上海市奉贤区2015届高三一模 文理科数学试题(含答案)

2015年奉贤区调研测试高三数学试卷2015.1.8
一、填空题（每空正确3分，满分36分）
1．已知全集U=R，集合P={x|x−2≥1}，则P=.
2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出
一个容量为n的样本，其中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n=.
3．设α:1≤x<4，β:x≤m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是.
y
2
4．若双曲线x2−=1的一个焦点是(3,0)，则实数k=.
k
5．已知圆C:x2+y2=r2与直线3x−4y+10=0相切，则圆C的半径r=.
6．若1+i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，则p+q=.
7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是.
⎡ππ⎤
8．函数⎥
y=sin x,x∈−,的反函数为.
⎢
⎣⎦
22
9．在∆ABC中，已知AB=4,AC=1，且∆ABC的面积S=3，则AB⋅AC的值为.
⎛sinα0
⎞
10．已知⎟
⎜
⎜
0−2cosβ
⎝
⎠
⎡π⎤
为单位矩阵，且α、β,π，则tan(α+β) =.
∈⎢⎥
⎣2⎦
11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB=1，BC=2，分别以A、D为
D C 圆心，1为半径作圆弧EB、EC（E在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边BC所围
成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为.
E
12．定义函数f(x)
⎧3
4−8x−1≤x≤
2
⎪
⎪2
=⎨
1x
⎪>
f()x2
⎪
⎩22
，则函数g(x)=xf(x)−6在区间[1,8]内的A B
所有零点的和为.
二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）
13．正方体中两条面对角线的位置关系是（）A．平行B．异面
C．相交D．平行、相交、异面都有可能
14．下列命题中正确的是（）A．任意两复数均不能比较大小B．复数z是实数的充要条件是z=z
C．复数z是纯虚数的充要条件是Imz=0D．i+1的共轭复数是i−1
1
15．与函数 y = x 有相同图像的一个函数是 （ ）
A ． y = x
B ． y = a
a > 且a ≠ log a x
( 0 1)
C ． y x 2
= D ． y = log a x (a > 0且a ≠1)
a
x
16．下列函数是在 (0,1) 上为减函数的是
（ ）
A ． y = cos x
B ． y = 2x
C ． y = sin x
D ． y = tan x
17．在空间中，设 m 、n 是不同的直线，α 、β 是不同的平面，且 m ⊂≠α ，n ⊂≠ β ，则下列命题正确的是
（
）
A ．若 m // n ，则α // β
B ．若 m 、 n 异面，则α 、 β 平行
C ．若 m 、 n 相交，则α 、 β 相交
D ．若 m ⊥ n ，则α ⊥ β
18．设 P(a,b) 是函数 f (x) = x 3 图像上任意一点，则下列各点中一．定．在该图像上的是 （
）
A ． P ( ,− )
B ． P (− ,− )
C ． P (− , )
D ． P ( ,− )
1
a b 2
a b 3 a b 4
a b
x
y 2
2
19．设椭圆
+
= 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为
a
b
2
2
F 、 F ，上顶点为 B ，若 1 2
BF = F F = ，则
2 1 2 2
该椭圆的方程为 （ ）
x
y 2
2
A ．
+
= 1
4 3
x
2
B ．
+ y = 1
2
3
x
2
C ． + y = 1
2
2
x
2
D ．
+ y = 1
2
4
20．在二项式(
)
2x +1 的展开式中，系数最大项的系数是
（ ）
6
A ． 20
B ．160
C ． 240
D ．192
21．已知数列{a }的首项
n
a = ，
*
1 1 a
S n N
+1 = 3 ( ∈
) ，则下列结论正确的是 （ ）
n
n
A ．数列是{a }等比数列
B ．数列 n
a ，a ，⋅⋅⋅，a 是等比数
列
2
3 n
C ．数列是{a }等差数列
D ．数列
n
a ，a ，⋅⋅⋅，a 是等差数
列
2
3
n
22．在 ∆ABC 中，sin 2 A ≤ sin 2 B + sin 2C − sinBsinC ，则角 A 的取值范围是 （ ）
⎛ π ⎤ ⎡π
⎞
A ． 0，
B ．
,π ⎜ ⎥ ⎟
⎢ ⎝
⎦
⎣ ⎠
6
6
⎛ π ⎤ ⎡π
⎞
C ． 0，
D ．
,π ⎜ ⎥ ⎟
⎢ ⎝ ⎦
⎣
⎠
33
23．对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的上确界，若a、b∈R+且12
a+b=1，则−−的上确界为（）
2a b
A．
9
−B．
2
9
2
C．
1
4
D．−4
24．定义两个实数间的一种新运算“∗”：x*y=lg(10x+10y)，x、y∈R。

对于任意实数a、b、c，给出如下结论：①a∗b=b∗a；②(a∗b)∗c=a∗(b∗c)；③(a∗b)+c=(a+c)∗(b+c)．其中正确
2
结论的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）(写出必要的解题步骤)
25．判断函数
1−
1+
f(x)=lg
x
x
的奇偶性．
P
26．如图，四棱锥P−ABCD的侧棱都相等，底面ABCD是正方形，O为
对角线AC、BD的交点，PO=OA，求直线PA与面ABCD所成的角的
大小．
D C
O
A B 27．已知函数2
3⎡π
π⎤
f(x)=3cos x+sin x⋅cos x+，求f(x)的最小正周期，并求f(x)在区间−,⎢
⎥
2⎣64⎦
上的最大值和最小值．
3
28．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。

今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年
比上一年多投入a辆．设a、b分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设
n n S、T n n
分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求T，并求n年里投入的所有新公交车的总数S、
n n F；n
（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．
29．曲线C是平面内到直线l x=−和直线l y=的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹，设曲线
1
:12:1
C的轨迹方程f(x,y)=0．
（1）求曲线C的方程f(x,y)=0；
（2）定义：若存在圆M使得曲线f(x,y)=0上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线
f(x,y)=0的收敛圆．判断曲线f(x,y)=0是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．
4
a
30．对于正项数列{ }
a ≥ a ⋅q − 对 n ∈ N *也恒成立是真命题．
a ，若
n+1
≥ q 对一切 n ∈ N * 恒成立，则
n 1
n
n
1
a
n
a
1
（1）若 a 1 =1， a > 0，且
1 n+
≥ 3c(c ≠ ,c ≠1) ，求证：数列{a }前 n 项和
n
n
a
3
n
S n
≥ 1− (3c) n
1−3c ； （2）若
2
2
x 1 = 4 ， x
x
n n N * = 2
+ 3( ≥ 2, ∈
) ，求证：3− ( ) 1 ≤ x ≤ 3+ ( ) 1 ．
n − n −
n
n −1
n
3
3
31．设 f (x) 是定义在 D 上的函数，若对任何实数 α ∈(0,1) 以及 D 中的任意两数 x 、 1
x ，恒有
2
( )
f α x 1 + (1−α)x 2 ≤α f (x 1) + (1−α) f (x 2 ) ，则称 f (x) 为定义在 D 上的C 函数．
（1）证明函数 f x = x 是定义域上的C 函数；
1
( )
2
（2）判断函数
1
f (x) = (x < 0) 是否为定义域上的C 函数，请说明理由；
2
x
（3）若 f (x) 是定义域为 R 的函数，且最小正周期为T ，试证明 f (x) 不是 R 上的C 函数．
5
参考答案
一、填空题（每题 3 分）
1． (− ∞,1]U [3,+∞) 2．80 3． m ≥ 4
4．8
5． 2 6． 0 7． 1
3
8． y = arcsin x, x ∈[−1,1]
9． ±2
10．1
11．
2π
3
12． 21
2
二、单项选择题（每题 3 分）
13．D 14．B 15．D 16．A 17．C 18．B 19．A
20．C
21．B
22．C
23．A
24．D
三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78 分）
1− x
25．
1+ x Q
> ，
1 分 所以函数 f (x) 的定义域是 (−1, 1) ，
2 分 定义域关于原点对称，
3 分
1− (−x)
1+ (−x) f (−x) = lg
4 分
−1
1+ x
⎛1− x ⎞
1− x = lg = lg ⎜ ⎟ = −lg = − f (x) 1− x ⎝1+ x ⎠ 1+ x
，
5 分
而
1 1 f ( ) = lg ，
2
3 1 1 1 f (− ) = lg3，∴ f ( ) ≠ f (− ) ， 6 分 2
2 2
所以 f (x) 是奇函数不是偶函数。

7 分
26．Q ABCD 为正方形，∴O 为 AC 、 BD 的中点，
又Q PA = PC, PB = PD,∴PO ⊥ AC, PO ⊥ BD ， 2 分
因为 AC 与 BD 交于一点O ，
∴PO ⊥ 平面 ABCD ，
4 分 ∴∠PAO 为直线 PA 与平面 ABCD 所成的角，
5 分 在 Rt ∆PAO 中，PA = PO ∴∠PAO = 45° ，
6 分 所以直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45°．
7 分
6
f x = 3 cos 2 x + sin x ⋅cos x +
27．解：
( )
3
2
3(cos 2x +1) 1 3 = + sin 2x +
2 分
2 2 2 π
= sin(2x + ) + 3 ，
4 分
3 2π ∴T = = π
5 分
2
π π π 5
因为 − ≤ x ≤ ，所以 0 ≤ 2x + ≤ π ，
6 分
6 4 3 6 π π 当 2x + = 时，即 3 2
π x = 时， f (x) 的最大值为1+ 3 ， 7 分 12
π 当 2x + = 0时，即 3
π x = − 时， f (x) 的最小值为 3 ．
8 分
6
28．（1）设 a 、b 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
n
n
3 依题意知，数列{a }是首项为128、公比为1+ 50% = 的等比数列；
1 分
n
2
数列{b }是首项为 400 、公差为 a 的等差数列，
2 分
n
所以数列{a }的前 n 和 S
n
n
3
128[1− (2) ]
3 n
=
= 256[( ) −1]
n
， 4 分
3 2
1− 2
n(n −1) 数列{b }的前 n 项和T = 400n +
a ， 6 分
n
n
2
所以经过 n 年，该市更换的公交车总数
3
n(n −1) F = S +T = 256[( ) −1]+ 400n +
a ； 7 分
n
n
n
n
2
2
3
n(n −1)
（2）因为 256[( )n −1]、 400n +
a(a > 0) 是关于 n 的单调递增函数， 9 分 2 2
因此 F 是关于 n 的单调递增函数， 10 分 n
所以满足 a 的最小值应该是 F 7 ≥10000 ，
11 分
即256[(3)71]40077×610000
−+×+a≥，解得a≥，12分
3082
2221
又a∈N*，所以a的最小值为147．13分
7
29．（1）设动点为 (x, y)，则由条件可知轨迹方程是 x +1 ⋅ y −1 = k 2 ； 3 分
（2）设 P 为曲线C 上任意一点，可以证明
则点 P 关于直线 x = −1、点 (−1, 1) 及直线 y =1对称的点仍在曲线C 上 6 分
根据曲线C 的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆， 则该收敛圆的方程是 (x +1)2 + (y −1)2 = r 2 (r > 0)
7 分
⎧(x +1)(y −1) = k 2
(1) ⎪
讨论： x > −1, y >1时
⎨
⎪(x +1) + (y −1) = r (2) 2
2
2
⎩
最多一个有一个交点 r 满足条件
8 分
k
4
（1）代入（2）得 r = (x +1) +
≥ 2k 2
2
2
(x +1)
2
10 分
曲线 f (x, y) = 0 存在收敛圆
11 分 收敛圆的方程是 (x +1)2 + (y −1)2 = r 2 (0 < r ≤ 2k)
13 分
a
30．（1）
( )
Q
， 2 分
n+1
≥ 3c,∴a ≥ a ⋅ 3c
n −1
n
1
a
n
( )n −1
∴ 2 ≥ 3 , 3 ≥ 9 ,L ≥ 3 ，
4 分
a c a c a c
2
n
n −1
S = a 1 + a 2 +L+ a ≥1+ 3c + 9c + 3c
， 6 分
2
( )
n
n
∴S ≥
n
( )
n
1− 3c
1−3c
；
7 分
(2)
(
)( )
2x + 3 − 3 2x + 3 + 3
2 x − 3
n −1
n −1
n −1
x − 3 = 2x + 3 − 3 =
=
， 10 分
n
1 x + +
n −
2x+3 +3 2 3 3
n−1 n−1
2
∴x−3 ≤x−3 ，11分n n−1
3
∴
n−1
⎛2 ⎞
x n x，12分−3 ≤−3 ⋅⎜⎟
1 3
⎝⎠
∴
n−1
⎛2 ⎞
x−3 ≤⎜⎟13分
n
⎝⎠
3
∴3−⎛⎜
⎝2
3
n−1
⎞
⎟
⎠
≤
n−1
⎛2 ⎞
x≤3 +⎜⎟。

14
分
n
⎝⎠
3
8
31．（1）证明如下：
对任意实数x x及α∈(0,1)，
1,2x x及α
∈(0,1)，
有f
(αx+(−α)x)−αf(x)−(−α)f(x)(())()
222 112112αααα
=x1+1−x2−x1−1−x22分=−(−)−(−)+(−)()()2
α1αxα1αx2α1αx x=−α1−αx−x≤0，4分22
121212
即(())()()()
fαx+−αx≤αf x+−αf x，5分112112
∴()
f x=x是C函数；6分
2
1
1
（2）()()
f x=x<0不是C函数，7分
2
x
说明如下(举反例)：
取x=−，
13
1
x2=−1，α=，
2
则(())()()()
fαx1+1−αx2−αf x1−1−αf x2
11111
()()()
=f−2−f−3−f−1=−++>0，
22262
即(())()()()
fαx1+1−αx2>αf x1+1−αf x2，
1
∴()()
f x=x<0不是C函数；10分
2
x
（3）假设f(x)是R上的C函数，11分若存在m<n且m,n∈[0,T)，使得f(m)≠f(n)。

（i）若f(m)<f(n)，
记x=m，
1
n−m
x=m+T，α1112
=−，则0<α<1，且()
n=αx+−αx，2
T
那么()(())()()()
f n=fαx1+1−αx2≤αf x1+1−αf x2
()(1)()()
=αf m+−αf m+T=f m，
这与f(m)<f(n)矛盾；13分（ii）若f(m)>f(n)，
记x=n，
1
n−m
x=n−T，α=1−，同理也可得到矛盾；14分2
T
∴f(x)在[0,T)上是常数函数，15分又因为f(x)是周期为T的函数，
9
所以f(x)在R上是常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾.16分所以f(x)不是R上的C函数。

10。