2018届重庆八中高三上学期第二次月考理科数学试题及答

重庆八中2018届高三上学期第二次月考 数学理试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150 分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在等差数列{}n a 中，若32a =，则{}n a 的前5项和5S = A ．5 B ．10 C ．12 D ．15 2．已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是 A ．2
a a
b ab >>
B ．2ab ab a >> C. 2
ab a ab >>
D ．2
ab ab a >>
3. cos37.5sin 97.5cos52.5sin187.5︒︒-︒︒的值为
2-
C.
D. 4. 若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最大值为
A ．52-
B ．0
C ．53
D ．5
2
5. 在一个数列中，如果对任意n N +∈,都有12(n n n a a a k k ++=为常数)，那么这个数列叫 做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公积 为8，则1212a a a ++
+=
A ．24
B ．28
C ．32
D ．36
6.
如果将函数sin 2()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，那么m 的最小值为
A.
12π B. 6π C. 3
π
D. 23π
7. 如图，在矩形OABC 中，点,E F 分别在线段,AB BC 上，且满足
3,3AB AE BC CF ==,若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则
λμ+=
A.
83 B. 3
2
C. 53
D.1 8. 若()f x 为偶函数，且当0x ≥时，(
)cos f x x =
，则()f x 的零点个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D.无穷多个
9. 已知,m n 是单位向量且()(),,,m x y b n x a y =-=-，则()cos sin x y R ααα+∈的最大值为 A
．2 C
10. 若等差数列{}n a 满足22
110010a a +≤，则100101199S a a a =++
+的最大值为
A ．600
B ．500
C ． 800
D ．200
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）
（一）必做题（11~13题） 11.已知集合2|
05x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则 =B A ．（请用区间表示）
12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则{}n a 的通项公式n a =_____．
13. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．
设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如428a =．若2013ij a =， 则i j += ．
（二）选做题（14~16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数） 14.如图，半径为4的圆O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点，AD 的延
长
12
43576810129
11
1315171416
18
20
22
24
线交圆O 于点E ，则线段DE 的长为 ． 15.
若直线sin 42
πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭与直线31x ky +=垂直，则常数k = ． 16.若不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是____． 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
设{}n a 是公比大于1的等比数列,n S 为其前n 项和.已知37S =,且13a +,23a ,34a +构 成等差数列．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)令21221
(log )(log )
n n n b a a ++=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
已知函数()()22222x
f x x a x a a e ⎡⎤=-+-++⎣⎦．
（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．
19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
已知ABC ∆中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求函数2
2
sin sin y A C =+的取值范围．
20. （本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）
AD AB ⊥，CD AB //，3,3CD AB ==，平面SAD ⊥
平面
ABCD ，E 是线段AD 上一点
，AE ED ==，
AD SE ⊥．
（Ⅰ）证明：BE ⊥平面SEC ；
（Ⅱ）若1=SE ，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．
21. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）
已知椭圆的中心为原点O
，长轴长为
y =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）射线x y 22=()0x ≥与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于,A B 两点（,A B 两点异于M ）．求证：直线AB 的斜率为定值．
22. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分） 已知数列{}n a 满足递推式：()1121
222,,1,3n n n n a a n n N a a a a +--
=-≥∈==． (Ⅰ)若1
1n n
b a =
+，求1n b +与n b 的递推关系（用n b 表示1n b +）； (Ⅱ)求证：()122223n a a a n N +-+-++-<∈．
重庆八中高2018级高三上学期第二次月考
数学（理科） 参考答案
第10题提示：100101199S a a a =++
+()10011009910099
1001009922
a d a d d ⨯⨯=+
=++
12993100S d a ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，()2
222
22110011111109910103150S a a a a d a a ⎛⎫+≤⇒++≤⇒++≤ ⎪⎝⎭
2
211101009225150S S a a ⎛⎫
⇒++-≤ ⎪⎝⎭
有解
⇒22
1041002259150S S ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫∆=-⨯⨯-≥⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
500S ⇒≤
二、填空题
11. (]5,1-- 12. 12n n a -= 13. 109
14.
15. 3- 16. []2,5-
三、解答题
17. （I ）1237a a a ++=，21367a a a =++，则22a =，135a a +=. 则
2
25q q
+=，故12q =或2，又1q >，则2q =，从而12n n a -=.
（II ）111
(1)1
n b n n n n =
=-++⇒11111111223111
n
n
T n n n n =-+-++
-=-=+++. 18. （Ⅰ）当0a =时，()()
222x
f x x x e =-+，则切点为()0,2
且()2x f x x e '=⇒()00k f '==，则切线方程为2y =；
（Ⅱ）()()
()()2222x x
f x x ax a e x a x a e '=--=+-
当0a =时，()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，()f x 在(),a -∞-、()2,a +∞上单调递增，在(),2a a -上单调递减； 当0a <时，()f x 在(),2a -∞、(),a -+∞上单调递增,在()2,a a -上单调递减. 19.
（
Ⅰ
）
()2cos cos 0
m n a c B b C ⊥⇒++=2sin cos sin cos sin cos 0
A B C B B C ⇒++=122sin cos sin 0cos 23
A B A B B π
⇒+=⇒=-⇒=
（Ⅱ）方法一：
()221cos 21cos 21
sin sin 1cos 2cos 1202222
A C y A C A A --=+=+=-+︒-⎡⎤⎣⎦ ()1
1cos 2cos120cos 2sin120sin 22
A A A =-
+︒+︒
111cos 2222A A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
()11sin 2302A =-+︒ ()106030230150sin 230,12A A A ⎛⎤︒<<︒⇒︒<+︒<︒⇒+︒∈ ⎥⎝⎦13,24y ⎡⎫
⇒∈⎪⎢⎣⎭
．
方法二：()2222sin sin sin sin 60y A C A A =+=+︒－
22222sin sin 60cos sin 60cos60sin 2cos 60sin A A A A =+︒-︒︒+︒
2225331sin cos 2sin 24442A A A A A =+=+311cos 22422A A -=
+⋅
()1111cos 221sin 230222A A A ⎛⎫=-+=-+︒ ⎪ ⎪⎝⎭
下同方法一．
20.（Ⅰ）
（Ⅱ）
21. （Ⅰ）
由准线为y =y 轴上，则可设椭圆方程为：2
2
221y x a b +=．
又22a a c
⎧=⎪
⎨=
⎪⎩
知：
1a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩所以椭圆标准方程为：1822
=+y x ． （Ⅱ）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （
2
2
，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直
线MB 方程为)2
2
(2-
-=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2
2
84222-++=k k k x B
． ∴
22)
(=--=--B
A B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）．
22. （Ⅰ）121
122
2321n n n n a a a a a a +--
=-==-
=-=12
1n n
a a +⇒-= ① 11
11n n n n
b a a b =
⇒=-+代入①式得
1111212111111n n n n n n
b b b b b b +++---=
⇒-=-- 即11122
n n b b +=-+． （Ⅱ）
111311132112n
n n n a a ⎡⎤⎛⎫=--⇒+=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦-- ⎪
⎝⎭
()33
2312112n n n
a ⇒-=-=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 对n 分奇数与偶数讨论：21221233
2,22121
k k k k a a ---=-=+-，则
212212************+2=3+=32121221k k k k k k k k a a -----+⎛⎫--⋅ ⎪+-+-⎝⎭2124121
2221
133+22
2k k k k k ---+⎛⎫
<⋅=⋅ ⎪⎝⎭
，则
122122211
122223222k k k a a a a -⎛⎫-+-+
+-+-<⋅++
+
⎪⎝⎭213132k
⎛
⎫
=⋅-< ⎪⎝⎭
； 又122121221
132222312
21k k k
k a a a a -++⎛
⎫
-+-+
+-+-<⋅-+ ⎪+⎝⎭
2121131212k k +⎛
⎫=⋅+- ⎪+⎝⎭
3<．综上所述，原不等式成立．。