第05章 假设检验

（三）假设
1. 定义：假设就是在用样本统计量推断总体时，事 先提出的抽样样本和总体的关系。
2.种类：通常有两个假设：零假设和研究假设。
研究假设：又叫对立假设， alternative hypothesis，用H1表示， 是我们想要证明的假设，或者说是研究想要得到的 结论。通常是认为当前抽样样本所属总体与假设总 体有区别的假设。
t0.05 / 2 167 1.97 无显著差异
Z
0.05 2
1.96
Z检验和t检验
两种检验的前提之一
– 总体正态分布
当n≥50时，两种检验的临界值差不多相等， 即 Z/2 t/2 (n) (Z0.05/2 1.960, Z0.01/2 2.576
n 30 50 100 150 200 500 1000 5000 t0.05/2 (n) 2.042 2.009 1.984 1.976 1.972 1.965 1.962 1.960 t0.01/2 (n) 2.750 2.678 2.626 2.609 2.601 2.586 2.581 2.577
做题
– 根据题意
做研究
– 事先确定 – 一般倾向于用双侧检验
单侧检验与双侧检验的区别
问题的提法
– 双侧检验：和已知常数0是否有显著性差异？ – 单侧检验：是否显著高（低）于已知常数0？
建立的假设
– 双侧检验：H0： = 0 – 单侧检验：H0： ≤ 0 H0： ≥ 0 H1： 0 H1： > 0 H1： < 0
2

Z检验

X 0 Z n
4 若
Z Z , 拒绝H 0， Z Z , 接受H 0
2 2
练习
全市统一考试的数学平均分 0=62分，标准差 0=10.2 ，一个 学校的90名学生该次考试的平均成绩为68分，问该校成绩与 全市平均差异是否显著。（ 取 ＝0.05）
三、假设检验中的双侧检验和单侧检验
1. 单侧检验 ：当能够预料样本统计量的值大于或小 于假设的值时，把拒绝概率置于理论抽样分布的一 侧，叫单侧检验。有左侧检验和右侧检验两种情况。 2. 双侧检验： 当不能判断样本统计量和总体的关系 时，就把拒绝概率置于分布的两侧，叫双侧概率。
单侧检验和双侧检验
用单侧检验还是双侧检验？
–当P时，小概率事件发生了，就可以在水平上拒绝零假设,接受研究 假设；
–当P时，接受零假设拒绝研究假设。
3.两种错误：在统计推断时，无论是接受零假设还是拒绝零 假设，都会犯错误。
–拒绝零假设时所犯的错误为错误，错误量为。 –接受零假设时所犯的错误为错误。
错误和错误错误（I型错Fra bibliotek）type I error
0
练习
某省进行数学竞赛，结果分数的分布不是正 态，总平均分43.5。其中某县参加竞赛的学生 168 人， X ＝ 45.1 ， S=18.7 ，该县平均分与全 省平均分有否显著差异? (=0.05)
解：n 168 t X 0 45.1 43.5 1.11 S n 18.7 168
零假设null hypothesis ：又叫原假设，用H0表示，与研究 假设对立的假设，通常是认为当前抽样样本所属的 总体与假设总体无区别的假设。
两种假设的关系
零假设和检验假设是 相互对立 的关系，如果 零假设成立，则研究假设为假；如果零假设 为假，则研究假设成立。 统计推断时，一般是通过对零假设的检验来 判断研究假设是否成立。
× ¢ £ º µ ±× Ü Ì å ² » Ê Ç Õ ý Ì ¬ · Ö ² ¼ Ê ±£ ¬ È ç ¹ û Ñ ù ± ¾ È Ý Á ¿ n¡ Ý 50£ ¬ ¿ É Ò Ô ¿ ¼ Â Ç Ó Ã
– H0为真时却被拒绝，弃真错误
错误（II型错误）type II error
– H0为假时却被接受，取伪错误
假设检验中各种可能结果的概率
接受H0
H0为真 H0为伪 (取伪错误)
拒绝H0，接受H1
1- (正确决策)
1－(正确决策) (弃真错误)
错误与错误的关系与控制
1.与是两个前提下的概率，即是拒绝零假设时犯错误的概率（这时前 提是不能拒绝零假设），是未能拒绝零假设时犯错误的概率（这时前提 为拒绝了零假设）。所以， +不等于0。 2.对于固定的n, 越小，则Z越大，从而取伪的概率概率就越大；反之， 越大，则Z越小，则也就越小。即对于同一个样本来说， 和不能同 时减少。 3.要想减少或，一个方法就是增大n。 4.与 有关的一个重要概念是统计功效。统计功效等于 的余数，即1- 。 统计功效即检验的势或效率，其值越大越好。 、、n以及效果量是影 响统计功效的主要因素。
X 51.5，S 2.98, (1)建立假设 H 0 : 0 (2)t H1 : 0 X 0 51.5 52.0 0.41 S n 2.98 6
2
(3)临界值t (5) 2.571 (4) t 0.41 0.41 2.571 t (5)
练习
已知 X ~ N (75,82 ) 从中抽取 3个容量为 16的 样本，得到各样本平均数为：
X1 68, X 2 75, X3 81
请计算各样本平均数出现的概率是多少? 思考 ：小概率事件与“三个标准差原则”取 舍数据的关系。
2014-9-28
第五章:假设检验
6
（二）统计推断思想
Z 1.645, 而Z 1.84 1.645 Z 拒绝原假设H 0，接受备择假设 H1，即可以认为 受过良好早期教育的儿 童智力高于一般水平。
总体正态但总体方差未知
已知样本x1 , x2 , xn来自正态总体X ~ N 0 , 2 , 1 建立假设 H 0 : 0 H1 : 0 2 计算统计量 X 0 t S n 问样本均值与总体均值 之间是否有显著差异？ t检验
假设检验的步骤
建立虚无假设和备择假设
确定适当的检验统计量 指定检验中的显著性水平，计算检验统计量 的值，建立拒绝虚无假设的规则 作出统计决策
– 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值 相比较，确定是否拒绝虚无假设 – （计算p值，利用p值确定是否拒绝虚无假设）
第二节 总体均值的显著性检验
一、总体服从正态分布，总体方差已知-Z检验
二、总体服从正态分布，总体方差未知-t检验 三、总体非正态
总体正态且总体方差己知
已知样本x1 , x2 , xn来自正态总体X ~ N 0 , 2 , 其均值与总体均值 0是否有显著差异？ 1 建立假设 H 0 : 0 H1 : 0 2 计算统计量 3 查临界值Z
一、假设检验的原理
（一）小概率事件
（二）统计推断思想 （三）假设
（一）小概率事件
1. 定义：在一个抽样分布中，如果样本统计量的值 出现的概率落入一个事先已经规定了的区域（即概 率密度比较小的区域），就认为小概率事件发生了， 该随机事件就叫做小概率事件。
2. 原理 ：小概率事件在一次实验中不可能发生，如 果发生了，就可以认为该事件并不是实验想要研究 的事件。所以小概率区域也可叫做拒绝区域。
(1)建立检验假设 H 0 : 62 H1 : 62 (2) 0 62, 0 10.2, X 68, n 90, Z X 0 68 62 5.58 0 n 10.2 / 90
(3)由已给出的显著性水平 0.05, 查表得到Z 2 1.96 (4)显然 Z 5.58 1.96, 即拒绝原假设H 0 可以认为该校的学生考 试成绩与全市的平均成 绩有 显著差异。
2
接受假设H 0，两种教学方法无显著 差异
总体非正态
总体非正态， n 30(或n 50)： 1、总体方差 0已知时样本均值X的分布 X 0 X 0 , SEX ,Z n 0 n 2、总体方差 0未知时样本均值X的分布 X 0 S X 0 , SEX ,t n S n
练习
有人调查早期教育对儿童智力发展的影响，从受过良好教育 的 儿 童 中 随 机 抽 取 70 人 进 行 韦 氏 儿 童 智 力 测 验 (0=100, 0=15) 结果 X=103.3 ，能否认为受过良好早期教育的儿童智 力高于一般水平。
解：本题应该用单侧检 验 H 0 : 0 H1 : 0 Z X 0 103.3 100 1.84, 0 n 15 70
1. 设想：在用某抽样样本推断其所属总体是否为我 们假设的总体时，如果小概率事件发生了，我们就 可以认为该抽样样本不是来自于我们想推断的总体， 或者说该抽样样本所属总体与我们想推断的总体之 间存在着比较显著的差异。
2. 假设检验：用样本统计量对提出的关于总体情况 的假设做出某种推断，叫做假设检验（ Hypothesis testing）。
假设检验的主要内容：差异检验
样本统计量与总 体参数的差异
差异显著
该样本基本不属 于已知总体
两个样本统计量 之间的差异
差异显著
两个总体的参数 之间存在差异
二、两类错误的概念
1.显著性水平：统计推断时，确定小概率事件的水平即为显 著性水平，用希腊字母表示，通常=.05或 =.01，也有取 =.10的。 2.假设检验的两种结果：
第05章 假设检验
Outline
第一节 假设检验的原理与步骤
第二节 总体均值的显著性检验 第三节 两总体均值差异的显著性检验 第四节 两正态总体方差的显著性检验 第五节 其他假设检验 第六节 独立样本t检验的统计功效和统计量
第一节 假设检验的原理与步骤
一、假设检验的原理
二、两类错误的概念 三、假设检验中的单侧和双侧检验
拒绝域
rejection region （相关概念：临界值）
– 双侧检验：Z/2 – 单侧检验：Z
练习
某高校参加同专业的统一考试，随机抽查 64 份试卷，由此求得平均成绩为 69 分，标准差 为9.5分。已知该科全体考生成绩服从正态分 布，且总平均分为 65 分，问该高校考生的平 均成绩是否显著高于全体考生的平均水平？


3 查临界值t n 1
2
4 若
t t , 拒绝H 0， t t , 接受H 0
2 2
练习
学生的学习成绩与教师的教学方法有关。某校一教师采用了 一种他认为新式有效的教学方法。经过一学年的教学后，从 该教师所教班级中随机抽取了 6 名学生的考试成绩，分别为 48.5, 49.0, 53.5, 49.5, 56.0, 52.5, 而在该学年考试中， 全年级的总平均分数为52.0，试分析采用这种教学方法与未 采用新教学方法的学生成绩有无显著的差异（已知考试成绩 服从正态分布，取=0.05） 解：
错误和错误的关系
＋ ≠ 1
对于固定的样本容量n，与不能同时减小 减少与的一个方法是增大样本容量n
为什么要计算统计功效？
1. 对于一定的效果量和水平，确定获得统计显著性所需要的 样本容量； 2.评价已完成的研究或者实验，尤其是统计部显著的结论， 通过统计功效的计算可得知是不是由于样本容量不足而未达 到统计显著性。 在影响统计功效的诸多因素中，效果量是实验处理的效应大 小，或者是自变量和因变量关系的大小。
小结
Ù É ¼ è H0 « ² Ë à ¼ ì Ñ é ¤ ² µ à ¼ ì Ñ é = 0 ¡ Ü ¡ Ý 0 0 H1 ¡ Ù 0 > 0 < 0 ×Ì Ü å ý Õ Ì ¬ £ ¬· ½ ² î 2 Ò Ñ ª £ Ö ¬ Zì ¼ Ñ é Ù ½ Á ç Ö µ Z/2 Z £ ­ Z Ü ¾ ¾ ø H0 |Z| > Z/2 Z > Z Z< £ ­ Z ×Ì Ü å Õ ý Ì ¬ £ ¬ · ½ ² î 2 Î ´ Ö ª £ ¬ t¼ ì Ñ é Ù ½ Á ç Ö µ t/2(n-1) t(n-1) £ ­ t(n-1) Ü ¾ ¾ ø H0 |t| > t/2(n-1) t > t(n-1) t< £ ­ t(n-1)