材料力学 第六章 弯曲变形

dw EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度：
EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
积分常数：C和D
2、边界条件
用于确定积分常数C和D的梁支承处已知的变形条件，称为边界条件。
x 0, w 0
w x 0 0
dw x 0 dx
x 0
0
w x 0 0 w xl 0
3、连续条件
x a w1 w2 x a w1 w2
以A为原点，取直角坐标系 （1） 求支座反力
RA P, M A Pl
（2）列弯矩方程
M ( x) M A RA x Pl Px
（3）列挠曲线近似微分方程
Px 2 Pl 2 P 3 2 x 6 x 6 EI (3l x)
（教材173页表6-3序2）
（7）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
3
max
Pl 2 2 EI
3
Pl Pl wB ,即 w max 3EI 3EI
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。

64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 2000 202 (l a ) (40 20) 40.6 104 cm 3 EI 3 21 106 188
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
（1）计算变形
计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN 由型钢表查得
q 8.04N/cm(80.4kgf/m) I 32240 4 cm
材料的弹性模量
E 200GPa 20 106 N/cm2
因P和q而引起的最大挠度均 位于梁的中点C，由表6-1查得：
f1 ( x)
dw dx
转角等于挠 度的一阶导 数
dw tg dx
tg
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线微分方程为
w f (x)
第五章推导弯曲正应力公式时已知
M 纯弯曲 EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
1
非纯弯曲
1 M( x ) ( x ) EI
（2）列挠曲线近似微分方程 并进行积分
ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EI w x x C 4 6 ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
（3）确定积分常数
ql q 2 EIw x x 2 2
w x 0 0 w xl 0
Pl 3 55 1000 9203 yCP 1.38cm 6 48EI 48 20 10 32240 5ql 4 5 8.04 9204 yCq 0.116cm 6 384EI 384 20 10 32240
由叠加法，得梁的最大挠度为：
ymax ycp ycq 1.38 0.116 1.5cm
（2）校核刚度
吊车梁的许用挠度为：
l 920 y 1.84cm 500 500
将梁的最大挠度与其比较知：
ymax 1.5cm 1.84cm y
故刚度符合要求。
（1）计算变形
将主轴简化为如图例6-13b所示的外 伸梁，主轴横截面的惯性矩为
I

64
( D4 d 4 )
w max
5ql 4 384 EI
（教材173页表6-3序2）
由图可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。由式
1 w EI ql 2 q 3 ql 3 q x x l 3 6lx 2 4 x3 4 6 24 24 EI


在 在 故
ql 3 x 0处, A 24 EI ql 3 x l处, B 24 EI ql 3 max 24 EI
3、分段积分问题
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段 梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分 方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和 挠曲线方程也随之而异。
AC段：
CB段：
EIy1 M1 ( x)
积分常数：C、 D 两个边界条件：
EIy M 2 ( x ) 2
积分常数：C、D
变形协调条件
yC yCP yCR 0
l 2 P l 11Pl 3 2 4 4 3l yCP , 48 EI 768 EI 4 RC l 3 yCR 48 EI
例6-2 一简支梁如图6-9所示,在全梁上受集度为 q 的均布载荷作 用.试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角|θ|max 和最 大挠度|y|max
(1) 求支座反力，列弯矩方程 由对称关系得梁的两个支座反力为
ql RA RB 2
以A点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：
ql q 2 M ( x) x x 2 2
第六章
弯曲变形
6-1 弯曲变形的概念
工程中的弯曲变形现象
N
6-2 梁的绕曲线近似微分方程 一、挠度与转角 1、挠度 梁轴线上的一点沿铅垂方向 的线位移（在垂直于梁变形 前轴线方向的线位移）称为 该点的挠度 ，用w表示。
2、挠曲线 轴线上各点挠度的连线（轴线变形后弯成的曲线）
3、转角
梁任一横截面绕其 中性轴转动的角度称为该截面的转角。
EIw Pl Px
EIw Pl Px
（4） 积分
P 2 EIw EI Plx x C 2
Pl 2 P 3 EIw x x Cx D 2 6
（5）由边界条件，确定积分常数 在x=0处：
将边界条件代入(c)、(d)得：
w x 0 0 w x0 0
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力 存在变形协调条件
RB
yB yBq yBR 0
查表Biblioteka yBqql4 , 8EI
yBR
RBl 3 3EI
3 RB ql 8
ql 4 RB l 3 0 8EI 3EI
由 图c , 梁 的 平 衡 方 程 为
（2）校核刚度
主轴的许用挠度和许用转角为：
y 0.0001l 0.0001 40 40 104 cm 0.001 103 rad
B 11.01 10 5 rad 10 - 3 rad
故主轴满足刚度条件
yc 35 .5 10 cm 40 10 cm y
由高等数学，曲率
1 d ( x) ds
曲率与挠曲线的关系：
d w 1 dx 2 3 ( x) dw 2 2 [1 ( ) ] dx
当小变形时：
2
1 d w 2 ( x) dx
2
由
1 M ( x) ( x) EI
和
1 d 2w ( x) dx 2
说明1：当用轴线图表 示梁时， 挠度是轴线上各点沿铅 垂方向的线位移。 转角则是挠曲线上对应 点的切线的倾角 说明2：挠度以向上为正（与w轴正向一致），反之为负 转角以绕中性轴逆时针转动为正，反之为负。
3、挠曲线近似微分方程
（1）挠曲线方程
挠度随x变化的规律：
w f (x)
（2）转角方程 转角随x变化的规律： （3）挠度与转角的关系
4 -4
6-5 静不定梁
1 静不定梁的概念
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为静不定梁
2 求解静不定梁的一般方法
在静不定梁中，超过维持平衡所必需的约束， 称为多余约束。与其相应的反力称为多余反力。
撤除静不定梁上的多余约束后变成的静定梁称 为原静不定梁的静定基。
D0
C 0
（6）确定转角方程和挠度方程 将常数 C 和 D 代入得：
EI y Plx
P 2 x C 2
w
1 w EI
1 EI
P Px Plx x 2 (2l x) 2 2 EI
Pl 2 P 3 EIy x x Cx D 2 6
由叠加法得：
y B y BP Pl 3 ql 4 y Bq 3 EI 8 EI
pl 2 ql 3 2 EI 6 EI
B BP Bq
6-5 梁的刚度校核
弯曲构件的刚度条件:
max
ymax y
y 许 用 挠 度 许 用 转 角 位: rad ,单
x 0, x l,
y1 y A 0 y2 y B 0
连续条件：
1C 2C
y1C y2C
6-4 叠加法求梁的变形
叠加原理、叠加法
当梁上同时作用几个载荷时， 梁的总变形为各个载荷单独作用下 梁的变形的代数和。
前提是小变形、线弹性
直接查表
y BP y Bq pl3 3EI ql 4 8 EI Pl 2 BP 2 EI ql3 Bq 6 EI
2
yCP2
则C处 的 总 挠 度 为 yC yCP1 yCP2 : 40.6 10 4 5.06 10 4 35.5 10 4 cm B处 的 总 转 角 为 B BP1 BP2 : 13.54 10 5 2.53 10 5 11.01 10 5 rad
P1al 200 20 40 BP1 13.54 10 5 rad 3 EI 3 21 106 188
由表6-1查得，因P2在C处引起的 挠度和在B处引起的转角（d）为：
BP
P2 l 2 1000 402 2.53 105 rad 6 16EI 16 21 10 188 BP2 a 2.53 105 20 5.06 104 cm
D0
ql3 C 24
ql3 D0, C 24
ql 2 q 3 EI w x x C 4 6 ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
得挠度、转角表达式：
ql 2 q 3 ql 3 1 q 3 w x x l 6lx 2 4 x3 EI 4 6 24 24 EI
d 2w M ( x) 得： 2 dx EI
根据弯矩正负号的规定， 等式两边符号一致
d w M ( x) 2 dx EI
上式称为挠曲线近似微分 方程。。
2
6-3 积分法求梁的变形
一、积分法
1、积分法步骤
d 2w M ( x) 2 dx EI
积分一次得转角：
d 2w EI M ( x) 2 dx
X 0, Y 0,
XA 0 YA ql RB 0
ql 2 Z 0, M A R B l 2 0 把RB 之 值 代 入得 , 5 1 2 X A 0, YA ql, M A ql 8 8
吊车梁的计算简图如图6-20b所 示，有四个约束反力，只能列出3 个平衡方程，所以是一次静不定梁， 需要一个补充方程。 （1）取静定基，列变形条件 选取C点的约束为多余约束，RC为多余支座反力，则相应的 静定基为一简支梁，其上受载荷P和多余反力RC的作用。


1 w EI
ql 3 q 4 ql 3 qx 3 2 3 12 x 24 x 24 x 24 EI l 2lx x


（教材173页表6-3序9）
（4）求最大转角和最大挠度
由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f）， 得： l q l3 l3 5ql 4 2 l3 wC 384 EI 24 EI 2 8