7金融经济学(第七章 套利定价理论,APT)

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这一关系也可用下面的图形表示
24
20 16
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12 8 4
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2468
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为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
是当宏观因素均值为零时证券收益率。
i
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单因素模型有如下假设
E(it ) 0
Cov(it,Ft)0
Cov(i,j)0
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方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为：
➢ 期望收益率：根据单因素模型，证券i的期望收益
率可以表示为：
为 coe ~iv ,G ()0，所以可以导出
2 2 2 2
i
i G ei
如果经统计测算出G增长率的方差是 G2 0.000，3
非系统风险的方差是
2 ei
0.0015，2则可算出股票收益率
的方差为 i2 0.00272
定义6.2
我们称上式中的
i2
2为因子风险；
G
2 为非因
ei
子风险
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因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回 报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果 市场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率 为-4%。
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➢注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报 率中没有被市场模型所完全解释的部分），当市 场指数上升10%或下降5%时，证券A的回报率将不 会准确地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定 市场指数回报率之间的差额将归结于随机误差项 的影响。
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我们把充分分散的投资组合定义为：满足按比例分
散持有足够大数量的证券组合，而每种证券i的数 量又小到可以使非系统方差被忽略掉。 既然非系统风险因素可以被分散掉，那么只有 系统风险在市场均衡中控制证券的风险溢价。 在充分分散的投资组合中，各个厂商之间的非 系统风险相互抵偿，因此，在一个证券组合中， 与其期望收益相关的就只有系统风险了。 （第
单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题：一是提供一种简化 地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观 因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风 险的因素因素模型。
以回归分析得单因素模型。
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一、因子模型的特点
第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有 证券价格的经济因子；
αi：宏观因素期望变化为零时的收益，是投资者 对证券的期初收益；
βiG：系统性风险收益，即随整个市场运动变化 不确定性（非预期的）的收益，且变化的敏感 度是βi；
εi是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统 性风险收益，即只与单个证券相关的非预期事 件形成的非预期收益。
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二、单因素模型的一般形式
一般地，单因素模型认为有一个因素F 对证券收益产生广泛影响，这种影响力 通过对每种证券i在任意时期t的建立如下 方程来反映：
R it iiF tit
R i t是证券i在t时期的收益率， 是F t 宏观因素在t
期的值， 是证i 券i对宏观因素的敏感度，
是一 个i t 均值为零的随机变量，
因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理 上的模糊，CAPM是无法检验的。
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罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础
的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型 （Arbitrage Pricing Theory，APT）。该模型由
一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律 （The Law of One Price），即两种风险－收益性 质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出 的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素， 而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证 了市场均衡的实现。
E (R i)iiE (F )
➢方差：在单因素模型中，同样可以证明任意证券i的方
差等于：
2
2
i
i
F 22(i)
在这里，δ2F是因素的方差，δ2(εi)是随机误差项
的方差
➢协方差：在单因素模型中，计算证券间的协方差变得
十分简单。
ij i
2 jF
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先考虑一个宏观经济指标（Ｇ）对公司i的股票收益率的 影响，即研究Ｇ与公司i的股票收益率 的r i 关系。由一元线 性回归可得如下方程：
第二，在构造的因子模型中，我们假设两个证券的 回报率相关（一起运动仅仅是因为它们对因子运动 的共同反应导致的）；
第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该 证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无 关。
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下表反映了公司i的股票收益率 ri 和国内生产总值
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（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’s Critique）
Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所有风
险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率。 2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票指
回归方程和直线都表示较高预期的GDP与较高 的证券收益率相关联。
任一给定证券的实际回报率由于含有非因素
回报率的缘故而位于拟合直线的上方或下方。
因此对例中的单因素模型多反映的关系的完
整描述为：
r i 4 % 2 G D P i
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R i iiG i
从方程中我们可以看出，任何一个证券的收益 由三部分构成：
第7章
套利定价理论
（Arbitrage Pricing Theory，APT）
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CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现
实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味
着信息是无成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格；
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任何证券i的风险补偿和有风险市场组合的风 险补偿之间协方差就应该是
2
2
iM i MM i M
从而
于是我们得到
i iM/M 2
E ( ~ r i) r f i i( E ( ~ r M ) r f)
多出的一个 i 是证券的收益超出由资本资产定价模
一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普
尔工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了 检验，得出的结果却与现实相悖。
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2.单因素模型无法全面解释对现实中资产 收益率决定的影响因素
Rosenberg and Marashe（1977）的研究发现，如果将 红利、交易量和企业规模加入计量模型，则β系数会更
其回归直线就是证券i的特征线）
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若用有风险资产的市场组合的收益率的风险 补偿来作为宏观经济指数。于是
~ r i r fii(~ r M r f) e ~ i
因为上述关系对于证券组合也一样成立，i如
果就代表有风险市场组合本身，那么回归结果一
定会有，
M 0 , M 1 ,e M 0
（ＧＤＰ）的增长率（简记为因子Ｇ）和通货膨胀率
（简记为因子I）６年的统计情况。
年度
１ 2 3 4 5 6
Ｇ
5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
Ｉ
1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
ri
14.3% 19.2 23.4 15.6
9.2 13.0
假设证券的回报率生成过程仅包含一个因素，例如认为 证券的回报率与预期国内生产总值的增长率有关。
ri iiGei
其中 ~ri, G~, e~i 是随机变量，i4%,i2是由回归确定
的系数。且 E(e~i)0，coe ~iv ,G ()0，coe ~ i,v e ~ j)(0,ij，并
有
E (ri)iiE (G )
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现在我们来看公司i的股票的收益率的方差。因
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CAPM模型与单因素模型的关系
CAPM可视为一个特殊的单因素模型，在那里的 市场组合收益率rM实质上就是一个单因素。以市场
组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数，于 是有：
ri－rf ＝αi ＋βi（rm－rf ）＋εi ， 或者Ri =αi+βiRm+εi （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，
ai,
i
ei和１个
2 G
就可以了。（第一个性质）
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充分分散风险的投资组合
假如一个投资组合是充分分散风险的，那它的 厂商特定风险或非系统风险可以被分散掉，保
留下来的只有因素（系统）风险，即收益与风
险为：
rp E (r p ) pF
p p F
n
这里： p w i i i1
riIiIirIiI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 ri代表相同时期市场指数I的收益率 εiI是随机误差项
第二十三页，编辑于星期五：九点 五十一分。
➢ 例子：考虑股票A，有αIi =2%，ß I i=1.2，这 意味着股票A的市场模型为：
rA2% 1.2riIA I
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（二）CAPM的实证检验问题
1.市场组合的识别和计算问题 理论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合，
每一种资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总 价值的比重。但实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛， 因此，在CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组合 几乎不可能。
再来看协方差。如果另外有一家公司j的股票，根据
其业绩表现统计测算出它的j 4 。股票i和股票j的收益
率的协方差可以容易地算出
ij ijG 2
所以有 ij240.000 0.0 3024
结论：大大地减少了计算的工作量。因为如果组合
里n项资产，计算组合的方差－协方差矩阵需要进行
n(n1)/2次方差－协方差的测算，但现在只需要n个
同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作 了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。
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6.1 单因子模型
定义6.1 因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回 报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
因素模型中的因素常以指数形式出现（如GNP指数、股价指 数、物价指数等）,所以又称为指数模型。
有说服力。
Basu（1977）发现，低市盈率股票的期望收益率高于资本资 产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明，股票收 益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高的超常收 益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存 在季节效应。
两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能力。
数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单 个风险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒 等变形引起的，没有实际意义；
第五页，编辑于星期五：九点 五十一分。
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产 收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指 数的选择。
该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的， CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML， 也不能够证明单一风险资产均衡收益同β风险、 市场组合之间存在某种有意义的关系。
二个性质）
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6.2 市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用证券市场指数来 作为影响证券价格的单因素，此时的单 因素模型被称为市场模型。
市场模型实际上是单因素模型的一个特 例。
第二十二页，编辑于星期五：九点 五十一分。
假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一 时期证券市场指数（如标准普尔500指数）的收 益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股票 价格会上升，市场行情下降，则该股票很可能下 跌。因此，可以用市场模型的方程表示这一关系：
型给出的市场均衡收益率的部分。显然，如果处于均衡状
态，对所有的资产来说，都应该有 0