2023届高考理科数学模拟试卷一(含答案及解析)

2023届高考理科数学模拟试题一(含答案及解析)
本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1． 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑墨水钢笔、签字笔写在答题卷上；
2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上，答在试题
卷上不得分；
3． 考试结束，考生只需将答题卷交回。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B *=*
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z
= A ． i 2-
B ．i 2
C ．i -1
D ．i +1
2. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}
2|680B x x x =-+<,则()U C A B =
A ．[1,4)-
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(1,4)-
3. 椭圆22
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．
14
B ．
1
2
C ． 2
D ．4 4. ABC ∆中，3
A π
∠=，3BC =
，AB =
，则C ∠=
A ．
6
π
B ．
4π C ．34π D ．4
π或34π
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
5
10,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a
(n N ＋
)的直线的斜率是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ,且1
)2()4(=-=f f )()(x f x f 为'的导函数，
函数)(x f y '=的图象如图所示， 则平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧
<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8
7. 一台机床有
13
的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ， 加工A 时,停机的概率是310，
加工B 时，停机的概率是2
5
，则这台机床停机的概率为( )
A ． 1130
B ．30
7 C ．107 D ．101
8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +
∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。

有下列函数： ① ()sin 2f x x = ②3
()g x x = ③1()()3
x h x = ④()ln x x φ= 其中是一阶整点函数的是( )
A ．①②③④
B ．①③④
C ．①④
D ．④
第二部分 非选择题(共110分)
二、填空题(每小题5分，共30分)
9. 若奇函数()f x 的定义域为[,]p q ，则p q += 10. 计算
()3
21d x x -=⎰
11. 已知正三角形内切圆的半径是高的1
3
，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________
12. 右图是用二分法求方程5
1610x x -+=在[2,2]-的近似解的程序框图，
要求解的精确度为0.0001，①处填的内容是____________， ②处填的内容是______________________
第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分
13. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4
2
in π
ρθ+
=
上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是
14. 如图，圆O
是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，
CD =，3AB BC ==。

则BD 的长______________，AC 的长
______________
15. 已知,,
x y R +
∈且1=, 则22
x y +=
0.01频率
组距
E
C 1
B 1
A 1
C
A
三、解答题
16. (本题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图。

观察图形的信息，回答下列
问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和
平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率。

17.(本题满分12分) 已知()f x =x x x
x x x cos sin 22
sin 23sin 2cos 23cos
--， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ） 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，求函数)(x f 的零点。

18. (本题满分14分)
如图，在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知BC=1，13
BCC π
∠=
（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；
（Ⅱ）试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置，使得1EA EB ⊥； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角11A EB A --的平面角的正切值。

19. (本题满分14分)
在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段
PF 与y 轴的交点，RQ FP ⊥，PQ l ⊥
(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程；
(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ， 求证：直线MN 必过定点)0,3(R
20．(本题满分14分)
已知数列{}n a 中,()2
11111,,2n n n n n a a a a a a n N n ++--==+∈≥,且
1
1n n
a kn a +=+ （Ⅰ）求证：k 1=；
（Ⅱ）设()
1
()1!n n a x g x n -=-，()f x 是数列(){}g x 的前n 项和，求()f x 的解析式；
（Ⅲ）求证：不等式()()3
23f g n
<对n N +∈恒成立。

21. (本题满分14分)
已知函数()ln(1)(1),x
f x a e a x =+-+(其中0a >)
点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点，且
2132x x x =+
（Ⅰ）证明：函数()f x 在R 上是减函数； （Ⅱ）求证：⊿ABC 是钝角三角形；
（Ⅲ）试问，⊿ABC 能否是等腰三角形？若能，求⊿ABC 面积的最大值；若不能，请说明理由。

0.03
0.01频率组距
参考答案及评分标准
一、选择题答案 CCABA BAC 二、填空题
()0f m <0.0001b <三、解答题
16.(本题满分12分)
（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
41(0.0250.01520.010.005)100.03f =-+*++*=……2分
直方图如右所示……………………………….4分
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=
所以，抽样学生成绩的合格率是75%......................................6分 利用组中值估算抽样学生的平均分
123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅………………….8分
＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝71
估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分
（Ⅲ）[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数是18、15、3，所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率
222181532
36C C C P C ++==8729
21070
= ………………………………………….12分 17.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2cos )(-==)4
2cos(2π
+
x ………………………………4分
故π=T ………………………………………….5分 （Ⅱ）令0)(=x f ，)24cos(
2x +π
=0，又 ,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
………………………7分 592444x πππ
∴
≤+≤ 3242x ππ∴+=………………………………………….9分 故58x π= 函数)(x f 的零点是58
x π= ………………………………………12分
18．(本题满分12分)
（Ⅰ）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3
BC CC BB
BCC π
===
∠=
由余弦定理有
1BC == 故有 222
11,BC BC CC +=
∴1C B BC ⊥ 而 BC
AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC
∴1C B ABC ⊥平面
（Ⅱ）由11,,,,EA EB AB EB AB
AE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面
从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥
不妨设 C E x =，则12C E x =-，则22
1BE x x =+-
又
112
3
B C C π∠= 则2211B E x x =++
在1Rt BEB 中有 22
114x x x x +++-+= 从而1x =±（舍负）
故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥
方法二：以B 为原点1,,BC BC BA 为,,x y
z 轴，设CE x =，则(0,0,0),B (1,,0)E x
,
1(B -,A 由1EA EB ⊥得 10
E A E B
⋅= 即
11(1,2)(,0)02222
x x x x -
--=
11(1)(2)022x x x ⎫--=⎪⎪⎭
化简整理得 2
320,x x -+= 1x = 或 2x =
当2x =时E 与1C 重合不满足题意 当1x =时E 为1CC 的中点
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
1
1
1
故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥
（Ⅲ）取1EB 的中点D ，1A E 的中点F ，1BB 的中点N ，1AB 的中点M 连DF 则11//DF A B ，连DN 则//DN BE ，连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ，且MNDF 为矩形，//MD AE 又
111
1,A B EB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角
在Rt DFM 中，1112DF A B
BCE ==∆
为正三角形）
111
222
MF BE CE =
== 1
tan 22
MDF ∴∠== 法二：由已知1111,EA EB B A EB ⊥
⊥， 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量
11B
A 与EA 的夹角
因为11B A BA == 1
(22
EA =-
- 故 1111
2cos tan 23
EA B A EA B A θθ⋅=
=
⇒=⋅ .
19. (本题满分14分)
解：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为：1x =-，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线…………………….2分 ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离
∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =…………4分 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：
2
4(0)y x x =>…………………………………………………….7分
(Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，直线AB 为)1(-=x k y …………………………………………………….8分
则⎪⎩⎪⎨⎧==)
2(4)1(42
2B
B A
A x y x y
（1）—（2）得k
y y B A 4
=
+，即k y M 2=……………………………………9分
代入方程)1(-=x k y ，解得12
2+=k
x M
所以点Ｍ的坐标为222
(1,)k k
+……………………………………10分
同理可得：N 的坐标为2
(21,2)k k +-
直线MN 的斜率为2
1k k
x x y y k N M N M MN -=--=，方程为
)12(1222
---=+k x k
k
k y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ，………………12分 显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，
所以直线MN 恒过定点R (3,0)………………14分
20. (本题满分14分) .解:
1
1n n
a kn a +=+ 故
2
21
1a a k a ==+,……………………………………1分 又因为()2
11111,,2n n n n n
a a a a a a n N n +--+==+∈≥
则3121a a a a =2
2a +,即
332222
1,21,2a a
a k a k a a =+=+∴=又………………………3分 所以212,1k a k k +==∴=……………………………………4分 (2)
1
1,n n
a n a +=+ 121121
n n n n n a a a a a a a a ---=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()1...21!n n n ⋅-⋅⋅⋅= ……………………………………6分 因为()()11!
n n a x g x n -=-=1
n nx -
所以,当1x =时,()()()
11123 (2)
n n f x f n +==++++= …………………………7分
当1x ≠时,()2
1
123...n f x x x nx
-=++++ (1)
()1x ⋅得()()23123...1n n xf x x x x n x nx -=++++-+ (2)
()()()()2
1
12:11...n n
x f x x x
x
nx ---=++++-=11n
n x nx x
---
()()
2
111n
n x nx f x x
x -∴=
--- ……………………………9分 综上所述:2(1)
,12
()1,1(1)1n n
n n x f x x nx x x x +⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩
……………………………10分 (3)因为()()
()2
122212112
12n
n
n n f n -=
-=-+-- 又
()3
33n g n
=,易验证当1,2n =,3时不等式不成立……………………………11分 假设()3n k k =≥,不等式成立,即()3121k
k
k >-+ 两边乘以3得:()()1
113
31232131222k k k k k k k k k +++>-+=⋅++--+
又因为()()()1
3122
2233223220k k k k k k k k k +--⋅+=--+=-+>
所以()1
1113
213122221k k k k k k k k k ++++>⋅++--+>⋅+
即1n k =+时不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………14分
21. (本题满分14分) 解：(Ⅰ)
()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+
(1)()(1)011x x
x x
ae a e f x a e e
-+-'∴=-+=<++恒成立…………………………2分 所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数…………………………4分 (Ⅱ) 证明:据题意1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1<x 2<x 3,
由(Ⅰ)知f (x 1)>f (x 2)>f (x 3), x 2=
2
3
1x x +…………………………6分 12123232(,()()),(,()()BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--
12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴⋅=--+--…………………8分
123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-<
0,(,)2
BA BC B π
π∴⋅<∴∠∈
即⊿ABC 是钝角三角形……………………………………..9分 (Ⅲ)假设⊿ABC 为等腰三角形，则只能是BA BC =
即2132()()()f x f x f x =+
3212132ln(1)2(1)[ln(1)(1)(1)()x x x a e a x a e e a x x ⇔+-+=++-++ 321222ln(1)2(1)[ln(1)(1)2(1)x x x a e a x a e e a x ⇔+-+=++-+ 3212ln(1)ln(1)(1)
x x x e e e ⇔+=++31332122122(1)(1)(1)2x x x x x x x x x e e e e e e e e +⇔+=++⇔+=++ 3212x x x e e e ⇔=+ ①……………………………………..12分
而事实上，3122x
x x e e e +≥= ②
由于31x
x
e e <，故(2)式等号不成立，这与(1)式矛盾
所以⊿ABC 不可能为等腰三角形………………………..…14分
2222
12123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+-即：2221321232[()()][()()]x x x x f x f x f x f x -=-∴-=-。