² + c3n³ + … + ck nk，其中 d 为公差，c1、c2、c3、…、ck 为待定系数，k 为低于 n 的正整数。
那么，我们可以通过数列待定系数法求出 c1、c2、c3、…、ck 的值，从而确定数列的通项公式。
二、数列待定系数法具体步骤1. 带入部分已知项首先需要将前几项数列的值带入公式中，得到一个关于 c1、c2、c3、…、ck 的方程组。
例如，若已知数列的前三项分别为 a1、a2、a3，则可得以下方程组：a1 = a1 + c1 + c2 + c3 + … + cka2 = a1 + d + 2c1 + 4c2 + 8c3 + … + 2k-1cka3 = a1 + 2d + 3c1 + 9c2 + 27c3 + … + 3k-1ck2. 确定待定系数的个数由于方程组中未知数的个数是无穷多的，因此需要根据已知项的个数来确定待定系数的个数。
通常可以根据公式的形式和题目要求来确定，一般来说，待定系数的个数要等于公式中多项式的最高项次数。
3. 解方程组求解待定系数将步骤1中得到的方程组进行化简和求解，得到待定系数的值。
这一步需要采用数学中的代数方法，如高斯消元法、克莱姆法则等。
4. 求解数列的通项公式将待定系数的值代入数列通项公式中，即可求得数列的通项公式。
例如，若经过求解得到 c1 = 1、c2 = 1、c3 = 1，则数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d + n + n² + n³。
待定系数法求特殊数列的通项公式
待定系数法求特殊数列的通项公式在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。
因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。
求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。
求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。
其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。
具体的求解过程详见示例。
第一类别：an=aan-1+b基准1设x1=2,且xn=5xn?1+7.谋数列的通项公式求解：Rewa的关系式公式可以变形为7m7m7xn+m=5xn?1+7+m=5(xn?1+?),令m=?.则m=55554777于是xn+=5(xn?1+)，{xn+}就是等比数列，其首项为444715715x1+=,公比为q=5.于是xn+＝5n?14444所以xn＝基准21575n?1－44设x1=1,且xn=3xn?1（n=2，3，4，…）2xn?1?5求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为：152??xn3xn?1323m15123m,则m=1?m?(??),令m=?55xn3xn?155于是1511?1?(?1)。
{?1}是等比数列，xn3xn?1xn51?1=2,公比是q=3x1其首项是5n-13n?11于是?1=2（）。
所求的xn=3xn2?5n?1?3n?1第二类别：an=aan-1+ban-2基准3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…）谋数列｛xn｝的通项公式求解：Rewa的关系式公式可以变成xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-22，则m=－2,或m=－11m?1322xn-2）m?13令m=-于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。
数列求通项待定系数法
数列求通项待定系数法数列是数学中的一个重要概念，在解决实际问题中经常会遇到。
数列可以通过通项公式来表示，而求解数列的通项公式是数学中的一项重要技巧。
其中，数列求通项待定系数法是一种常用且有效的方法。
数列求通项待定系数法是指通过假设通项公式的形式，将其中的系数设为待定系数，然后通过已知条件来求解这些系数的值，从而得到数列的通项公式。
首先，我们先来看一个例子：已知数列的前三项依次为2，5，9，我们要求这个数列的通项公式。
假设数列的通项公式为an=a+bn+cn^2，其中a，b，c为待定系数。
根据已知条件，我们可以列出方程组：a+b+c=2a+2b+4c=5a+3b+9c=9通过解这个方程组，我们可以求解出待定系数的值，进而得到数列的通项公式。
在实际应用中，我们可以根据数列的规律来假设通项公式的形式。
常见的数列通项公式有等差数列的an=a1+(n-1)d，等比数列的an=a1*r^(n-1)等。
在使用待定系数法时，我们可以通过已知条件来列出方程组，然后通过解方程组来求解待定系数的值。
如果方程组是线性方程组，我们可以直接使用高斯消元法等方法求解；如果方程组是非线性方程组，我们可以使用牛顿迭代法等数值方法求解。
需要注意的是，在使用待定系数法时，我们需要根据已知条件和数列的特点来选择合适的待定系数的个数和形式，以确保方程组有解，并且求解出的通项公式能够正确描述数列的规律。
数列求通项待定系数法是数学中的一种常用方法，通过假设通项公式的形式，将系数设为待定系数，再通过已知条件来求解这些系数的值，从而得到数列的通项公式。
这种方法可以帮助我们更好地理解和解决数列相关的问题，是数学学习中的重要技巧之一。
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待定系数法求数列通项公式例題h在数列0｝中，O, - 1,--兀+1,试求其通项金弍，分折*显然,这不是等差豉等比数列，但如果在。
杠=2务+ 1的两迪同对工I上1,整理为+ 1 =2（^+1）.此时,把％"1和4+1看f乍1个整体#或者换元F令如!=%W，那么毎F +打即b^ = 2b ar E"］+l = 2・因此，数列｛耳+1｝或何｝就是以2为首项，以2为公土的筈土散列5 + 1-二或者阮".进一步求出a… = 2H-K启示；在送个何鬆中，容易看出空左苔两边帕上1就枸或了新的等比数歹［0十那不谢看出在左右两边该忙4后枸成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知％］=加”十1,可变形为十2 = 2（比-心的形式.慝后履幵括号、移项后再与=2%亠1拒比较，利用待定系数法可得昭= L t这榕对于形如片七（其中严彳为羔蛻且驹*0屮*1〉的逵推数列，先变为心：+ —庶斗十心比形式，展开“移匝利弔行定系晝注有3」1）口・2=宀P-1菲七）p -1 P —1匹数列鼻+—M首项为町旦座比为卩的笔比数见I 戶―p-1那么.芝g 变为/(«),/(«)是关于川非零多项弍时.该怎么办呢？是否也能运冃待定系数法呢?二 a” [Jpa 尸十qn+r (pg*O ・Ep#l)型例題2.在数列Q}中，a=l,^：= 2厲+ 3卄1,试求其通项公式。
分析，按照例题1的思路，左两边既妄切上某一常数同时也妾加上n 的倍数，才能便新 的数列有一致的形式C 先变为弘.:+弘十1)一2 = 2(6十如十1,畏开比较得2 = 3•即ai + 3(M + l) = 2g+3n)+4进一步a”i + 3(n +1) + 4 = 2(a w — 3n + 4)则数列匕十3—4｝是a ：十3x1-4 =8苣坝为色十3x1 + 4 = 8公比为2的等比数列，所以同样，形如二叫十驴+ r 的违推数列，设+x{n+l)+y- pia^xn^y)展开.移项、整理，比较对应系数胡尊，歹［岀方程［9；叹・？X N ---解得 <P 」x +尸 q rv- - 2~y -+ - r P-i (P-ir P -I即 4心1 + g («+o + ?宀 +r= q 幺 +z (p-ir P 丿 L的等比数列，于是就可以进一步求出｛q ｝的通项•因此.形如巧="严这—类型的数列.都可以利用待定系数法来求解.则数列"Q+畀厂話是以鳥严二为首项,以卩为公比5 g jp_l (p — L)・ p —l-叵理，若= 其中/(“)是关于n的多项弍时，也可以构造新的等乂数列,利用待定系数法求岀其通项。
比如当/何=亦十初"=时，可设%i+x(n + lT +J(H-1)+ Z =P(O M +E +yzz-z)展幵根器对宝系数分別相等求解方程即可。
/(町为n的三次、匹次、五次等多项式跡也能冃同样的思路和方法进行求絡而如果当/(")是n的韦数式.盟时.递推公式又埒妇何变形呢辛三作昇=pa” + rg' + $ 型(pqr 0.目pwl.g =l.p = q)例题3.在数列｛dj中，5 = 1,=3a” + 2”，试求其通项q,。
分析1：由于+ 与例鬆1的区别在于21是指数式，可以冃上面的思晤进行变形，在两边同时加上2x2"变为a小+ 2-1 = 3%一3x2" 1R%：+ 2”J = 3(a”-2”)则数列｛% + 2”｝是首项为3,公比为3的等比数列％十2'=3”・见］分析2：如巣埒韦数式先变为家数.两边同除2”-就回到了我们的类型一，进一步也可求岀a” = 3”-2”c例題4.在数列0｝中，a： = 3, %】=3a”十5 X 2”十4 ,试求匕｝的通项%。
分析：若按例题3的思路2・在两边同时除以2» 虽然产生了竺、冬.但是又增加2小2”了吕T，与原式并没有犬的变化.所以只能运用邕珞1，在两边同时加上10x2”整理十5x2^ =3(4” + 5x2*) + 4 进一步—］十5乂2曲十2・3(6 + "2" + 2)则数列仏+ 5 x2 J 2｝是首项为15,公比为3的筈比数歹Ld r+5x2K+2 = 15x3^ = 5x3w即O M=5(3M-2R)-2启示：己知数列｛厲｝的首项.a>t-i = pa^rq n+s(pqr^QSp^l.q^l.q p)1)当$ = 0,即％严皿”+灯生例题3知.有两种思路进行变换.利用待定系数法构造首项和公比己知或可求的尊比数列。
思賂一：在两边同时除以4心，将不含和兔的项变为常数，即rt»l nq q q qr为前面的类型一，再弓类型一的待定系数法思整可得数列.4:十一最终求解岀｛%｝q——1q的通项。
思路二；在两边叵盯柯上/的倍数•昜终能变形为a^i^xq^1 = p(a.t^xq n)对应系数用等得(p-g)x = r,即x= —p_q葺门小+―・qi = p(G+—^―・/)p_q p_q求出数列卜-说./｝的通项，进一步求出0｝的通项。
2）当SH O时.= po n-rq"^s 由例4可知只能在选幷思路二，两边既妾如/的倍数•也妾切莒数.最终能变形为% + =q I * = pg+xq “ + y）比较得X, y 的方程组y =、p-l于是+丄7 =—・g”+ S）p-qp -ip _qp — \求岀数列｛%+才刁才+才十的通项，进一步求出｛4｝的通项四；心=皿7-弘・"（小型（已知％血其中于⑺）可以为窜数、n 的多项弍或指数式] 以/W=0为例。
7 1 例誤5•在数列｛%｝中.a = l :a ； = 2?a^2 =二％: +-匕，试求｛q ｝的通项。
33分析：这是二项之间速推数列.根据前直的思昭.可以把g 看做毎数逬行处珪.可变 为- an-\ = ■ 3（=1 - 4）'先求岀数列他+1 ■乞｝的通项%：-竹=（-然后利用累加法即可进一步求岀0｝的通项久«对于形如= "AI 十？a”£递推数列，可以设a —十xj]=丿（J 十xa”）畏开，利用 对应系数相等.列方^P~y = P[xy 二 q于是数列+ 就是以色亠“]为首项，y 为公比的等比数列，不难求岀 阿丿+耳｝的通项进一步利月相关即可求岀厲。
叵理，d“ = p%】+q 牛+/何 当/何为非零多项式或巻是指数式时，也可结台前 百的思賂进行处理。
问題的关謎在于先变形a 7 十 xa….｝ = J'（ a-】十 s”） 一 / （”）r （p-g ）x = 7- l （p-i ）然后拦+看做一个整体就变为了前面的类型。
五：％1 =卩4‘(卩=1且卩€疋，厂=0* = 1)型・他'：为正项数歹【. 例获6.在数列｛qj中.a】=l,a“.： =2aJ・试求其通项务・分析：此题和貳面的几和类型没有相冋之处，左边是一次式，而右边是二次式，关铤右于適过变形,便两边次数相同，由于务>0 ,所以可联想到对数的相关性员，对备=2。
」两边取对数，即k ^i= U(2a/) = lg2 + lga n2=2 lg a n -+lg2就是繭面的类型一了，即Ig%i*lg2 = 2(lgd”+lg2)Igfl1|+lg2 = (lg2)x2"-l = lg 2广；变形得6=227对于类似％严卩心9工1且以用，心0,“1)的递貳数列.由于两边次数不一致. 又是正项数宛.所以可次利爭对数性质.两为同时取对数.得■警｝为己然后戏是前面芜类型一了•就可以利冃待定炙数法进一步构港数列化％:知首项和公比旳等比数列了c求出、；lg %】-:晨终就可以得出｛©｝的通项。
同样,如果将J=pa；(pHl且牛丈，中的p换为指数式?”时,同样町以利用相同的方法。
即：0心h I且A：r xO.r 1) 两边取对数lg=lg(<3,n-a^)=rlga M 4-nlg^变为类型二lg +x(M + l) + y = r(lga n +xn^-y)即可进一步得出何｝的通项°以上是一些整式型的運推数列通项公式的求祥，接下未再看看比较复亲的分武型谣推数列。
八：例题7.在数列｛%｝中，6=1,%=子二，试求其運项兔。
分析^这是一个分式型数列，如果去分母变为3a,/2g-%-0后就无法进行处埋 了。
两边同时取倒皴1 3兮2 r 1 °—=—2—=2x —+3就是前闫的类型一了。
丄+3 = 2（丄+ 3〕｛丄十3^是首项为丄十3= 4,公比为2的等比数列，不难求岀例题8.在数列｛%｝中，a 严「％严書节，试求其通项％。
9t分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒左右两边丄与丄并不一致.但可以对照例题7的思幣，取倒数乙后分母会具有一 J %十2致的结构.根据等式和分弍旳性质.我们可在两边同时加上某一常数，整理：（33）亿+土—4+“ __ra 丿3d”-23兀-2nn此时如果二•二x ・那么遗推式左为和左边分母就一致了。
無方程得x 1 = --s x 2 = l3x-hl 3所以数列此时可选拦其中一个邊推式按照例题7的方式进行处理，这里选择门~】+1 = 如凹3。
" 2两芯取俊根据类型一的方法易求出;4x(-4)^ 4-1 心=6*(-4严一 1现在我们将两式相比；则数列<;J •是我己知首项和公比的等比数列.进一步化简求出4。
通过以上两个例题可知，形如％.严~^4的丸)这一类型的遷推数列，对学生PJ + q的综台能力妄求较右「1、 如貝右边分子缺常数項・即s = 0,那么亘接对两边取倒数即可得：I q 1 p=—• —J F J 尸此时.若纟=1 •那就是我们熟悉的毎差数列.若纟“・那就杲前世的类型一一用待 r r 定系数法求解.2、 若SH O,就需要先变形，使左边和右边分子结梅一致.苑边同时加上某一个當数(<)(尸+¥)g + 'y ) r + px "1十尤=p 耳十q因此回到了类型一4( a , +1)3%+29?a 一 1 + 1 4 a n ^l然后令Lm = Xf解岀工的值。
r + px而另一种思路是直接设。
小=旦二变形之后为pn%i+x =然后展开，根捋对应项系数相等得二元方程组Ib°・_q) = s求岀X」C两种思路都是解丫的一元二次方程，设其超为叢爲）若时•那就只能利用例题7的方法.利边取倒数，部分分式整浬即可转变为类型1 p(j+q)p(a“・E)-p(g-® p(g-b) i P= = -------------------- = ----------------- +J】 + x】乃(a,F) Ji(a“ + G H a“r M最终求岀a”。