《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章 函数、极限、连续 高等数学第一章第9-10节

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定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
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例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
1,
x2 sin 1
lim
x0
x x2
lim sin 1
x0
x
sin x与x大致相同; 不存在. 不可比.
故函数 f (x)在点x 0处连续.
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4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间
上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
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定义 设, 是同一过程中的两个无穷小,且 0. (1) 如果 lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o( );
(2) 如果 lim ,就说是比低阶的无穷小；
(3) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
(4) 如果 lim 1,则称与是等价的无穷小;
x x x0, 称为自变量在点 x0的增量.
y f (x) f (x0),称为函数 f (x)相应于x的增量.
y
y f (x)
y x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
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2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
lim y
x0
=
lim[
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
称函数 f ( x)在点 x 连续, x 称为 f ( x)的连续点.
0
0
设 x x0 x,
y
y f (x) f (x0),
x 0 就是 x x0,
0
y 0 就是 f (x) f (x0).
y f (x)
y x
x0 x0 x x
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0 处既左连续又右连续.
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例2
讨论函数
f
(x)
x x
2, 2,
连续性.
x 0, 在 x 0处的 x 0,
解 lim f ( x) lim ( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f (x)在点x 0处不连续.
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例3
讨论
f
(
x)
x 3, 3 x,
x x
0 0
在x
0点的连续性.
解： lim f ( x) lim(3 x) 3 f (0)，
x0
x0
lim f ( x) lim( x 3) 3 f (0)，
x0
x0
右连续且左连续 ,
例如, 有理函数在区间(,)内是连续的.
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例4 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin(x x) sin x 2sin x cos( x x)
2
2
cos(x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的,当 0时, 有sin ,
x0
lim f ( x) lim (a x) a,
x0
x0
要使 f (0 ) f (0 ) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f (x)在x 0处连续.
20
二、函数的间断点
1、间断点 不连续的点.
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件 (1) f (x)在点x0处有定义;
y
则
f
(
x)
2
x,
1 x,
在x 1处连续.
0 x 1, x 1,
2 1
o1
x
25
第二类间断点
如果 f (x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存 在, 则称点x0为函数 f (x)的第二类间断点.
例8 讨论函数
f
(
x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 ) 0, f (0 ) ,
2、复合函数的连续性
设函数u (x) 在点 x x0连续, 且(x0 ) u0 , 而
函数 y f (u) 在点u u0 连续,则复合函数 y f [(x)]在
点 x x0也连续.
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例如, u 1 在 (, 0) (0, )内连续,
x
y sin u 在(, )内连续,
y sin 1 在 (, 0) (0, )内连续. x
故 y 2 sin x x , 当x 0时, y 0. 2
即函数 y sin x对任意x (,)都是连续的.
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例5 当a取何值时,
函数
f
(
x
)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
解 令t arcsinx, 则 x sin t,
lim arcsin x lim t 1,
x0 x
t0 sin t
即 arcsinx ~ x (x 0).
4
常用等价无穷小 当x 0时,
sinx ~ x,
arcsinx ~ x,
tanx ~ x,
arctanx ~ x,
ln (1 x) ~ x, e x 1 ~ x, ax 1 ~ x lna， 1 cos x ~ x2 ，
2 (1 x) 1 ~ x， 1 x 1 ~ x .
2
5
记住等价无穷小的一般一般形式
如 ln(1 f (x)) ~ f (x) ( f (x) 0)；
其他公式类似；
如：x 0， asin x 1 ~ sin x ln a；
x 0,
1 cosx3 ~
x6 .
2
定理1(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则lim lim .
(2) lim f (x)存在; xx0
(3)
lim
x x0
f
(x)
f (x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称函数
f (x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为f (x)的不连 续点(或间断点).
21
如 ： f (x)
1 x2 ,
x 0是间断点；
x
f
(
x)
1, x,
记作 ~ ;
2
如 3x3 o(x2) (x 0);
在x 3时，x2 9和x 3是同阶无穷小；
在x 0时，sin x和x是等价无穷小；
即
sinx ~ x ( x 0).
例1 求极限 lim ln(1 x) .
x0
x
解
lim
ln(1
x)
l iml n
[ (1
x)
1 x
]
ln
e
1，
x0
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
24
解 f (1) 1, f (1) 2, f (1 ) 2,
lim f (x) 2 f (1), x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定 义, 则可使其变为连续点.
如例7中 ,令 f (1) 2,
x
xx
lim x0 (2
x
)3
0.
解 当x 0时, sin2x ~ 2x,
tanx sinx tanx(1 cos x) ~ 1 x3,
lim
x0
tan x sin sin3 2 x
x
1 x3
lim
x0
2 (2
x)3
1. 16
2
8
例5 求极限lxim0 (1ln(1cosxx22))(s2ixnx13) .
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
y
f (0 ) f (0 ),
x 0为函数的第一类跳跃间断点o.
x
23
(2)可去间断点
如果 f (x)在间断点x0处的左右极限存在相等, 则称点x0为函数 f (x)的可去间断点.
例7讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x 1，
1 x, x 1,
解
(1 cos x2 )(2x 1)
lim
x0
l n (1
x2
)sinx3
x4 x ln2
lim x0
2 x2
x3
ln 2 . 2
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§1.10 函数的连续性
一、连续函数的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的性质 四、闭区间上连续函数的性质
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一、连续函数的概念
1.变量的增量（改变量）
设函数 f (x)在U (x0, )内有定义, x U (x0, ),
x
x0
即 ln(1 x) ~ x ( x 0).
3
例2 求极限 lim ex 1. x0 x
解 令 t ex 1, 则 x ln(1 t),
lim ex 1 lim t
x0 x
t0 ln(1 t)
lim t 0
1
1
ln(1 t)t
1,
即 ex 1 ~ x (x 0).
例3 求极限 lim arcsin x . x0 x
证 lim lim( )
lim lim lim lim .
6
利用等价无穷小求极限是一种重要的求极限方法.对 于商的极限,整个分子、整个分母或分子、分母乘积的 因子可用等价无穷小代换.
例4 求 limtan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan 2x ~ 2x. 2
反三角函数在其定义域内皆连续.
29
4、初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
由定义2知
x 0, 在x 0 x 0,
函数 f (x)在 x 0处连续.
14
3.左右连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 ) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
若函数f (x)在[x0 , b)内有定义, 且f (x0 ) f (x0 ), 则称f (x)在点x0处右连续.
l imtan2 2x x0 1 cos x
(2x)2 lim x0 1 x2
8.
2
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
7
例5
求
极限
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
错解 当x 0时, tanx ~ x, sinx ~ x.
lim
x0
tan x sin sin3 2 x
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三、连续函数的性质
1、连续函数四则运算及绝对值运算
若函数 f (x), g(x)在点x0处连续,则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) , f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)在点x0处也连续.
例如, sin x,cosx在(,)内连续,
故sinx ,tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
x2 x2
, x 2是间断点。
2、间断点的分类：
第一类间断点：
f (x)在间断点x0的左右极限都存在。
22
(1)跳跃间断点
如果 f (x)在点 x0处左, 右极限都存在, 但 f (x0 ) f (x0 ), 则称点x0为函数f (x)的跳跃间 断点.
例6
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间断点.
o
x
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例9 讨论函数 f (x) sin 1 在 x 0处的连续性.
x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点. 综上
间断点第一类间断点可 跳去 跃间 间断 断点 点 第二类间断点 如无穷和震荡间断点