2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大小值作业课件北师大版必修5
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝2x＋1－92xx∈0，12的最小值， 并指出取最小值时x的值．
解：(1)证明：
ax2＋by2
(x＋y)＝a2＋b2＋a2
y x
＋b2
x y
≥a2＋b2＋
2 a2xy·b2xy＝(a＋b)2， 故ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当a2yx＝b2xy，即ax＝by时上式取等号．
解析：∵x>2，∴x－2>0，则f(x)＝x＋
1 x－2
＝x－2＋
1 x－2
＋
2≥2
x－2·x－1 2
＋2＝4，当且仅当x－2＝
1 x－2
，即x＝3时取等号，
∴当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.
10．当x>1时，不等式x＋
1 x－1
≥a恒成立，则实数a的最大值
为3.
解析：∵x＋x－1 1≥a，∴(x－1)＋x－1 1≥a－1. 又x>1，∴x－1>0，∴(x－1)＋x－1 1≥2. ∴a－1≤2，∴a≤3.∴a的最大值为3.
3．已知a，b∈R，且a2＋b2＝4，那么ab( A ) A．有最大值2，有最小值－2 B．有最大值2，但无最小值 C．有最小值2，但无最大值 D．有最大值2，有最小值0
解析：这里没有限制a，b的正负，则由a2＋b2＝4，a2＋ b2≥2|ab|，得|ab|≤2，所以－2≤ab≤2，可知ab的最大值为2，最小值 为－2.
8．已知x>0，y>0，且x＋y＋xy＝2，则xy的最大值为( C )
A．1＋ 3
B． 3－1
C．4－2 3
D．4＋2 3
解析：∵2＝x＋y＋xy≥2 xy＋xy， ∴xy＋2 xy－2≤0，∴( xy＋1)2≤3， ∴xy≤4－2 3，当且仅当x＝y时等号成立．故选C.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．若函数f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝ 3 .
第三章 不等式
§3 基本不等式 第28课时 基本不等式与最大(小)值
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1．掌握基本不等式的条件与各种变形． 2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值．
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若x>0，则x＋4x的最小值为( D )
11．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则
y2 xz
的最小值
是3 .
解析：2y＝x＋3z≥2 x·3z，当且仅当x＝3z时，等号成立． ∴y≥ 3xz，y2≥3xz，∴xyz2≥3.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
12．(12分)求下列函数的最值： (1)已知x>0，求y＝2－x－4x的最大值； (2)已知x>2，求y＝x＋x－1 2的最小值； (3)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
(2)由(1)得f(x)＝22x2＋1－322x≥2x＋2＋1－322x＝25，
当且仅当22x＝1－32x，即x＝15时上式取最小值，
即f(x)min＝25.
——能力提升——
14．(5分)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值
是( B )
A．3
B．4
9 C.2
D．121
解析：∵2xy＝x·(2y)≤(x＋22y)2，当且仅当x＝2y时，等号成立．
C.
7．已知x≥52，则f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有( D )
A．最大值54 C．最大值1
B．最小值54 D．最小值1
解析：f(x)＝x－2x2－24＋1＝x－2 2＋2x－1 4＝2x－4 4＋2x－1 4
≥2
2x－4 4·2x－1 4＝1.
当且仅当2x－4 4＝2x－1 4，即x＝3时取“＝”．故选D.
4．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是
( D)
A．2
B．12
1 C.4
D．4
解析：∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，
∴lgx·lgy≤lgx＋2 lgy2＝422＝4， 当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时等号成立．
5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( C )
∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，等号成立，解得x＋
7 A.2
B．4
9 C.2
D．5
解析：∵a＋b＝2，∴1＝a＋2 b，4＝2(a＋b)． ∴y＝1a＋4b＝a＋ 2ab＋2ab＋b＝12＋2ba＋2ba＋2＝52＋2ba＋2ba.
∵a>0，b>0，∴2ba＋2ba≥2 2ba×2ba＝2. 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时取等号．∴ymin＝52＋2＝92.
(3)∵0<x<
1 2
，∴1－2x>0，则y＝
1 2
x(1－2x)＝
1 4
×(2x)×(1－2x)≤
1 4
2x＋12－2x2＝14×14＝116.当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时，ymax＝116.
13．(13分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)， 求证：ax2＋by2≥ax＋＋by2，并指出等号成立的条件；
6．下列函数中，最小值为4的函数是( C )
A．y＝x＋4x C．y＝ex＋4e－x
B．y＝sinx＋si4nx(0<x<π) D．y＝log3x＋logx81
解析：对于A，x＋4x ≥4或者x＋4x≤－4；对于B，等号成立的条件
不满足；对于D，也是log3x＋logx81≥4或者log3x＋logx81≤－4，故选
A．2
B．3
C．2 2
D．4
解析：因为x>0，所以x＋
4 x
≥2
时取等号．
4 x·x
＝4，当且仅当x＝ 4x
，即x＝2
2．若a>1，则a＋a－1 1的最小值是( D )
A．2
B．a
2a C.a－1
D．3
解析：a>1，∴a－1>0，∴a＋
1 a－1
＝a－1＋
1 a－1
＋
1≥2 a－1·a－1 1＋1＝3，当且仅当a－1＝a－1 1，即a＝2时取等号．
解：(1)∵x>0，∴x＋4x≥2 x·4x＝4， ∴y＝2－x－4x＝2－x＋4x≤2－4＝－2. 当且仅当x＝4x(x>0)，即x＝2时，ymax＝－2.
(2)∵x>2，而y＝x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2·x－1 2＋2＝
4.当且仅当x－2＝x－1 2(x>2)，即x＝3时，ymin＝4.
解：(1)证明：
ax2＋by2
(x＋y)＝a2＋b2＋a2
y x
＋b2
x y
≥a2＋b2＋
2 a2xy·b2xy＝(a＋b)2， 故ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当a2yx＝b2xy，即ax＝by时上式取等号．
解析：∵x>2，∴x－2>0，则f(x)＝x＋
1 x－2
＝x－2＋
1 x－2
＋
2≥2
x－2·x－1 2
＋2＝4，当且仅当x－2＝
1 x－2
，即x＝3时取等号，
∴当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.
10．当x>1时，不等式x＋
1 x－1
≥a恒成立，则实数a的最大值
为3.
解析：∵x＋x－1 1≥a，∴(x－1)＋x－1 1≥a－1. 又x>1，∴x－1>0，∴(x－1)＋x－1 1≥2. ∴a－1≤2，∴a≤3.∴a的最大值为3.
3．已知a，b∈R，且a2＋b2＝4，那么ab( A ) A．有最大值2，有最小值－2 B．有最大值2，但无最小值 C．有最小值2，但无最大值 D．有最大值2，有最小值0
解析：这里没有限制a，b的正负，则由a2＋b2＝4，a2＋ b2≥2|ab|，得|ab|≤2，所以－2≤ab≤2，可知ab的最大值为2，最小值 为－2.
8．已知x>0，y>0，且x＋y＋xy＝2，则xy的最大值为( C )
A．1＋ 3
B． 3－1
C．4－2 3
D．4＋2 3
解析：∵2＝x＋y＋xy≥2 xy＋xy， ∴xy＋2 xy－2≤0，∴( xy＋1)2≤3， ∴xy≤4－2 3，当且仅当x＝y时等号成立．故选C.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．若函数f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝ 3 .
第三章 不等式
§3 基本不等式 第28课时 基本不等式与最大(小)值
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1．掌握基本不等式的条件与各种变形． 2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值．
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若x>0，则x＋4x的最小值为( D )
11．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则
y2 xz
的最小值
是3 .
解析：2y＝x＋3z≥2 x·3z，当且仅当x＝3z时，等号成立． ∴y≥ 3xz，y2≥3xz，∴xyz2≥3.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
12．(12分)求下列函数的最值： (1)已知x>0，求y＝2－x－4x的最大值； (2)已知x>2，求y＝x＋x－1 2的最小值； (3)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
(2)由(1)得f(x)＝22x2＋1－322x≥2x＋2＋1－322x＝25，
当且仅当22x＝1－32x，即x＝15时上式取最小值，
即f(x)min＝25.
——能力提升——
14．(5分)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值
是( B )
A．3
B．4
9 C.2
D．121
解析：∵2xy＝x·(2y)≤(x＋22y)2，当且仅当x＝2y时，等号成立．
C.
7．已知x≥52，则f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有( D )
A．最大值54 C．最大值1
B．最小值54 D．最小值1
解析：f(x)＝x－2x2－24＋1＝x－2 2＋2x－1 4＝2x－4 4＋2x－1 4
≥2
2x－4 4·2x－1 4＝1.
当且仅当2x－4 4＝2x－1 4，即x＝3时取“＝”．故选D.
4．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是
( D)
A．2
B．12
1 C.4
D．4
解析：∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，
∴lgx·lgy≤lgx＋2 lgy2＝422＝4， 当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时等号成立．
5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( C )
∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，等号成立，解得x＋
7 A.2
B．4
9 C.2
D．5
解析：∵a＋b＝2，∴1＝a＋2 b，4＝2(a＋b)． ∴y＝1a＋4b＝a＋ 2ab＋2ab＋b＝12＋2ba＋2ba＋2＝52＋2ba＋2ba.
∵a>0，b>0，∴2ba＋2ba≥2 2ba×2ba＝2. 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时取等号．∴ymin＝52＋2＝92.
(3)∵0<x<
1 2
，∴1－2x>0，则y＝
1 2
x(1－2x)＝
1 4
×(2x)×(1－2x)≤
1 4
2x＋12－2x2＝14×14＝116.当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时，ymax＝116.
13．(13分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)， 求证：ax2＋by2≥ax＋＋by2，并指出等号成立的条件；
6．下列函数中，最小值为4的函数是( C )
A．y＝x＋4x C．y＝ex＋4e－x
B．y＝sinx＋si4nx(0<x<π) D．y＝log3x＋logx81
解析：对于A，x＋4x ≥4或者x＋4x≤－4；对于B，等号成立的条件
不满足；对于D，也是log3x＋logx81≥4或者log3x＋logx81≤－4，故选
A．2
B．3
C．2 2
D．4
解析：因为x>0，所以x＋
4 x
≥2
时取等号．
4 x·x
＝4，当且仅当x＝ 4x
，即x＝2
2．若a>1，则a＋a－1 1的最小值是( D )
A．2
B．a
2a C.a－1
D．3
解析：a>1，∴a－1>0，∴a＋
1 a－1
＝a－1＋
1 a－1
＋
1≥2 a－1·a－1 1＋1＝3，当且仅当a－1＝a－1 1，即a＝2时取等号．
解：(1)∵x>0，∴x＋4x≥2 x·4x＝4， ∴y＝2－x－4x＝2－x＋4x≤2－4＝－2. 当且仅当x＝4x(x>0)，即x＝2时，ymax＝－2.
(2)∵x>2，而y＝x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2·x－1 2＋2＝
4.当且仅当x－2＝x－1 2(x>2)，即x＝3时，ymin＝4.