高等数学下册第十二章习题答案详解

高等数学下册第十二章习题答案详解
1．写出下列级数的一般项: (1)1111357
++++
；
2
242468
x x +++⋅⋅⋅⋅；
(3)
3579
3579
a a a a -+-+.
解：(1)1
21
n U n =
-；
(2)()2
!!
2n n x
U n =
；
(3)()
21
1
121
n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和: (1) 23
111555+++；
(2) 1
1
(1)(2)
n n n n ∞=++∑；
(3)
1
n ∞
=∑.
解：(1) 因为21115551115511511145n n n n S =
+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
从而1lim 4n n S →∞
=
，即级数的和为14
． (2)()()()
()()()()1
11111211n u x n x n x n x n x n x n x n =
+-+++⎛⎫
-=
⎪+-++++⎝⎭
从而()()()()()()()()()()()()()()1111121121223111111
1211n
S x x x x x x x
x x n x n
x n x n x x x n x n ⎛
-+-=
+++++++⎝⎫
+
+
-
⎪
+-++++⎭
⎛⎫
-=
⎪++++⎝
⎭
因此(
)
1lim 21n
n S x x →∞
=
+，故级数的和为
()
1
21x x +
(3)
因为
n
U =
-
从而
(
11n S n =-+-+-++-+=-=
所以lim 1n n S →∞
=1
3．判定下列级数的敛散性:
(1)
1
n ∞
=∑；
(2)1111
166111116
(54)(51)
n n +
+++
+
⋅⋅⋅-+；
(3)
231232222(1)3333n
n n --+-+-+；
(4)1155
n ++.
解：(1) (11
n S n =++++=
从而lim n n S →∞
=+∞，故级数发散．
(2) 111111
1115661111165451111551n S n n n ⎛⎫
=
-+-+-++
- ⎪-+⎝⎭
⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
从而1lim 5
n n S →∞=
，故原级数收敛，其和为15．
(3)此级数为2
3
q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．
(4)
∵n U =
lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． *
4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:
(1)1
1
(1)n n n +∞
=-∑；
(2)1cos 2n n nx ∞
=∑； (3)()0111313233n n n n ∞
=+-+++∑
.
解：(1)当P 为偶数时，
()()()()12234
11111123
11111231111112112311
n n n p
n n n n p U U U n n n n p
n n n n p
n p n p n n p
n n n ++++++++++
+----=+++
+
++++-+--=++++⎛⎫
⎛⎫-=
----- ⎪ ⎪
+-+-++++⎝⎭
⎝⎭<
+
当P 为奇数时，
()()()()1223411111123
111112311111112311
n n n p
n n n n p U U U n n n n p
n n n n p
n p n p n n n n +++++++++++----=+++
+
++++-+-+=++++⎛
⎫⎛⎫-=
---- ⎪ ⎪
+-++++⎝⎭
⎝⎭
<
+
因而，对于任何自然数P ，都有
12111n n n p U U U n n
++++++<
<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦
，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε+++++
+<成
立，由柯西审敛原理知，级数()1
1
1n n n +∞
=-∑收敛．
(2)对于任意自然数P ，都有
()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212
n n n p
n n n p
n n n p n p n p n U U U x
n p x x
n n ++++++++++++++++=
++
+
≤+++⎛⎫
- ⎪⎝⎭=
-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<
于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =2
1log ε⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε+++++
+<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．
(3)取P =n ，则
()()()()()12111111
311312313321322323
1131132161112
n n n p
U U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫
=+-++
+-
⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭
≥++++⋅+≥
+>
从而取01
12
ε=
，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西
审敛原理知，原级数发散．
习题12-2
1．用比较判别法法判别下列级数的敛散性: (1)111
4657(3)(5)
n n +++
+
⋅⋅++； (2)22
2
1213
1112131n
n ++++
+++++++；
(3)π1sin 3n n ∞=∑；
(4)n ∞
=； (5)11)1(0n
n a
a ∞
=+>∑； (6)11
(21)n
n ∞
=-∑.
解：(1)∵ ()()211
35n U n
n n =
<++
而211
n n ∞
=∑收敛，由比较审敛法知1
n n U ∞
=∑收敛． (2)∵22
111
1n n n U n n n n
++=
≥=++ 而
1
1
n n ∞
=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．
(3)∵ππ
sin
sin 33lim lim ππ1π
33n n
n n n n
→∞→∞=⋅=
而1π3n n ∞
=∑收敛，故1
π
sin 3n n ∞
=∑也收敛．
(4)
∵3
2
1n U n
=
<
=
而
31
2
1n n
∞
=∑
收敛，故
1
n ∞
=收敛．
(5)当a >1时，11
1n n n
U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a
∞
=+∑也收敛． 当a =1时，11
lim lim
022
n n n U →∞→∞==≠，级数发散．
当0<a <1时，1
lim lim 101n n
n n U a →∞→∞==≠+，级数发散．
综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．
(6)由021lim ln 2x
x x →-=知121lim ln 211n
x n
→∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()
1
1
21n n ∞
=-∑发
散．
2．用比值判别法判别下列级数的敛散性:
(1)2
13
n n n ∞
=∑；
(2)1!31
n n n ∞
=+∑； (3)23
2233331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅； (4) 1
2!n n n n n ∞
=⋅∑. 解：(1) 23n n n U =，()211231
1lim lim 133n n n n n n
U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，
由比值审敛法知，级数收敛．
(2) ()()111!31
1lim lim 31!31
lim 131n n n n n n
n n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅
++=⋅++=+∞
所以原级数发散．
(3) ()()
11132lim lim 2313lim 213
12
n n
n n n n n n
n U n U n n n +++→∞→∞→∞
⋅=⋅⋅+=+=
> 所以原级数发散．
(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 2112
2lim 1e 11n n
n n n
n n n
n
n n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
==<⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
故原级数收敛．
3．用根值判别法判别下列级数的敛散性:
(1)1531n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭∑； (2)()
11ln(1)n n n ∞
=+∑； (3)21
131n n n n -∞
=⎛⎫ ⎪-⎝⎭
∑； (4)1n
n n b a ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑，其中,,,
()n n a a n a b a →→∞均为正数.
解：(1)55
lim
1313
n n n n →∞==>+，
故原级数发散． (2) ()
1lim
01ln 1n n n →∞
==<+，
故原级数收敛．
(3)1
21
lim 19
31n
n n n n -
→∞⎛⎫
==
<
⎪-⎝⎭
， 故原级数收敛．
(4) lim lim
n n n
b b a a →∞==， 当b <a 时，
b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，b
a
=1，无法判定其敛散性．
习题12-3
1．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
(1) 1+；
(2)1
11
(1)ln(1)
n n n ∞
-=-+∑；
(3)2341111111153555333
⋅-⋅+⋅-⋅+；
(4)
1
1
2(1)
!
n n n n ∞
+=-⋅∑； (5)1
1
ln (1)
n n n n
∞
-=-⋅∑； (6)
()
1
1
1
13∞
--=-∑n n n n
； *（6）1
(1)11
1(1)23n
n
n n
∞
=-+++
+⋅∑. 解：(1)()
1
1n n U
-=-，级数1
n n U ∞
=∑
>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又1
1
1
2
1n
n n U
n
∞
∞
===∑∑
是P <1的P 级数，所以
1
n
n U
∞
=∑发散，故原
级数条件收敛． (2)()
()
1
11ln 1n n U n -=-+，
()()
1
1
11ln 1n n n ∞
---+∑为交错级数，且
()
()11ln ln 12n n >
++，
()
1lim
0ln 1n n →∞
=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()
1
1ln 1
1n U n n =
≥++ 所以，
1
n
n U
∞
=∑发散，所以原级数条件收敛．
(3)()
1
1
153n n n
U -=-⋅，显然11111153
53n n n n n n U ∞∞
∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1
n
n U
∞
=∑收敛，所以原级数绝对收敛．
(4)由()
1
21!+=-n
n n u n
2
12
2
=<=
=⨯⨯，由正项级数的根值判别法知，2!n n 收敛，则级数()11
21!∞+=-∑
n
n n n 收敛，112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑绝对收敛. (5)函数()ln =
x
f x x
在[)e,+∞为单调递减函数，则当n 充分大时()ln 1ln 1+>+n n n n ，且ln lim 0→∞=n n n ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛，又ln 1
>n n n ，而调和级数11∞
=∑n n
是发散的，则11
ln (1)n n n
n
∞
-=-⋅
∑条件收敛. （6）111310333+-+---=
-=>n n n n n
n n n n u u ，则1
+>n n u u ，又1lim 03-→∞=n n n
，根据莱布尼兹判别法知()11
1
13∞--=-∑n n n n 收敛，又由比较判别法知1131133
-+=<+n n n
n n n ，则级数()
1
11
13∞
--=-∑n n n n 收敛，则级数()11
1
13∞
--=-∑n n n n
绝对收敛. *(6)由于11111123n n
n ⎛⎫⋅>+
+++ ⎪⎝⎭ 而
1
1
n n ∞
=∑发散，由此较审敛法知级数 ()
11111123n
n n
n ∞
=⎛⎫-⋅
+++
+ ⎪⎝
⎭∑发散． 记1
111123
n U n
n ⎛⎫=⋅+
+++ ⎪⎝⎭，则
()
()()
()()()12
2
2111
111123
111111112311111111231110
n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-+++
+- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫
=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫
-=++++ ⎪ ⎪
⎝⎭+++⎝⎭
>
即1n n U U +> 又11111lim lim
12311d n n n n U n n x n x
→∞
→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭
=⎰ 由11
11
lim d lim 01
t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()
11111123n
n n n ∞
=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝
⎭
∑收敛，而且是条件收敛． 2．如果级数
2
3
111111122!23!2!2n
n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
的和用前n 项的和代替，试估计其误差.
()()()()()()()1
2
1
2
1
21
1111=1!22!211111!21!21111=11!222111=11!212
11!2n n n n n n n
n n n n n n n σ++++++⎛⎫⎛⎫
++
⎪
⎪++⎝⎭
⎝⎭⎛⎫
⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪+⎝⎭-=+＜
3．若2
lim n n n u →∞
存在，证明：级数1
n n u ∞
=∑收敛.
2212
1
1lim =lim ,.1n n n n n n n u n u n
n
u ∞
→∞→∞
=∞
=∑∑存在而收敛所以也收敛
*4．证明：若
21
n
n u
∞
=∑收敛，则1
n
n u n ∞
=∑
绝对收敛. 222
2111
1
111
02
21,2.n n n n n n n n n n n n u u u n n n
u u n n u u
n n
∞
∞∞
===∞
∞
===≤+∑∑∑∑
∑＜而和都收敛，由比较审敛法得知收敛从而收敛，即绝对收敛
习题12-4
1．求下列函数项级数的收敛域： (1)11
x n n
∞
=∑；
(2)()
1
1
11n x
n n ∞
+=-∑.
2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)23
23n
x x x nx +++
++
；
(2)1!n
n
n n x n
∞
=∑
； (3)21
1
21n n x n ∞
-=-∑；
(4)21(1)2n
n x n n
∞
=-⋅∑. 解：(1)因为11
lim
lim 1n n n n a n a n ρ+→∞
→∞+===，所以收敛半径11R ρ
==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()
1
1n
n n ∞
=-∑，由lim(1)0n
x n
n →-≠知级数1
(1)n n n ∞
=-∑发散，所以级数的收敛
域为(-1,1)．
(2)因为()()1
11
1!11lim lim lim lim e 1!11n
n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦
所以收敛半径1
e R ρ
=
=，收敛区间为(-e,e)．
当x =e 时，级数变为1e !
∞
=∑n n n n n
，
()()()()
11
11
1!
11!11e e e e +++++++⎛⎫
=
=
= ⎪+⎝⎭+n n n
n
n n n n
n
n n n n u n n u n n n 11e =⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
n
n ， 在→+∞n 的过程中，
1
1+>n n
u u ，又0>n u ，则e =x 时，常数项级数为单调递增函数，
1e =u ，则lim 0→∞
≠n n u ，由级数收敛的必要条件，级数的一般项不趋于零，则该级数必发散，同理在
e =-x 时，()
1
e !
∞
=-∑
n
n
n n n 变为交错级数，其中!
lim e →∞n n n n n
依旧不等于0，，则在e =-x 时也发
散，则其收敛域为(),e e -．
(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．
211212
2
21lim lim 2121lim 21
n n n n n n
n U x n U n x n x n x ++-→∞→∞
→∞
-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．
当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121
n n ∞
=--∑，由1
1
21lim 012n n n
→∞-=>知，
1121n n ∞
=-∑发散，从而11
21n n ∞
=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212n
n t n n
∞
=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.
当t =1时，级数3112n n ∞
=∑收敛，当t =-1时，级数()3
1
112n
n n ∞
=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．
所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 3．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数:
(1)1
1
n n nx
∞
-=∑；
(2)
22
21n n x n ∞
+=+∑. ()()
()
()11
121
1
1111111n n n n n n n n nx x x S x nx x x x x x ∞
-=∞∞
∞
-==='''
⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑∑∑解：（）可求得函数在＜时收敛，
＜
(2)由242
2221lim 23n n n x n x n x
++→∞
+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞
∞====++∑∑，易知级数21
021
n n x n +∞
=+∑收敛域为(-1,1)，记()2110
21n n x S x n +∞
==+∑，则()212
011n
n S x x x ∞
='==-∑， 故
()1011d ln 21x
x S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x
+-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x x
S xS x x x x
+==<-
习题12-5
1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间: (1)()()ln 2f x x =+； (2)()2cos f x x =； (3)()()()1ln 1
f x x x =++； (4)(
)2x f =
(5)()2
3f x x
x =
+；
(6)()e e
)1
2
(x x f x -=-； 解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由于()()0
ln 111n
n
n x x n ∞
==+-+∑，(-1<x ≤1)
故()()11
ln 11221n n
n n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()1
1
ln ln 22121n n
n n x x n +∞
+==++-+∑，(-2≤x ≤2)
(2)()2
1cos 2cos 2
x
f x x +==
由()()20
cos 1!2n
n
n x x n ∞
==-∑，(-∞<x <+∞)
得()()()()()2200
42cos 211!!22n n n n
n n n x x x n n ∞
∞==⋅==--∑∑ 所以
()()22011
()cos cos 222
114122!
2n n
n n f x x x x n ∞===
+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()
()
1
ln 111n n
n x x n +∞
==+-+∑，(-1≤x ≤1)
所以
()()()
()()()()()()()()()()1
12
011
111
11
1
11
1
1111111111111111n n
n n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x x
n n x x
n n +∞
=++∞
∞==++∞
∞+==+∞
+=-∞
+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)
(4)(
)22f x x =
=
()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞
=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()
()()22
1!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭
∑
()()()()
2
211
!!211!!2n n n n x x n ∞
+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)
(5)()()(
)(22
0211
13
13
13313n
n n n n
n n x f x x x x x x ∞=+∞
+==
⋅+
⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
=-<∑∑
(6)由0e !
n
x
n x n ∞
==∑，x ∈(-∞,+∞)
得()0
1e !n n
x
n x n ∞
-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)
所以()()()()()()
00021
01e e 2
112!!1112!,!
21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞
==
-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑
2．将()2
1
32
x x f x ++=
展开成()4x +的幂级数.
()()
()
()
()
()201
001
0210111
3212
111114x+414134333313
4713
111114414224222212
4622
41
323n
n n
n n n
n n
n n n
n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞=∞
+=∞=∞
+=∞+==-
+++++⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭
-+=---+⎛+⎫
⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭
-+=--+=-++∑∑
∑∑
∑解：而＜＜＜＜＜-从而()()()
10
110421
14622
3n
n n n n n n x x x ∞
+=∞
++=++⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭∑∑＜＜
3．将函数(
)f x 1()x -的幂级数. 解
：
因
为
()()()
()()2
111
11111!2!
!
m n
m m m m m m n x x x x x n ---+=+
+++
+
+-<<
所
以
()()[]
()()(
)32
2113333333
11212
2222
2211111!2!
!
n
f x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++
++
---
(-1<x -1<1)
即
()()()()
()()()()()()()
()()23231
33131313251111111222!23!2!
3152111022!n
n
n n
n n f x x x x x n n x x n ∞
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=++++
+----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑4．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1) ln3(误差不超过10.000)； (2) cos2︒(误差不超过10.000).
解：(1)35
21
1ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫
=+++++ ⎪--⎝
⎭
，x ∈(-1,1) 令
131x x +=-，可得()1
1,12
x =∈-， 故()3521
111111
2ln3ln 21232522
2112
n n -+
⎡⎤++++
+==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦
- 又
()()()()()()()()()()21232121212325212
42122
1122221232
22212112222123252111222
2121
1
22114
1
3221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤
++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦
⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦
⎛
⎫<
+++ ⎪⎝⎭
+=⋅+-=
+
故58
1
0.000123112r <≈⨯⨯
610
1
0.000033132
r <≈⨯⨯． 因而取n =6则
35
111
111ln32 1.098623252112⎛⎫
=≈+++
+
⎪⋅⋅⋅⎝⎭
(2)()()2
4
20
ππππ909090cos 2cos 11902!4!
!
2n
n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-
++-
∵
2
4
π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；4
8π90104!
-⎛⎫
⎪⎝⎭≈ 故2
π90cos 2110.00060.99942!
⎛⎫ ⎪
⎝⎭≈-
≈-≈ 5．将函数()d 0
arctan x t
F x t t
=⎰
展开成x 的幂级数. 解：由于()21
arctan 121n n
n t t n +∞
==-+∑
所以()()()()
()20
002212000
arctan d d 121d 112121n x
x n
n n n x
n
n
n n t t F t t
x t n t x t n n ∞=+∞
∞===
=-+==--++∑⎰
⎰∑∑⎰
（|x |≤1）
6．求下列级数的和函数： (1) 21
21n n x n ∞
+=+∑；
(2)10(1)!
n n n
x n ∞
-=-∑
(提示：应用e x 的幂级数展开式)；
解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21
021
n n x S x n +∞
==+∑则
()22
01
1n n S x x x
∞
='==
-∑ ()200111d d ln 121x
x
x S x x x x x +'==--⎰⎰
，即()()11ln 021x
S S x x
+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21x
S x x
+=-，(|x |<1)
(2)由()1
1
!lim lim 0!
1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1
n n n S x x n ∞-==-∑则()()()1
1
1
d e !
!
11n
n x
x n n x x S x x x x n n -∞
∞
=====--∑
∑
⎰
，所以
()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)
7.试用幂级数解法求下列微分方程的解：
222(1)
0;
(2)0;
(3)1;(4)(1);(5)(1)2.
y x y y xy y y xy x x y x y x y x x y '''''-=++=''--=-=-'+=-+
()()()()()()()()()1
2
20
1
20
2
20
120
2
234051
21,,112120
21=210
320435421n
n n n
n n n n n n n n n
n
n n n n n
n
n n n n n n y a x y na x
y n n a x
n n a x n n a x x
a x
n n a x a x a a a a a a n n a a ∞∞
∞
∞
--+====∞
∞
+==∞∞
+-==+-'''===-=++++-=++====++=∑∑∑∑∑∑∑∑解：（）设则代入原方程得即比较同次幂系数，得
一般地()
()()
()22
2001423456785801
910111291
1342430
42,3,210,,,0,3445783478
,0,894589111234781112,
12134589121303478414n n k k k n a a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k
-+++==
++===
===========
=====
-即所以有所以()()
()
1
414512
14812
21,2,
1,2,
4589441134347834781112145458945891213k k a a k k k x x x y C x x x C x +==
=+⎛⎫=++++
⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭
⎛⎫
+++++
⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝
⎭
因此是方程的解
()()()()()()()()
()
2
1
2
1
20
222220210
2110
21100,1,2,1
0,1,2,2
111122222n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n k k y a x a n n x
x a nx
a x n n a n a x n n a n a n a a n n a a a k k k ∞
=∞
∞
∞
--===∞+=++-=-++=++++=⎡⎤⎣⎦++++===-
=+⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-=---= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑∑（）设为该方程的解，代入该方程得
即故即从而()()()()0121211
2242000021351111!2111112121213135211111!22!2!211313513521k
k k k n
n
k k a k a a a a k k k k a a a y a x x x n a a x a x x k +-+⎛⎫- ⎪
⎝⎭⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪⎪ ⎪++-⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+
+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
⎡-+++-+⎢⋅⋅⋅⋅⋅-⎣因而()()()()()
()2
2
222202135135212
011
22
1211111!22!2!2111131351352111313513521121!!
n k k x n n
n x x x x a n x a x x x k x x x a e a x k y C e
C x n ++-+-
⎤⎥
⎦
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-+-++-+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-+++-+⎢⎥
+⎣⎦
⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥
+⎣
⎦-=+-故原方程的通解为1
1
n n ∞
-=∑
()()()101
1
1
01
11
12021
0001234567213,=,1
1212011111
1,,,,,,232435246
1
1
,,357
1n
n n n n n n n n
n n n n n
n n n y a a x y na x na x
x a a x x a a a x a n a x a a a a a a a a a a a ∞∞
-==∞
∞
-==∞
++=-'=+⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
-+--+-++=⎡⎤⎣⎦+++======⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅∑∑∑∑∑（）设方程的解为从而代入方程得
即因而()()
()()()()0235
21
2420000235
21
222001,352124621113!!5!!21!!
24!!2!!111113!!5!!21!!
22!!2!!2n n n n n a a n n a a a x x x y a x x x x n n x x x x x x a x a n n --+=
⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤+++=++++
+++++++⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++
++++-++++++
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦因此()()()()()()()2223212
000321
2
021
2
113!!21!!113!!21!!121!!x n x n x n x x a a a e x n x x a e x n x y Ce n ---⎤⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎡⎤
=-+++++++⎢⎥
-⎣⎦
⎡⎤=++-++++⎢⎥
-⎣⎦=+-+
-故方程的通解为()()()()()()
01
2
10
2
10
102321102311110,20,3=1,110
41,0,,
3
223452112343
1n n n n n
n n n n n n n n n n n n y a x x na x
x a x n a n a x x a a a a a n a n a n a a a a n n n n n a a n n n n n y C ∞
=∞
∞
-==∞+=+-=-=-++-=⎡⎤⎣
⎦+==-+--=≥=-==-----==
---=∑∑∑∑（4）令是该方程的解，代入该方程得
即比较系数得以及故因而()()
3412
.
31n n x x x n n ∞=-++-∑是方程的解
()()()()
10
1
1
201
1
1
2
1101
102231102315,=,2120,22,31
11032
,1,3
11n
n n n n n n n n n
n
n n n n n n n n n n n n y a x y na x na x na x
a a x x x
na n a a x a a x x
a a a a a n a n a n a a a a n a n ∞∞
-==∞∞
∞
-===∞+=++'=+--=-++-+-=-⎡⎤⎣⎦-==-+=-++=≥==-=
-=-+∑∑∑∑∑∑（）设方程的解为则代入方程得
即比较系数得从而()()()()
()
()
()
()()()()13
44
33
1
2
34
12124211464113114
1412411.
31n n n n n n n n n n n n n a a a n n n n a n n n n n a n n n y C x x x x n n ----∞-=-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=--==--- ⎪⎪ ⎪⎪
⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭=-=-≥++=-≥-=+-++--∑即因而原方程的通解为
8. 试用幂级数解法求下列方程满足所所给定初始条件的解：
2222(1)(2)2(1)20,(0)(1)1;(2)
,(0)0;(3)cos 0,(0),(0)0.x x y x y y y y dy
x y y dx d x
x t x a x dt '''-+-+====+='+===
()()()()1
2
1
22
212
1
21,,1212120
1.
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n y a x y na x
y n n a x x
x n n a x x na x a x y x x ∞∞
∞
--===∞
∞
∞
--==='''===---+-+==-+∑∑∑∑∑∑（）设则代入原方程得
比较同次项系数，由初始条件可得方程的解为
()100
1
2
11125,,00,0.
.11220
n
n n n n n n n n n n n y a x y na x y a na x a x x
y x x ∞∞
-==∞
∞-=='====⎛⎫-= ⎪⎝⎭
=
++∑∑∑
∑（2）设则由得代入原方程得
比较同次幂系数得方程的解为
()()()()2122012
01234234562462
3
0123232345(3),,10,00,,0
23243546510
2!4!6!23243546n
n n n n n n n n dx d x x a t na t n n a t dt dt x a x a a a a a t a t a t a t t t t a a t a t a t a a t a t a t ∞
∞∞
--======-'====+⋅+⋅+⋅+⋅+⎛⎫
+++++-+-+= ⎪⎝⎭
++++∑∑∑设则由初始条件所以代入原方程得
即460
2240012123420310
4215302640102130
2450
2!2!2!4!20320
4302!540
2!650
2!4!,0,
220
32
2!434!a t a a a a a a t a t a t a t a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++-+-+-++
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭+=⋅+=⋅+-
=⋅+-=⋅+-+====-
=-=-=⋅-+=
=⋅比较系数得
又得到
1
3500
24246867824682!054
9552!4!2!4!6,0,,656!878!
1295512!4!6!8!a a a a a a a a a a a a a t x a t t t t -+=
=⋅-+--+-+==-===⋅⋅⎛⎫
=-+-+- ⎪
⎝⎭所以
习题12-6
1．设()f x 是周期为π2的周期函数，它在(,ππ-⎤⎦上的表达式为
ππ. 3
2,0,
(),0x f x x x -<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩
试问()f x 的傅里叶级数在πx =-处收敛于何值？
解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级
数收敛于
()()[]()33ππ11
π22π222
f f -+-+-=+=+ 2．写出函数ππ. 21,0,
(),0x f x x x --<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩
的傅里叶级数的和函数.
解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间
断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ1
22f f -++-=，
()()2πππ1
22
f f -+-+--=，综上所述和函数．
()221π00π1
02π1π
2
x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩
3. 写出下列以π2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中()f x 在),ππ-⎡⎣上的表达式为： (1)π,0π
4()π,π04
x f x x ⎧≤<⎪
=⎨⎪--≤<⎩ ；
(2)()2
()f x x πx π=-≤<；
(3)ππ,π22ππ(),22ππ,π22
x f x x x x ⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪
⎪≤<⎪⎩ ； (4)()ππcos ()2f x x x
=-≤≤. 解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于
()()
ππ0
04402
2
f f +
-
⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有
()π0π-ππ011π1π
cos d cos d cos d 0ππ4π4
n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰
()π0π-ππ011π1π
sin d sin d sin d ππ4π4
0,2,4,6,,1
,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n
-⎛⎫=
=-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰
于是f (x )的傅里叶级数展开式为
()()11
sin 2121
n f x n x n ∞
==--∑
(x ≠n π)
(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是
()π
-π1sin d 0π
n b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==
⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn
n a f x nx x x nx x n
=
==-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：
()()221π41cos 3n
n f x nx n
∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)
(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )
为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）
()()()π
ππ2
π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2
n n
b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥
⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以
()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞
+=⎡
⎤=-⋅+⎢⎥⎣
⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )
(4)因为()cos
2
x
f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，
()()
ππ-π0π0π
1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,
π41n n x x
a nx x nx x
n x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-
⎢⎥⎣⎦⎛
⎫=-= ⎪-⎝⎭
⎰⎰⎰
所以f (x )的傅里叶级数展开式为：
()()12
124cos 1ππ41
n n nx
f x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π] 4. 将下列函数()f x 展开为傅里叶级数： (1)()πππ(2
)4x x
f x =-<<-
；
(2)()π2sin (0)f x x
x =≤≤.
解：(1) ()ππ0-ππ11ππ
cos d d ππ422
x a f x nx x x -⎛⎫=
=-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()πππ
π-π-π
π
π1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x
nx n n
--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰
()πππ
π-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π
11n n x b nx x nx x nx x n
-⎛⎫=
-=- ⎪⎝⎭=-⋅
⎰⎰⎰
故()()1πsin 14n n nx
f x n
∞==+-∑ (-π<x <π)
(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到
f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ
0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππ
a f x x x x x x x --====⎰⎰⎰
()()()()()()ππ
0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π
211π10,
1,3,5,4
,2,4,6,
π1n n
a f x nx x x nx x
n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪
-=⎨=⎪-⎩
⎰⎰
⎰
所以
()()
2
124cos2ππ41n nx
f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 5. 设()π1(0)f x x x =+≤≤，试分别将()f x 展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)
()()()()ππ
0022sin d 1sin d ππ111π2πn n
b f x nx x x nx x n
==+--+=
⋅⎰⎰
从而()()()1111π2sin πn
n f x nx n
∞=--+=∑ (0<x <π)
若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)
()()ππ
00
222cos d 1cos d ππ0,
2,4,64
,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰
⎰
()()ππ
0π0
12d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰
从而()()()2
1cos 21π242π21n n x
f x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 6. 将()211()f x x
x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n
∞
=∑的和.
解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)
()()1
1
01
d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰
()()()11
1
2cos d 22cos d 0,
2,4,64
,1,3,5,πn a f x nx x x nx x
n n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩
⎰
⎰
所以
()()()
2
2
1
cos 21π542π
21n n x
f x n ∞
=-=--∑
，x ∈[-1,1]
取x =0得，
()
2
2
1
1
π8
21n n ∞
==-∑
，故 ()()2
2222111111111π48212n n n n n n n n ∞
∞∞
∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以
21
1π
6n n ∞
==∑ 7. 将函数()12(0)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.
解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)
()()2
20201d 1d 02
a f x x x x -=
=-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 222
4[11]
π
0,
2,4,6,8
,1,3,5,π
n n
n x n x
a f x x x x
n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰
⎰ 故()()
()2
2
1
21π81
cos π
2
21n n x f x n ∞
=-=-⋅-∑
(0≤x ≤2)
8. 设1
1
,02()122,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，()01cos π,
2n n a a n x s x x ∞==-∞<∞+<+∑，其中
πd 1
02()cos n a f x n x x =⎰，求()
5
2
s -.
解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在5
2
x =-
处间断，所以
515511122222221131224
s f f f f +
-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
9.设函数()21(0)f x x x =≤<，而()1
sin π,
n n n x b s x x ∞
==-∞<<+∞∑，其中
()πd 1,2,3,1
02()sin n f x n x x
b n ==⎰.求()12s
-.
解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在1
2
x =-
处连续，故. 2
11112224s f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 10. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： (1)()2
111 2
2f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪
⎝⎭ ；
(2) 3. 21,30,
()1,0x x f x x +-≤≤⎧=⎨≤<⎩
解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函
数，有b n =0 (n =1,2,3,…)
()()11222100
2
112d 41d 6
a f x x x x -==-=
⎰⎰， ()()()
()
1122210
2
12
2
2cos2n πd 41cos2n πd 11,2,π
n n a f x x x x x x
n n -+==--=
=⎰⎰
所以
()()1
22
11111
cos 2π12πn n f x n x n +∞
=-=+∑
(-∞<x <+∞)
(2) ()()30
3033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤=
=++=-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn n
n x
a f x x
n x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣
⎦⎰⎰⎰
()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,π
n n n x
b f x x n x n x x x x n n --+=
=++=-=⎰⎰⎰
而
函
数
f (x )
在
x =3(2k +1)
，
k =0,±1,±2,…
处
间断
，
故()()()122116π6
π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭
∑ (x
≠3(2k +1)
，
k =0,±1,±2,…)
习题十二
1. 填空题：
(1)级数1211()1n n n ∞
=+∑的敛散性是 发散
(2)级数1(
)21
n
n n n ∞
=-∑的敛散性是 收敛 (3)已知幂级数级数级数
1
(2)04n
n n a x x x ∞
=+==-∑在处收敛，在处发散，则幂级数1
(3)n
n n a x ∞
=-∑的处收敛域为 (1,5]
(4) 设函数()1()f x x x ππ=+-<<的傅里叶级数的和函数为(),(5)S x S π则等于 1
(5)设函数
2
()(0)f x x x π=≤≤的正弦函数
1
sin n
n b
nx ∞
=∑的和函数
(),(,2)()S x S x ππ∈=则当x 时， 2(2)x π--
2. 选择题：
(1) 正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛的充分条件是（ C ）。

2
1
11
21
21
1
1
..
(1)
.
(.
(n n
n n n n n n n n n A a
B a
C a
a D a
a ∞
∞
-==∞∞
--==-+-∑∑∑∑收敛收敛
)收敛)收敛
(2)设级数
21
(1)
n
n n a ∞
=-∑条件收敛，则（ D ）。

11
2
11....n n n n n n n n A a B a a
a C D n n
∞
∞
==∞
∞
==∑∑∑∑一定条件收敛
一定绝对收敛
一定条件收敛一定绝对收敛
(3) 设函数()0f x x =在的某邻域内有一阶连续导数，且(0),(0),f a f b '==则级数
1
1(1)()n
n f n ∞
=-∑条件收敛的充分条件是（ A ）。

.0,0.0,0.0.0,0A a b B a b C a b D a b =≠≠===≠≠
(4)设数列{}n a 单调减少，
1
lim 0,(1,2,)n n n k x k a S a n →∞
====∑无界，则幂级数1
(1)
n
k n a x ∞
=-∑的收敛域为（ C ）。

(][)[)
(].1,1.1,1.0,2.0,2A B C D -- （5）设()()f x x R ∈是以2π为周期的周期函数，且,
0()2,2,
x x f x x x ≤≤π,
⎧
=⎨
π-π<<π⎩n a ，
n b 为其傅里叶系数，则有（ C ）.
A 20n a =，20n b ≠
B 220,0n n a b ≠=
C 21210,0n n a b ++≠=
D 21210,0n n a b ++=≠
3. 设4
tan d (1,2,)n n a x x n π
=
=⎰
.。