中考二模测试《数学试题》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上)
1. 下列图标，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，若A、B分别是实数a、b在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是()
A. b＋a
B. b－a
C. a b
D. b a
3. 关于代数式x＋2的结果，下列说法一定正确的是()
A. 比2大
B. 比2小
C. 比x
大 D. 比x小
4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0;②当x＝2时，y的值等于1;③当x＞3时，y的值小于0．正确的是()
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
5. 计算999－93的结果更接近()
A. 999
B. 998
C. 996
D. 933
6. 如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的( )
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上)
7. 1
3
的相反数是______，
1
3
的倒数是______．
8. 若△ABC∽△DEF，请写出2个不同类型的正确的结论：______，______．
9. 如果﹣2x m y3与xy n是同类项，那么2m﹣n的值是_____．
10. 分解因式2x2y－4xy＋2y的结果是_____．
11. 已知x1、x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2＝______．
12. 用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
13. 如图，点A在函数y＝k
x
(x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则
k的值为______．
14. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足____时，四边形EHFG是菱形．
15. 如图，一次函数y＝－4
3
x＋8的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．P是x轴上一个动点，若沿BP
将△OBP翻折，点O恰好落在直线AB上的点C处，则点P的坐标是______．
16. 如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板ACB 的位置保持不动，将三角板DCE 绕其直角顶点C 顺时针旋转一周．当△DCE 一边与AB 平行时，∠ECB 的度数为
_________________________．
三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题．．卡指定区域．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 求不等式
3x ≤1＋12
x -的负整数解． 18. (1)化简：244x -－12x -;(2)解方程244x -－12x -＝12． 19. 小莉妈妈支付宝用来生活缴费和网购．如图是小莉妈妈2017年9月至12月支付宝消费情况的统计图(单位：元)．
(1)11月支出较多，请你写出一个可能的原因．
(2)求这4个月小莉妈妈支付宝平均每月消费多少元．
(3)用(2)中求得的平均数来估计小莉妈妈支付宝2018年平均每月消费水平，你认为合理吗?为什么?
20. 转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．
(1)如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．小莉让转盘自由转动2次，求指针2次都落在黑色区域的概率．
(2)小刚在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的18个小球，其中4个白球，6个红球，8个黄球．搅匀后，随机摸1个球，若事件A的概率与(1)中概率相同，请写出事件A．
21. 春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12米，乙工程队每天改造8米，共用时200天．
(1)根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
小莉：
___
128_____
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
小刚：
___
_____
128
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组：
小莉：x表示，y表示;
小刚：x表示，y表示．
(2)求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米．
22. 如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离(BD)是100 m，如果爸爸的眼睛离地面的距离(AB)为1.6 m，小莉的眼睛离地面的距离(CD)为1.2 m，那么气球的高度(PQ)是多少?(用含α、β
的式子表示)
23. 南京、上海相距约300 km，快车与慢车速度分别为100 km/ h和50 km/ h，两车同时从南京出发，匀速行驶，快车到达上海后，原路返回南京，慢车到达上海后停止．设两车出发后的时间为x h，快车、慢车行驶过程中离南京的路程为y1、y2 km．
(1)求y1、y2与x之间的函数关系式，并在下列平面直角坐标系中画出它们的图像;
(2)若镇江、南京相距约80 km，求两车经过镇江的时间间隔;
(3)直接写出出发多长时间，两车相距100 km．
24. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她说法正确吗，如正确，请证明;如不正确，请举反例说明．
25. 某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m.)现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若改造后观花道的面积为13m2，求x的值;
(3)若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
26. 如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC 的长.
(1)求∠EOF 的度数.
(2)连接OA、OC(如图2).求证：△AOE∽△CFO.
(3)若OE=5
2OF，求
AE
CF
的值.
27. 在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．【问题提出】
求证：如果一个定圆内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．从特殊入手】
我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．
请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．
【问题解决】
已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．求证：．
证明：
答案与解析
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．
上) 1. 下列图标，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项进行分析判断即可得.
【详解】A 、不是轴对称图形，故不符合题意;
B 、不是轴对称图形，故不符合题意;
C 、不是轴对称图形，故不符合题意;
D 、是轴对称图形，故符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合的图形是解题的关键.
2. 如图，若A 、B 分别是实数a 、b 在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是( )
A. b ＋a
B. b －a
C. a b
D. b a
【答案】B
【解析】 分析：根据数轴上数的大小以及各种计算法则即可得出答案．
详解：根据数轴可得：a+b ＜0;b －a ＞0;0b a
;计算b a 时，如果b 为偶数，则结果为正数，b 为奇数时，结
果为负数．故本题选B．
点睛：本题主要考查的是数轴以及各种计算法则，属于基础题型．理解各种计算法则是解决这个问题的关键．
3. 关于代数式x＋2结果，下列说法一定正确的是()
A. 比2大
B. 比2小
C. 比x
大 D. 比x小
【答案】C
【解析】
【分析】
分情况讨论：当x＜0时;当x＞0时;x取任何值时，就可得出答案.
【详解】当x＜0时，则x+2比2小，则A不符合题意;
当x＞0时，则x+2比2大，则B不符合题意;
x取任何值时，x+2比x大，则D不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，正确地分类讨论是解题的关键.
4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：①
a＜0，b＞0，c＜0;②当x＝2时，y的值等于1;③当x＞3时，y的值小于0．正确的是()
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【答案】B
【解析】
分析：根据二次函数的开口方向、对称轴与y轴的交点得出①、根据对称性得出②、根据函数图像得出③．详解：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，故正确;∵对称轴大于1.5，∴x=2时的值大于x=1的函数值，故错误;根据图像可得：当x＞3时，y的值小于0，故正确;故选B．
点睛：本题主要考查的是二次函数的图象与系数之间的关系，属于中等难度的题型．理解函数图像与系数之间的关系是解题的关键．
5. 计算999－93的结果更接近()
A. 999
B. 998
C. 996
D. 933
【答案】A
【解析】
分析：根据幂的大小进行求值，从而得出答案．
详解：根据幂的性质可得：999－93最接近于999，故选A．
点睛：本题主要考查的是幂的计算法则，属于中等难度的题型．明白幂的定义是解决这个问题的关键．6. 如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的( )
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OM、ON，NK，根据切线的性质及角平分线的判定定理，可得出答案.
【详解】如图，连接OM、ON，NK，
∵PM、PN分别是⊙O的切线，
∴ON⊥PN，OM⊥PM，MN⊥OP，∠OPN=∠OPM，
∴∠1+∠ONK=90°，∠2+∠OKN=90°，
∵OM=ON，
∴∠OPN=∠OPM，∠ONK=∠OKN，
∴∠1=∠2，
∴点K是△PMN的角平分线的交点，
故选C.
【点睛】本题考查了切线长定理、角平分线定义，熟练掌握切线长定理的内容是解题的关键.
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上)
7. 1
3
的相反数是______，
1
3
的倒数是______．
【答案】(1). －1
3
(2). 3
【解析】
分析：当两数只有符号不同时，则两数互为相反数;当两数的积为1时，则两数互为倒数．根据定义即可得出答案．
详解：1
3
的相反数是
1
3
-，
1
3
的倒数是3．
点睛：本题主要考查的是相反数和倒数的定义，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键．8. 若△ABC∽△DEF，请写出2个不同类型的正确的结论：______，______．
【答案】(1). ∠A＝∠D (2). ∠B＝∠E
【解析】
分析：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
详解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB AC BC DE DF EF
==．
点睛：本题主要考查的是相似三角形的性质，属于基础题型．明白相似三角形的性质是解决这个问题的关键．
9. 如果﹣2x m y3与xy n是同类项，那么2m﹣n的值是_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
同类项是指所含的字母相同，且相同字母的指数相同的单项式．根据定义求出m和n的值，从而得出答案．【详解】根据题意可得：m=1，n=3，
∴2m－n=2×1－3=－1．
故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键．
10. 分解因式2x 2y －4xy ＋2y 的结果是_____．
【答案】2y(x －1)2
【解析】
分析：首先提取公因式2y ，然后利用完全平方公式得出答案．
详解：原式=2y(22x 1x -+)=()22y x 1-．
点睛：本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解的方法有：提取公因式、公式法和十字相乘法等，有公因式我们都需要进行提取公因式．
11. 已知x 1、x 2是一元二次方程x 2＋x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1x 2＝______．
【答案】2
【解析】
分析：首先根据韦达定理求出两根之和和两根之积，从而得出答案．
详解：∵121b x x a +=-=-，123c x x a
==-， ∴原式=－1－(－3)=－1+3=2． 点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理，属于基础题型．明白韦达定理的计算公式是解决这个问题的关键．
12. 用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
【答案】2
【解析】
分析：根据圆锥的侧面展开图的圆心角的计算公式即可得出答案．
详解：∵设圆锥的半径为r ，母线长为4，∴θ360r l =⨯︒，即1803604
r ︒=⨯︒，解得：r=2． 点睛：本题主要考查的是圆锥的侧面展开图，属于中等难度题型．明白展开图的圆心角计算公式即可得出答案．
13. 如图，点A 在函数y ＝
k x
(x ＞0)的图像上，点B 在x 轴正半轴上，△OAB 是边长为2的等边三角形，则k 的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
首先过点A作AC⊥OB，根据等边三角形的性质得出点A的坐标，从而得出k的值．
【详解】分析：
解：过点A作AC⊥OB，∵△OAB为正三角形，边长为2，
∴OC=1，AC=3，
∴k=1×3=3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查的是待定系数法求反比例函数解析式以及等边三角形的性质，属于基础题型．得出点A的坐标是解题的关键．
14. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足____时，四边形EHFG是菱形．
【答案】答案不唯一，如：∠ABC＝90°等
【解析】
分析：首先根据题意得出四边形EHFG为平行四边形，然后根据直角三角形斜中线的性质得出EH=HF，从而得出菱形．
详解：∵E、F为AB、CD的中点，∴EG∥HF，EH∥FG，∴四边形EHFG为平行四边形，
当∠ABC=90°时，∴BH=EH=HF，∴四边形EHFG为菱形．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及菱形的判定定理，属于基础题型．理解菱形的判定定理是解决这个问题的关键．
15. 如图，一次函数y ＝－43
x ＋8图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将△OBP 翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是______．
【答案】(
83
，0)，(－24，0) 【解析】
【分析】
根据题意得出OA ，OB 和AB 的长度，然后根据折叠图形的性质分两种情况来进行，即点P 在线段OA 上和点P 在x 轴的负半轴上，然后根据Rt △APC 的勾股定理求出点P 的坐标．
【详解】根据题意可得：OA=6，OB=8，则AB=10，
①、当点P 在线段OA 上时，设点P 的坐标为(x ，0)，则AP=6－x ，BC=OB=8，
CP=OP=x ，AC=10－8=2，
∴根据勾股定理可得：()22226x x +=-，解得：x=
83， ∴点P 的坐标为(83
，0);
②、当点P 在x 轴的负半轴上时，设OP 的长为x ，则AP=6+x ，BC=8，
CP=OP=x ，AC=10+8=18，
∴根据勾股定理可得：()222186x x +=+，解得：x=24，
∴点P 的坐标为(－24，0);
∴综上所述，点P 的坐标为(83
，0)，(－24，0)． 【点睛】本题主要考查的是折叠图形的性质以及直角三角形的勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意画出图形得出直角三角形．
16. 如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板ACB 的位置保持不动，将三角板DCE 绕其直角顶点C 顺时针旋转一周．当△DCE 一边与AB 平行时，∠ECB 的度数为
_________________________．
【答案】15°
、30°、60°、120°、150°、165° 【解析】
分析：根据CD ∥AB ，CE ∥AB 和DE ∥AB 三种情况分别画出图形，然后根据每种情况分别进行计算得出答案，每种情况都会出现锐角和钝角两种情况．
详解：①、∵CD ∥AB ， ∴∠ACD=∠A=30°
， ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°， ∠ECB+∠ACE=∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACD=30°;
CD ∥AB 时，∠BCD=∠B=60°，∠ECB=∠BCD+∠EDC=60°+90°=150°
②如图1，CE ∥AB ，∠ACE=∠A=30°
，∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°;
CE ∥AB 时，∠ECB=∠B=60°．
③如图2，DE ∥AB 时，延长CD 交AB 于F ， 则∠BFC=∠D=45°，
在△BCF 中，∠BCF=180°
-∠B-∠BFC ，=180°-60°-45°=75°， ∴ECB=∠BCF+∠ECF=75°+90°=165°或∠ECB=90°－75°=15°．
点睛：本题主要考查的是平行线的性质与判定，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意得出图形，然后分两种情况得出角的度数．
三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 求不等式3x ≤1＋12x -的负整数解． 【答案】－3、－2、－1．
【解析】
【分析】 首先根据解不等式的方法求出不等式的解，从而得出不等式的负整数解．
【详解】解： 2x≤6＋3(x - 1)，2x≤6＋3x －3，解得：x≥－3．
所以这个不等式的负整数解为－3、－2、－1．
【点睛】本题主要考查的是解不等式，属于基础题型．在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变．
18. (1)化简：
244x -－12x -;(2)解方程244x -－12x -＝12
． 【答案】(1)12x -+;(2)－4． 【解析】
分析：(1)、首先将分式进行通分，然后进行减法计算得出答案;(2)、首先进行去分母将其转化为整式方程，从而求出方程的解，最后需要对方程的解进行检验．
详解：(1)、解：
－＝ － ＝ ＝ ＝ ＝－ ．
(2)、去分母可得：8－2(x+2)=(x+2)(x －2)， 化简可得：22x 80x +-=，
解得：1242x x =-=，，经检验：x=2是方程的增根，x=－4是方程的解．
点睛：本题主要考查的是分式的化简以及解分式方程，属于基础题型．解决这个问题的关键就是学会将分式的分子和分母进行因式分解．
19. 小莉妈妈的支付宝用来生活缴费和网购．如图是小莉妈妈2017年9月至12月支付宝消费情况的统计图(单位：元)．
(1)11月支出较多，请你写出一个可能的原因．
(2)求这4个月小莉妈妈支付宝平均每月消费多少元．
(3)用(2)中求得的平均数来估计小莉妈妈支付宝2018年平均每月消费水平，你认为合理吗?为什么?
【答案】(1)见解析;(2)848元;(3)不合理，理由见解析.
【解析】
分析：(1)、这个只要回答的合情合理即可得出答案;(2)、根据平均数的计算法则得出答案;(3)、11月份出现了极端值，会较大的影响平均每月消费水平．
详解：解：(1)、答案不唯一，学生说法只要合理均给分．如双11淘宝购物花费较多等．
(2)、这4个月小莉妈妈支付宝每月平均消费为：
＝×(488.40+360.20+1942.60+600.80)＝ 848(元)．
(3)、用这个平均数来估计小莉妈妈支付宝平均每月消费水平不合理．
因为这个平均数受极端值(11月数据)影响较大，不能代表平均每月消费水平．
点睛：本题主要考查的是平均数的计算法则，属于基础题型．明白计算法则是解决这个问题的关键．20. 转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．
(1)如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．小莉让转盘自由转动2次，求指针2次都落在黑色区域的概率．
(2)小刚在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的18个小球，其中4个白球，6个红球，8个黄球．搅匀后，随机摸1个球，若事件A的概率与(1)中概率相同，请写出事件A．
【答案】(1)P(指针2次都落在黑色区域)＝4
9
;(2)事件A为摸得黄球．
【解析】
分析：(1)、根据题意列出所有可能出现的情况，然后得出概率;(2)、根据概率的计算法则得出所有情况的概率，然后得出答案．
详解：解：(1)如图，把黑色扇形等分为黑1、黑2两个扇形，
转盘自由转动2次，指针所指区域的结果如下：
(白，白)，(白，黑1)，(白，黑2)，(黑1，白)，(黑1，黑1)，(黑1，黑2)，
(黑2，白)，(黑2，黑1)，(黑2，黑2)．
所有可能的结果共9种，它们是等可能的，其中指针2次都落在黑色区域的结果有4种．
所以P(指针2次都落在黑色区域)＝．
(2)事件A为摸得黄球．
点睛：本题主要考查的是概率的计算法则，属于基础题型．理解概率的计算公式是解题的关键．
21. 春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12米，乙工程队每天改造8米，共用时200天．
(1)根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
小莉：
___
128_____
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
小刚：
___
_____
128
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组：
小莉：x表示，y表示;
小刚：x表示，y表示．
(2)求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米．
【答案】(1)见解析;(2)甲、乙两工程队分别出新改造600米、1200米．
【解析】
分析：(1)、小莉：x表示甲工程队改造的天数，y表示乙工程队改造的天数;小刚：x表示甲工程队改造的长度，y表示乙工程队改造的长度;(2)、根据题意解方程组，从而得出答案．
详解：解：(1)、小莉：小刚：
小莉：x表示甲工程队改造的天数，y表示乙工程队改造的天数;
小刚：x表示甲工程队改造的长度，y表示乙工程队改造的长度．
(2)、解小莉方程组得
所以12x＝600，8y＝1200．
答：甲、乙两工程队分别出新改造600米、1200米．
点睛：本题主要考查的是二元一次方程组的实际应用问题，属于基础题型．解决应用题的关键在于找出等量关系，列出方程组．
22. 如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离(BD)是100 m，如果爸爸的眼睛离地面的距离(AB)为1.6 m，小莉的眼睛离地面的距离(CD)为1.2 m，那么气球的高度(PQ)是多少?(用含α、β的式子表示)
【答案】气球高度是100tan tan 1.2tan 1.6tan
tan tan
αβαβ
βα
-+
-
m．
【解析】
分析：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ＝x m，根据Rt△PEA的三角形函数得出AE的长度，根据Rt△PCF的三角函数得出CF的长度，最后根据BD=AE－CF求出x的值，得出答案．
详解：解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F．
设PQ＝x m，则PE＝(x－1.6)m，PF＝(x－1.2)m．
在△PEA中，∠PEA＝90°．则tan∠PAE＝．∴ AE＝．
在△PCF中，∠PFC＝90°．则tan∠PCF＝．∴ CF＝．∵ AE－CF＝BD．
∴－＝100．解得x＝．
答：气球的高度是m．
点睛：本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于基础题型．解决这个问题的关键在于构造出直角三角形．
23. 南京、上海相距约300 km，快车与慢车的速度分别为100 km/ h和50 km/ h，两车同时从南京出发，匀速行驶，快车到达上海后，原路返回南京，慢车到达上海后停止．设两车出发后的时间为x h，快车、慢车行驶过程中离南京的路程为y1、y2 km．
(1)求y1、y2与x之间的函数关系式，并在下列平面直角坐标系中画出它们的图像;
(2)若镇江、南京相距约80 km，求两车经过镇江的时间间隔;
(3)直接写出出发多长时间，两车相距100 km．
【答案】(1)画图见解析;(2)两车经过镇江的时间间隔为0.8 h或3.6 h;(3)出发2 h或10
3
h或
14
3
h后，两车相
距100 km．
【解析】
分析：(1)、根据待定系数法求出函数解析式，然后再图中画出函数图像;(2)、将y=80代入函数解析式，分别求出x的值，从而得出时间差;(3)、根据函数值相差100列出一元一次方程(分三段来进行解答)，从而得出答案．
详解：解：(1)当0≤x≤3时，y1＝100x，当3≤x≤6时，y1＝600－100x;当0≤x≤6时，y2＝50x．
y1、y2与x的函数图像如下：
(2)、当y1＝80时，100x＝80或600－100x＝80．解得x＝0.8或5.2;
当y2＝80时，50x＝80．解得x＝1.6．
所以1.6－0.8＝0.8，5.2－1.6＝3.6．
两车经过镇江的时间间隔为0.8 h或3.6 h．
(3)、出发2 h或h或h后，两车相距100 km．
点睛：本题主要考查的是一次函数的实际应用，属于中等难度的题型．得出函数解析式是解决这个问题的关键．
24. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明;如不正确，请举反例说明．
【答案】小莉说法正确，证明见解析.
【解析】
分析：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF，然后证明△ADE和△ADF 全等，从而得出∠E=∠F，结合∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC得出∠ABC=∠ACB，从而得出答案．
详解：小莉说法正确．
证明：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF．
则∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC．∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．
∵ AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°．∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF(SAS)．∴∠E＝∠F．∴∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．
∴∠ABC＝∠ACB．∴ AB＝AC．即△ABC是等腰三角形．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定与三角形全等，属于基础题型．解决这个问题的关键就是作出辅助线得出三角形全等．
25. 某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m.)现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若改造后观花道的面积为13m2，求x的值;
(3)若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
【答案】(1)y= x2-14x+48(0<x<6);(2)1;(3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为41.25m2．
【解析】
【分析】
(1)、利用三角形的面积计算公式得出y与x的函数关系式;
(2)、将y=35代入函数解析式求出x的值;
(3)、利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值．
【详解】解：(1)y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48．
(2)由题意，得x2－14x＋48＝6×8－13，解得：x1＝1，x2＝13(舍去)．所以x＝1．
(3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1．
因为a＝1＞0，所以函数图像开口向上，当x＜7时，y随x增大而减小．
所以当x＝0.5时，y最大．最大值为41.25．
答：改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25 m2．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的实际应用问题，属于中等难度题型．根据题意列出函数解析式是解决这个问题的关键．
26. 如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC 的长.
(1)求∠EOF 的度数.
(2)连接OA、OC(如图2).求证：△AOE∽△CFO.
(3)若OE=5
2OF，求
AE
CF
的值.
【答案】(1)45°;(2)证明见解析;(3)5 4
【解析】
【分析】
(1).在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明△OBE和△OCG全等，从而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出△FOE和△GOF 全等，得出∠EOF的度数;(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，从而得出三角形相似;(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案．
【详解】解：(1).如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴ OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．
∴△OBE≌△OCG(SAS).
∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.
∴∠EOG＝90°，
∵△BEF的周长等于BC的长，
∴ EF＝GF.
∴△EOF≌△GOF(SSS).
∴∠EOF＝∠GOF＝45°．
(2).连接OA．∵点O为正方形ABCD的中心，
∴∠OAE＝∠FCO＝45°．
∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，
∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°．
∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．
∴△AOE∽△CFO．
(3).∵△AOE∽△CFO，
∴AO
CF
＝
OE
FO
＝
AE
CO
．
即AE＝OE
FO
×CO，CF＝AO÷
OE
FO
．
∵OE OF，∴ OE
FO
．
∴AE
CO，CF．
∴AE
CF
＝
5
4
．
点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大．熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键．
27. 在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．
【问题提出】
求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．
【从特殊入手】
我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．
请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．
【问题解决】
已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
求证：．
证明：。