北师版数学高二-必修5课件基本不等式与最大(小)值
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x
+
9yx≥2
y x
·9yx=6,当且仅当yx
=
9yx,即
y=3x
时,取等号.
又1
x
+
9y=1,∴x=4,y=12.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
解法二:由1x + 9y=1,得 x=yy-9.∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=yy-9+y=y+y-y9-+9 9=y+y9-9+1=y-9+y9-9+10.∵y>9,∴y-9>0.
会得出错误答案,就会陷入困境.例如,当 x>1 时,函数 f(x)=x+x1-1≥2 xx-1,所以
函数 f(x)的最小值是 2
xx-1.由于 2
x 是一个与
x-1
x
有关的代数式,很明显这
是一个错误的答案.在出现这种情况时,可以通过对所求代数式的合理配凑,
转化为“和式”或“积式”是定值的形式后再进行求解.例如当 x>1
时,f(x)=x+x1-1=(x-1)+x1-1+1≥2 (x-1)·x1-1+1=3,即该函数的最小值为 3.
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3.2 基本不等式与最大(小)值
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
(3)“三相等”,即等号能够成立,即存在正数 x,y 使基本不等式两边相等, 也就是存在正数 x,y 使得 xy = x+2y.如果忽视这一点,就会得出错误答案.
例如,y= x2 + 2 + x21+2,满足“正”和“定值”的条件,但要取等号必须 x2 + 2 = x21+2,即 x2+2=1,这是不可能的,所以其最小值不是 2.
根据解题经验,遇到这种情况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此 时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.
点拨多次使用基本不等式时,由于连续使用基本不等式或者限定
∴y-9+y9-9≥2 (y-9)·y9-9=6,当且仅当 y-9=y9-9,即 y=12 时,取等号,此时
x=4,∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
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探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵0<x<13,∴1-3x>0,
∴y=x(1-3x)=13×3x·(1-3x)
≤1
3
3x+(1-3x) 2
-x
+
1 -x
≤12-2=10,
当且仅当-x=-1x,即 x=-1 时,等号成立.
∴当 x=-1 时,函数取最大值 10.
(4)∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x2+x7+x1+10 = (x+1)2+x+5(1x+1)+4=(x+1)+x+41+5≥2 (x + 1)·x+41+5=9, 当且仅当 x+1=x+41, 即 x=1 时,等号成立.
点评方法一称为“1 的代换”或“常值代换”,是最简单的一种方法;
方法二通过减少变量个数,转化为函数的最值问题,要注意确定变量 y 的取 值范围时需借助变量 x 的范围;方法三需巧妙拼凑,有一定的技巧性.
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探究一
探究二
探究三
探究四
(3)∵x<0,∴-x>0,
∴-x+-1x≥2 (-x)·-1x=2,
即-
-x
+
1 -x
≤-2,
∴f(x)=12+x+1x=12-
(1)配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件;
(2)函数法:把已知条件代入所求的式子,再把所求的问题转化为求函数
的最值问题;
(3)构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式.
【典型例题
2】已知
x>0,y>0
且1
x
+
9y=1,求
x+y
的最小值.
思路分析:这是典型的条件求最值问题,可考虑用三种方法求解.
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课程目标
1.能利用基本不等式求函数或代数式的最大 (小)值. 2.能利用基本不等式求解实际问题中的最值 问题.
随堂练习
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探究一
探究二
探究三
探究四易错辨析
探究四
易错点:因忽视基本不等式的应用条件而出错
【典型例题
4】函数
y=
x2+5 的最小值是
x2+4
.
错解:y=
x2+5 x2+4
=
x2+4+1 x2+4
=
x2 + 4 + x21+4≥2
x2 + 4· x21+4=2,所以
y 的最小值是 2.
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2.应用基本不等式求最大(小)值的“一正、二定、三相等” 利用基本不等式求最大(小)值必须满足三个条件才可进行,即“一正、 二定、三相等”. (1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,才能应用基本不等式,否则
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探究一
探究二
探究三
探究四
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思路分析:(1)要求 y=x·(1-3x)的最大值,需和为定值,为此,将函数变形为
y=13×3x·(1-3x).
将会出现错误结果,例如:对于函数 f(x)=x+1x,不能由 f(x)=x+1x≥2 x·1x=2 得 出函数最小值为 2 的结论,这是因为函数 f(x)=x+1x中,自变量 x 的取值范围 是 x≠0,没有 x>0 的限制.
(2)“二定”,即 xy 与 x+y 有一个是定值,即当 xy 是定值时,可以求 x+y 的 最值;当 x+y 是定值时,可以求 xy 的最值.如果 xy 和 x+y 都不是定值,那么就
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探究一
探究二
探究三
探究四
解法三:由1x + 9y=1,得 y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9, ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)
≥10+2 (x-1)(y-9)=16,
当且仅当 x-1=y-9 时,取等号.
又1
x
+
9y=1,∴x=4,y=12
.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
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探究一利用基本不等式求函数的最值
利用基本不等式求函数的最值或值域时,通常将原函数解析式进行拆 分、添项、去项等,构造可以利用基本不等式的条件,结合函数的定义域求 最值.
【典型例题 1】(1)已知 0<x<13,求函数 y=x·(1-3x)的最大值; (2)已知 x>2,求函数 y=x+x4-2的最小值; (3)若 x<0,求函数 y=12+x+1x的最大值; (4)求函数 y=x2+x7+x1+10(x>-1)的最小值.
错因分析:错误原因是应用基本不等式时,没有验证等号是否能够取到,
此处 x2 + 4 = x21+4时,x2=-3,显然不成立.
正确解答:∵y= x2 + 4 + x21+4,
令 t= x2 + 4≥2,则 y=t+1t(t≥2),易证 y=t+1t在[2,+∞)上递增,
学习脉络
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1.基本不等式与最大(小)值 已知 x,y 都是正数,则 (1)若 x+y=s(和为定值),则当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值s42; (2)若 xy=p(积为定值),则当且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 p.
2
=
112,
当且仅当 3x=1-3x,即 x=16时,等号成立. ∴当 x=16时,函数取得最大值112.
(2)∵x>2,∴x-2>0,
∴y=x+x4-2=x-2+x4-2+2
≥2 (x-2)·x4-2+2=6, 当且仅当 x-2=x4-2,即 x=4 时,等号成立. ∴当 x=4 时,函数取最小值 6.
了某些量的取值范围,而导致等号成立的条件不具备,不能直接运用基本不 等式,这时应进一步转化,使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解的 形式.
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探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
解法一:∵1x
+
9y=1,∴x+y=(x+y)·1x
+
9 y
=10+yx + 9yx.∵x>0,y>0,
∴y
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探究二
探究三
探究四
探究三基本不等式在解决实际问题中的应用
在应用基本不等式解决实际问题时: (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题,并确定 函数的定义域; (3)在定义域内,求出函数的最值(最大值或最小值); (4)结合实际问题,写出正确答案. 【典型例题 3】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨, 每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元, 购买面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均 每天所支付的总费用最少? 思路分析:先以购买面粉的间隔天数为自变量,平均每天支付的总费用 为函数值建立函数模型,再利用基本不等式求最值.
(2)要求 y=x+x4-2的最小值,需积为定值,为此,将函数变形为 y=x-2+x4-2+2.
(3)因为 x<0,所以应将 x+1x化为-
-x
+
1 -x
后再应用基本不等式.
(4)可把 x+1 看成一个整体,然后把函数转化为用 x+1 来表示,这样转化
一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用基本不等式来处理.
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探究一
探究二
探究三
探究四
解:设该厂每隔 x 天购买一次面粉,则其购买量为 6x 吨,由题意可知,面 粉的保管费及其他费用为
3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y 元, 则 y=1x[9x(x+1)+900]+6×1 800 =9x+90x0+10 809
≥2 9x·90x0+10 809=10 989, 当且仅当 9x=90x0, 即 x=10 时,y 取最小值. 答:该厂每 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
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∴当 x=1 时,函数取得最小值 9.
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探究二利用基本不等式求代数式的最值
利用基本不等式求代数式的最值时,通常有以下三种方法:
思考如何证明上述结论?
提示:∵x>0,y>0,∴x+2y ≥ xy. (1)当 x+y=s(定值)时, xy ≤ 2s,∴xy≤14s2.∵上式当 x=y 时,等号成立,∴ 当 x=y 时,积 xy 有最大值s42. (2)当 xy=p(定值)时,x+2y ≥ p,∴x+y≥2 p.∵上式当 x=y 时,等号成立, ∴当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p.
+
9yx≥2
y x
·9yx=6,当且仅当yx
=
9yx,即
y=3x
时,取等号.
又1
x
+
9y=1,∴x=4,y=12.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
解法二:由1x + 9y=1,得 x=yy-9.∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=yy-9+y=y+y-y9-+9 9=y+y9-9+1=y-9+y9-9+10.∵y>9,∴y-9>0.
会得出错误答案,就会陷入困境.例如,当 x>1 时,函数 f(x)=x+x1-1≥2 xx-1,所以
函数 f(x)的最小值是 2
xx-1.由于 2
x 是一个与
x-1
x
有关的代数式,很明显这
是一个错误的答案.在出现这种情况时,可以通过对所求代数式的合理配凑,
转化为“和式”或“积式”是定值的形式后再进行求解.例如当 x>1
时,f(x)=x+x1-1=(x-1)+x1-1+1≥2 (x-1)·x1-1+1=3,即该函数的最小值为 3.
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(3)“三相等”,即等号能够成立,即存在正数 x,y 使基本不等式两边相等, 也就是存在正数 x,y 使得 xy = x+2y.如果忽视这一点,就会得出错误答案.
例如,y= x2 + 2 + x21+2,满足“正”和“定值”的条件,但要取等号必须 x2 + 2 = x21+2,即 x2+2=1,这是不可能的,所以其最小值不是 2.
根据解题经验,遇到这种情况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此 时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.
点拨多次使用基本不等式时,由于连续使用基本不等式或者限定
∴y-9+y9-9≥2 (y-9)·y9-9=6,当且仅当 y-9=y9-9,即 y=12 时,取等号,此时
x=4,∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
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探究四
解:(1)∵0<x<13,∴1-3x>0,
∴y=x(1-3x)=13×3x·(1-3x)
≤1
3
3x+(1-3x) 2
-x
+
1 -x
≤12-2=10,
当且仅当-x=-1x,即 x=-1 时,等号成立.
∴当 x=-1 时,函数取最大值 10.
(4)∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x2+x7+x1+10 = (x+1)2+x+5(1x+1)+4=(x+1)+x+41+5≥2 (x + 1)·x+41+5=9, 当且仅当 x+1=x+41, 即 x=1 时,等号成立.
点评方法一称为“1 的代换”或“常值代换”,是最简单的一种方法;
方法二通过减少变量个数,转化为函数的最值问题,要注意确定变量 y 的取 值范围时需借助变量 x 的范围;方法三需巧妙拼凑,有一定的技巧性.
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(3)∵x<0,∴-x>0,
∴-x+-1x≥2 (-x)·-1x=2,
即-
-x
+
1 -x
≤-2,
∴f(x)=12+x+1x=12-
(1)配凑法:根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件;
(2)函数法:把已知条件代入所求的式子,再把所求的问题转化为求函数
的最值问题;
(3)构造法:通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式.
【典型例题
2】已知
x>0,y>0
且1
x
+
9y=1,求
x+y
的最小值.
思路分析:这是典型的条件求最值问题,可考虑用三种方法求解.
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1.能利用基本不等式求函数或代数式的最大 (小)值. 2.能利用基本不等式求解实际问题中的最值 问题.
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易错点:因忽视基本不等式的应用条件而出错
【典型例题
4】函数
y=
x2+5 的最小值是
x2+4
.
错解:y=
x2+5 x2+4
=
x2+4+1 x2+4
=
x2 + 4 + x21+4≥2
x2 + 4· x21+4=2,所以
y 的最小值是 2.
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2.应用基本不等式求最大(小)值的“一正、二定、三相等” 利用基本不等式求最大(小)值必须满足三个条件才可进行,即“一正、 二定、三相等”. (1)“一正”,即所求最值的各项必须都是正值,才能应用基本不等式,否则
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思路分析:(1)要求 y=x·(1-3x)的最大值,需和为定值,为此,将函数变形为
y=13×3x·(1-3x).
将会出现错误结果,例如:对于函数 f(x)=x+1x,不能由 f(x)=x+1x≥2 x·1x=2 得 出函数最小值为 2 的结论,这是因为函数 f(x)=x+1x中,自变量 x 的取值范围 是 x≠0,没有 x>0 的限制.
(2)“二定”,即 xy 与 x+y 有一个是定值,即当 xy 是定值时,可以求 x+y 的 最值;当 x+y 是定值时,可以求 xy 的最值.如果 xy 和 x+y 都不是定值,那么就
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解法三:由1x + 9y=1,得 y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9, ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)
≥10+2 (x-1)(y-9)=16,
当且仅当 x-1=y-9 时,取等号.
又1
x
+
9y=1,∴x=4,y=12
.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
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探究一利用基本不等式求函数的最值
利用基本不等式求函数的最值或值域时,通常将原函数解析式进行拆 分、添项、去项等,构造可以利用基本不等式的条件,结合函数的定义域求 最值.
【典型例题 1】(1)已知 0<x<13,求函数 y=x·(1-3x)的最大值; (2)已知 x>2,求函数 y=x+x4-2的最小值; (3)若 x<0,求函数 y=12+x+1x的最大值; (4)求函数 y=x2+x7+x1+10(x>-1)的最小值.
错因分析:错误原因是应用基本不等式时,没有验证等号是否能够取到,
此处 x2 + 4 = x21+4时,x2=-3,显然不成立.
正确解答:∵y= x2 + 4 + x21+4,
令 t= x2 + 4≥2,则 y=t+1t(t≥2),易证 y=t+1t在[2,+∞)上递增,
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1.基本不等式与最大(小)值 已知 x,y 都是正数,则 (1)若 x+y=s(和为定值),则当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值s42; (2)若 xy=p(积为定值),则当且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 p.
2
=
112,
当且仅当 3x=1-3x,即 x=16时,等号成立. ∴当 x=16时,函数取得最大值112.
(2)∵x>2,∴x-2>0,
∴y=x+x4-2=x-2+x4-2+2
≥2 (x-2)·x4-2+2=6, 当且仅当 x-2=x4-2,即 x=4 时,等号成立. ∴当 x=4 时,函数取最小值 6.
了某些量的取值范围,而导致等号成立的条件不具备,不能直接运用基本不 等式,这时应进一步转化,使其转化成能用不等式求解或用其他方法求解的 形式.
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解法一:∵1x
+
9y=1,∴x+y=(x+y)·1x
+
9 y
=10+yx + 9yx.∵x>0,y>0,
∴y
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探究三基本不等式在解决实际问题中的应用
在应用基本不等式解决实际问题时: (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题,并确定 函数的定义域; (3)在定义域内,求出函数的最值(最大值或最小值); (4)结合实际问题,写出正确答案. 【典型例题 3】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨, 每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元, 购买面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均 每天所支付的总费用最少? 思路分析:先以购买面粉的间隔天数为自变量,平均每天支付的总费用 为函数值建立函数模型,再利用基本不等式求最值.
(2)要求 y=x+x4-2的最小值,需积为定值,为此,将函数变形为 y=x-2+x4-2+2.
(3)因为 x<0,所以应将 x+1x化为-
-x
+
1 -x
后再应用基本不等式.
(4)可把 x+1 看成一个整体,然后把函数转化为用 x+1 来表示,这样转化
一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用基本不等式来处理.
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探究四
解:设该厂每隔 x 天购买一次面粉,则其购买量为 6x 吨,由题意可知,面 粉的保管费及其他费用为
3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y 元, 则 y=1x[9x(x+1)+900]+6×1 800 =9x+90x0+10 809
≥2 9x·90x0+10 809=10 989, 当且仅当 9x=90x0, 即 x=10 时,y 取最小值. 答:该厂每 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
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3.2 基本不等式与最大(小)值 首 页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
∴当 x=1 时,函数取得最小值 9.
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3.2 基本不等式与最大(小)值 首 页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 ICHU ZANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
探究二利用基本不等式求代数式的最值
利用基本不等式求代数式的最值时,通常有以下三种方法:
思考如何证明上述结论?
提示:∵x>0,y>0,∴x+2y ≥ xy. (1)当 x+y=s(定值)时, xy ≤ 2s,∴xy≤14s2.∵上式当 x=y 时,等号成立,∴ 当 x=y 时,积 xy 有最大值s42. (2)当 xy=p(定值)时,x+2y ≥ p,∴x+y≥2 p.∵上式当 x=y 时,等号成立, ∴当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p.