专题12 数列-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编含解析
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专题12 数列
1.【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8
C .4
D .2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142
11115
34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩, 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩,2
314a a q ∴==,故选C .
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 2.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2+b ,n *∈N ,则 A . 当101
,102
b a =
> B . 当101
,104
b a =
> C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =->
【答案】A
【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n *=∈N . ②当<0b 时,令2x x b =+,即20x x b -+=.
则该方程140b ∆=->,即必存在0x ,使得2
00x x b -+=, 则一定存在10 ==a a x ,使得2
1n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立,
解方程20a a b -+=,得114b
a ±-=
, 当
114102b +-≤时,即90b -时,总存在1142
b
a +-=,使得121010a a a ==⋯=≤, 故C 、D 两项均不正确.
③当0b >时,2
21a a b b =+≥,
则22
32a a b b b =+≥+,
()2
22
43
a a b
b
b b =+++.
(ⅰ)当12b =时,2
245111171
1,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥,
则2
61111
12224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭,
2719222
a >+
=, 2
8918310224
a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ,
则2
981
102
a a =+>, 21091
102
a a =+
> , 故A 项正确.
(ⅱ)当14b =时,令1==0a a ,则2
231111
,4442
a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭,
所以2
2
4311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,以此类推,
所以2
2109
1111
4242
a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,
故B 项不正确. 故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a 的可能取值,利用“排除法”求解.
3.【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则 A .1324,a a a a << B .1324,a a a a >< C .1324,a a a a <>
D .1324,a a a a >>
【答案】B
【解析】令()ln 1,f x x x =--则()1
1f x x
'=-
,令()0,f x '=得1x =,所以当1x >时,()0f x '>,当01x <<时,()0f x '<,因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.
若公比0q >,则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++,不合题意;
若公比1q ≤-,则()()
212341110,a a a a a q q +++=++≤但()(
)2
12311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣
⎦
,
即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++,不合题意;
因此()2
10,0,1q q -<<∈,22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<,故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如
()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥
4.【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当1
4,1,1,4
a b c d ====
时,,,,a b c d 不成等比数列,所以不是充分条件;当,,,a b c d 成等比数列时,则ad bc =,所以是必要条件.综上所述,“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件,故选B.
【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可,论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.
5.【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C .1252
D .1272
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为122所以(
)*
12122,n n a a n n -=≥∈N
,
又1
a f =,
则(7
127712
8122a a q f ==
=,故选D.
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主
要有如下两种:(1)定义法,若1n n a q a +=(*0,q n ≠∈N )或1
n
n a q a -=(*0,2,q n n ≠≥∈N ),数列{}n a 是等
比数列;(2)等比中项公式法,若数列{}n a 中,0n a ≠且212n n n a a a --=⋅(*
3,n n ≥∈N ),则数列{}n a 是等比
数列.
6.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的