刚体平面平行运动习题ppt课件

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2 7
a
17
例3. 何时开始纯滚动 有一缓慢改变倾角的固 定斜面,如图所示。一质量为m ,半径为R 的匀质圆 柱体从高h 处由静止沿光滑斜面滑下,紧接着沿粗糙
水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数,求:
1)圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2)圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。
C
h
r N
C vrc F
A
vr A
vrc 0
vr F
任一点E的速度为
vrE vrC r rrCE
可见,vrC 代表刚体整体的速度,刚体上的每一点
都具有这个平动速度。
7
以接触点A为基点:
r vA 0
任一点 P 的速度为
vrP vrrArrArP rrAP
因此有
r vC
r
r rAC
vrD r rrAD
l 3cos2 1
23
5. 刚体的平衡 • 刚体的平衡状态:通常指静止状态。
• 刚体平衡的充要条件:刚体所受外力的
矢量和等于零,对任一个参考点的外力矩
的矢量和等于零,即
r
Fi
e
0
r
M
e
i
r ri
r Fi
e
0
称为刚体的平衡方程 24
• 若刚体受力分布在OXY平面内,则其平 衡方程可简化为
Fixe 0 ,
Fx max Fy may
Mc Jc
注:也可以用动能定理或机械能守恒定律求解
11
例1. 沿固定斜面的纯滚动 一半径为R、质量为m
的匀质圆柱体,沿倾角为的固定斜面无滑动的滚下。
若不计滚动摩擦。试求圆柱体质心的加速度。
解:方法一 利用运动叠加 原理, 质心的平动加绕质心的转动。
r
Ny
动力学方程为
mg sin f mac
ar c
o
Cr Af
N mg cos 0
mgr
fR Jc
x
ac R (纯滚动条件) mgR2 sin
解上述四式可得
ac Jc mR2
12
f mg sin 1 mR2 JC , N mg cos
【讨论】
mgR2 sin
1)根据 ac
薄圆筒:
Jc mR2 Jc mR2
D vrD vrE
E
C vrc F
r vA
A
0
vr F
可见,对于纯滚动,若取接触点A 为基点,在某
瞬时刚体的平面平行运动,可视为A点的单纯转动。
8
瞬时转动中心 : 在任何瞬时,作平面平行运动的刚体(或它的延
伸体)上总有一点O,其速度v0=0 。此刻刚体只能绕
此点旋转。 这个点称为瞬时转动中心 ,简称 瞬心 。
沿棒长方向有 NA cos W sin 0
以B 为基点有
由两式解得
NA
sin
C
W
cos
C
l 2
0
C sin2
又因
C
l 2
cos
2
0
C 2r cos
sin2 cos2 1
解得 4 c2 2r2 l c
O r
NB O
r
NA
C r
B
W
A
28
CC
r
x
f
r
18
mg
解:1)沿
光滑斜面,圆柱
C
体仅作滑动;沿
r N
水平面达到纯滚 h
动前作滑滚运动。
动力学方程为:
mg
h
R
1 2
mv02
CC r f mgr
x
mg mac
mgR 1 mR2
由以上三式解得:
2
v0 2g h R ac g 2g R
19
达到纯滚动前有: vc v0 act 2g h R gt
a以r A质心Ca为rC基点有ar
r an
其中
ar v rrCA arC
所以
ar A arn 2rrCA
v
r rCA
r
C ac 2rrCA
r
A
ac
10
4. 平面运动动力学
刚体的平面 平行运动
随质心平动
绕质心的转动
三个自由度:两个平动自由度和一个转动自由度
取质心为基点 动力学方程
质心运动定理 角动量定理
A• c•
c•
质心C的位移为: xc R
质心C的速度为: vc R
质心C的加速度为: ac R
运动学判据
6
2)纯滚运动的速度分布:
D vrD
以质心C为基点:
vrE
最高点D的速度为
E
vrD vrC r rrCD 2vrC
接触点A的速度为
r vA
r vC
r
r rCA
r vC
vrCr0rrcA
xB2 yB2 1 l 2 4l 2
22
y
2)杆倾倒的过
B
程中,只有重
力做功,机械
C
能守恒。
0
则有
A
r
NC
B
2l
mgr
A
x
mgl sin0 sin
对于质心C有
yc l sin
由以上各式解得
1 2
mvc2y
vcy l
1 1 m2l 2 2
2 12
cos d l cos
dt
6g sin0 sin
Fiye 0
M
e
iz
0
(z轴垂直于Oxy平面)
• 其他两种形式:
Fixe 0 ,
Mize 0 ,
Mize 0
M
e
iz
0
,
OO´与x轴不垂直
Mize 0 ,
Mize 0
(O,O´,O´´三点不共线) 25
注意
y
若刚体在三个力的作用
下处于平衡状态,此三力的 作用线 共面且必交于一点。
N1 O´
如图所示,靠在光滑墙 面上的梯子受力情况。
mg O
N2 x
26
例5. 三力作用下的平衡 半径为r 的光滑半球形碗,
固定在水平面上,一匀质棒斜靠在碗缘,一端在碗
内,另一端在碗外,在碗内的长度为C,试证明棒
的全长为
4 c2 2r2
l c
O r NB
r
NA
A
B C
r W
27
解:如图所示,三力作用线交于O 点,平衡方程为
r
rr
arP 刚aarrr体AA 上 任drrd一tr 点rrrPrr的加2速rrr度ddrrt
y
y P
rrP rr
rrA A
x
aA a an
O
x
5
3、运动学特例—圆柱体的纯滚动
纯滚动:摩擦力足够大,接触点间无相对滑动。
滑滚运动:摩擦力不够大,刚体既滚动又滑动。
1)纯滚动的运动学判据:
•A
基点A的平动量( rrA ,vrA ,ar A )因基点而异;绕
基点A的转动的角量( , , )都相同。
y
y
P
rrP rr
rA
x
rA
O
4x
2、 刚体上任一点P的速度和加速度
根据: rrP rrA rr
r (r
为定长旋转矢量)
vrP刚体v上rA任一vr点 P的vrA速度r rr
vr
drr dt
作纯滚动的刚体,与平面的接触点就是它的瞬心。
确定瞬心的几何方法:
r
r vA
1)若已知 vc 和 ,
瞬心O在与 vc 垂直且
C vc
vc
A
r
B vB
相距 vc 的地方。
O
2)若已知刚体上A、B两点同一时刻速度的 O
方向,则它们垂线的交点即为瞬心。
9
注意
刚体作纯滚动时,接触点的速度为零,但加速 度不为零。
球沿平板作纯滚动,求球质心的加速度和所受静摩擦
力的大小。
y
解:以球为研究对象、
平板为参考系(非惯性 系),则动力学方程为
ma C ac
f ma mac
mg f
fR 2 mR2
o
N a x
5
ac R
16
由以上三式解得:
ac
5 7
a
,
f 2 ma 7
因此,球心的加速度为
ac
a
ac
a
5 7
a
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有: vc R
解得作纯滚动经历的时间:
t v0 2g h R
3 g
3 g
2)达到纯滚动时经历的距离:
x
v0t
1 2
at 2
v02
3 g
1 2
g
v02
3g 2
5v02
5h R
18 g 9
20
例4. 杆的自由倾倒 匀质细杆AB长为2l ,质量为 m ,
最初使杆斜立于光滑水平面上,其倾角为0。今 释放
1 2
mvc2
1 2
Jc 2
mgxc
sin
E0
常量
对上式求导数得
mvc ac Jc mg vc sin 0 r
其中 vc R ac R
解得
ac
mgR2 sin
Jc mR2
Ny
r ac
o
Cr Af
r
mg
x
14
方法三 视为绕瞬心 A 的纯转动。
注意:一般情况对瞬心的角动量定理不成立,当满足条件
质心运动+绕质心转动
三个自由度
两个平动自由度 一个转动自由度
2
y
1、运动学方程
如图所示,取质心所在
的平面为研究对象,任取一
点A为基点(一般取质心)。
则P点的运动方程为
O
y P
r rP
rr
rA
x
rA
x
xA xt , yA yt , t .
3
P点运动
随基点A平动
绕基点的转动
基点A可以任意取
杆让其自由倾倒,求:
1)杆的质心及杆的端点B的运动轨迹;
2)杆的角速度与倾角的关系。
y
B
r
C
NC
B
0
mgr
A
A
x
21
y
解:杆在竖 直平面内作平面
B
r
平行运动。
C
1)杆沿水平方
向不受力。
0
A
NC
B
2l
mgr
A
x
质心C沿竖直方向作直线运动。沿该直线向上建立y
坐标,则端点B的位置坐标为
xB l cos yB 2l sin 质消去参量 可得端点B的轨迹方程为
刚体平面平行运动习题课
刚体的平面平行运动: 刚体运动时,刚体内每个
点的轨迹都是一条平面曲线,各曲线所在平面都某
一固定平面平行。
1
运动的特点: 1)刚体的质心始终位于同一个平面上。 2)刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相
同运动状态。 3)刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特
征。
只须研究质心所在平面的运动:
“瞬心到质心的距离保持不变”时,对瞬心可用角动量定
理动.力学方程为
MA JA
其中 解得
M A mgR sin
J A Jc mR2
r N
ac R
ac
mgR2 sin
Jc mR2
r C
ac
A
r
mg
y
r f
o
x 15
例2. 沿加速平板表面的纯滚动 在水平板上放一
பைடு நூலகம்
半径为 R,质量为m的匀质球。设平板具有加速度a ,
转动惯量越小加速度 越大
ac
1 2
g
sin
实心圆柱体:
Jc
1 2
mR2
ac
2 3
g
sin
实心球体:
Jc
2 5
mR2
ac
5 7
g
sin
2)根据纯滚动的 动力学判据: f ≤ N
临界角
≥ tan 1 mR2 JC , tanc 1 mR2 J13C
方法二 用机械能守恒定律。 由于圆柱体作纯滚动,接触点 无相对滑动,静摩擦力不做功,只有重力做功,机械能守恒。
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