江西省2019年中考数学复习第3单元第13课时反比例函数教案

第三单元函数及其图像
第13课时反比例函数
教学目标
【考试目标】
1.了解反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用待定系数法求函数的表达式；
2.会画反比例函数的图象，根据反比例函数的图象性质和解析表达式理解其性质；
【教学重点】
1.了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.
2.掌握反比例函数的图象与性质.
3.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.
4.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.
教学过程
一、体系图引入，引发思考
二、引入真题，深化理解
【例1】（2019年锦州）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-a 与反比例函数 （a ≠0）的图象可能是 （C ）
【解析】此题中a 的符号不确定，所以要进行分类讨论才能解决此题.当a ＞0时，
一次函数y=ax-a 图象必过一、三象限，反比例函数 在一、三象限内，故可以排除A 选项.∵a ＞0，∴-a ＜0，∴一次函数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点下方，所以B 不符合题意，C 符合题意.当a ＜0时，一次函数y=ax-a 图象必过二、四象限，反比例函数 图象也在二、四象限，并且-a ＞0，所以一次函
数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点上方，所以D 选项不符合题意，故选择C 选项.
【考点】考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，利用分类讨论的思想便于解题.
【例2】（2019年龙东地区）已知反比例函数 ，当1＜x ＜3时，y 的最小整数值是 （A ）
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】∵6＞0，∴该反比例函数在1＜x ＜3单调递减，此时y 的范围为2＜y ＜6.∴y 的最小整数值是3.故选择A.
【考点】考查了反比例函数的增减性.掌握了反比例函数的增减性，此题不难解出.
【例3】（2019年通辽）如图，点A 和点B 都在反比例函数 的图象上，且线段AB 过原点，过点A 作x 轴的垂线段，垂足为C ，P 是线段OB 上的动点，连接CP.设△ACP 的面积为S ，则下列说法正确的是（D ） A.S ＞2 B.S ＞4 C.2＜S ＜4 D.2≤S≤4
a y x
=
a
y x
=
a y x
=
6y x
=
4y x
=
【解析】根据题目可知，S=S △AOC +S △COP ，
2S △AOC =k=4，∴S △AOC =2.当点P 在原点O 时，S min =2. 当点P 运动到点B 时，S 最大，此时求出S △COP 的面
积即可求出S max .因为点A 、B 均在反比例函数的图像 上，且线段AB 过原点，根据反比例函数图象的对称
性，可以得到A 、B 两点关于原点对称，所以A 、B 两点纵坐标的绝对值相等，△AOC 与△BOC 可以看作是以OC
=2+2=4.∴选择D 选项. 【考点】考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积公式.
【例4】【例4】（2019年安徽）如图，一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A （4,3），与y 轴负半轴交于点
B ，且OA=OB. （1）求函数y=kx+b 和 的表达式；
（2）已知点C （0,5），试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB=MC ，求此时点M 的坐标.
【解析】把点A （4,3）代入函数 得：a=12， ∴ .
∵OA=OB ，∴OB=5，∴点B 的坐标为（0，-5）.
把B （0，-5），A （4,3）代入y=kx+b 得： 解得 . ∴y=2x-5.
（2）∵点M 在一次函数y=2x-5上，设点M 坐标为（x ，2x-5）， ∵MB=MC，∴
解得：x=2.5，∴点M 的坐标为（2.5,0）.
【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，考查了点到点的距离等.
【例5】（2019年重庆）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b （a ≠0）的图形与反比例函数 （k ≠0）的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH=3， 点
B 的坐标为（m ，-2）.
（1）求△AOH
的周长； （2）求反比例函数和一次函数的解析式.
【解析】（1）由OH=3， ，得AH=4. 即A （-4,3）.
根据勾股定理得： △AOH 的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12.
a
y x
=5
OA ==25
k b =⎧⎨
=-⎩5
43
b k b =-⎧⎨
+=⎩=4
tan 3AOH ∠=5,
AO ==a y x =a y x
=
12y x
=k y x
=4
tan 3
AOH ∠=k
y x
=
（2）将A 点坐标代入 （k ≠0），得k=-4×3=-12， 反比例函数的解析式为 ；
当y=-2时， ，解得x=6，即B （6，-2）. 将A 、B 点坐标代入y=ax+b ，得
解得
一次函数的解析式为
【考点】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法是解决此题的关键.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业
布置作业：同步导练 教学反思
同学们对本节内容理解很好，但是对于那些反比例函数与其他知识结合的综合性问题略有欠缺，希望大家下课后能多加练习，巩固知识，提升自己.
1,21a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩43,62a b a b -+=⎧⎨+=-⎩1
1.
2
y x =-+12y x
=-
122x
-=-
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．不等式组214(1)x x
x x -⎧⎨--⎩
的解集为（ ）
A ．x ＞0
B ．x ＞1
C ．无解
D ．0＜x ＜1
2．2018年12月27日，国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》显示预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%.其中7300万用科学记数法表示为（ ） A ．77310⨯ B ．77.310⨯
C ．87.310⨯
D ．80.7310⨯
3．函数y
的自变量的取值范围是( ) A.x ＞0且x≠0
B.x≥0且x≠
12
C.x≥0
D.x≠
12
4．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A ．3m
B ．
C ．
D ．4m
5．已知函数：①y ＝x ；②y ＝1x
-（x ＜0）；③y ＝﹣x+3；④y ＝x 2
+x （x≥0），其中，y 随x 的增大而增大的函数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．关于x ，y 的方程组3245
1
x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足237x y +>，则m 的取值范围是（ ）
A ．14
m <-
B ．0m <
C ．13
m >
D ．7m >
7．下列正比例函数中，y 随x 的值增大而增大的是（ ）
A.y ＝﹣2014x
B.y ﹣1）x
C.y ＝（﹣π﹣3）x
D.y ＝（1﹣π2）x
8．如图，在ABC ∆中，//AD BC ，点E 在AB 边上，//EF BC ，交AC 边于点F ，DE 交AC 边于点G ，则下列结论中错误的是（ ）
A.
AE AF
BE CF
= B.
AG DG
GF EG
= C.
AG AE
GF EB
= D.
AE AF
AB AC
= 9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=35°，∠C=120°，则∠A 为（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．35°
D ．25°
10．如图，在半径为6的⊙O 中，正方形AGDH 与正六边形ABCDEF 都内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．27﹣
B ．54﹣
C ．
D ．54
11．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 12．如图，该几何体的俯视图是（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．使代数式
3
x
x +有意义的x 的取值范围是_______ . 14．若44α∠=︒，则α∠的余角是______°．
15．16的平方根是 ． 16．分解因式：258x x -= ______.
17．将数6250000用科学计数法表示为________. 18．抛物线y=3（x ﹣2）2
+5的顶点坐标是_____． 三、解答题
19．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝
2
，点E 从A 出发沿线段AC 运动至点C 停止，ED ⊥AB ，EF ⊥AC ，将△ADE 沿直线EF 翻折得到△A′D′E，设DE ＝x ，△A′D′E 与△ABC 重合部分的面积为y ． （1）当x ＝ 时，D′恰好落在BC 上？
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．
20．先化简，再求值：22299
(6)3a a a a a
-+÷+-，其中a 2﹣4a+3＝0．
21．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件
（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润． 22．113532
3
(5)(1)(3)(10)10464675
+----++- 23．先化简：22
22
111211x x x x x x +-⎛⎫-÷
⎪--++⎝⎭
然后解答下列问题： （1）当x ＝2时，求代数式的值
（2）原代数式的值能等于0吗？为什么？
24．随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A ，B 两种上网学习的月收费方式
设每月上网学习时间为x 小时，方案A ，B 的收费金额分别为y A ，y B ．
（1）分别求y A ，y B 关于x 的函数关系式； （2）选择哪种方式上网学习合算，为什么？
25．现有A 、B 型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
某学校计划在总费用1900元的限额内，租用A 、B 型客车共5辆送九年级师生集体外出活动. （Ⅰ）设租用A 型客车x 辆（x 为非负整数），根据题意，用含x 的式子填写下表：
（Ⅱ）若九年级师生共有195人，请给出能完成此项任务的最节省费用的租车方案，并说明理由.
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题 13．x≠-3 14．46º 15．±4． 16．(58)x x - 17．66.2510⨯ 18．（2，5）． 三、解答题
19．（1）
9
5
； （2
）2
2
(01)915925x y <⎪=≤⎨
⎪
⎪-+≤⎪⎩
＜x ）（＜x ）…. 【解析】 【分析】
（1）先根据勾股定理求出AB 的值，然后根据同角的正弦函数值相等表示出AE 为3x ，当点D′恰好落在BC 上时，再根据等角的三角函数值相等表示出EC 为
1
3
x ，然后求出x 的值即可； （2）由（1）可得AE 和AD ，当点A'与点C 重合时，求出x 的值，然后根据三角形的面积公式分三种情况讨论，求出y 关于x 的函数关系式即可. 【详解】
解：（1）在Rt △ABC 中，AB
2
=
， ∴sinA=
1
3
DE BC AE AB ==, ∵DE=x ， ∴AE ＝3x ，
当D′恰好落在BC 上时，如图所示：
ED′＝ED ＝x ，∠DEA ＝∠D′EC， ∴∠ED′C＝∠A ，
∴EC ＝
1
3x ， ∵3x+1
3x ＝6，
∴x ＝95
，
故答案为：9
5
；
（2）由（1）可得，AE=3x ， ∴AD
＝，
当点A'与点C 重合时，AE=EC=1
2
AC=3， ∴3x ＝3 ∴x ＝1．
①当0＜x≤1时，如图1，y=
1
2212222
AD DE x x x ==； ②当1＜x≤
9
5
时，如图2， ∵AE ＝A'E ＝3x ， ∴AA'＝6x ． ∴CA'＝
6x ﹣6． ∵tan A'=
'4
CH BC CA AC ==
，
∴1)
6)42
x CH x -=
-=
， ∴
y=22
1132(1)1)22(66)2
2222
x
x x x x x
----=-
＝2x +-
； ③当9
25
x ＜＜时，如图3， ∵∠EIC+∠IEC ＝∠IEC+∠A'， ∴∠EIC ＝∠A'．
∴tan 4
CE EIC CI =
=
, ∵CE ＝（6﹣3x ）， ∴3)CI x =-
∴11
(6
3)22(63)
22
y CE CI x x =
=--
＝2-
+
综上所述，2
2
2
(01)9-1225925x y <⎪=+-≤⎨⎪
⎪-+≤⎪⎩
（＜x ）＜x ）….
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、利用三角函数值解直角三角形、一元二次函数及三角形的面积公式等知识点，根据题意作出辅助线，分类讨论是解题的关键.
20．14
. 【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】 原式＝2(3)(3)(3)69
a a a a a a a +-⋅-++ ＝2
3(3)a a a a +⋅+ ＝13
a + ∵a 2﹣4a+3＝0，
∴a 1＝1 a 2＝3（舍去） ∴原式＝14
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（1）甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件；（2）该商店获得的最大利润是2840元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种商品的进价各是多少元，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到利润和购买甲种商品件数的函数关系式，然后一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）设甲种商品的进价为x 元/件，则乙种商品的进价为0.9x 元/件，
36003600100.9x x
+=， 解得，x ＝40，
经检验，x ＝40是原分式方程的解，
∴0.9x ＝36，
答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件；
（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（80﹣m ）件，总利润为w 元，
w ＝（80﹣40）m+（70﹣36）（80﹣m ）＝6m+2720，
∵80﹣m≥3m，
∴m≤20，
∴当m ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝2840，
答：该商店获得的最大利润是2840元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
22．34335
- 【解析】
【分析】
根据有理数的加减法法则计算即可.
【详解】
原式=11353235131010464675
-+-+- 131532315310104
46675⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 15935=-+ 34335
=- 【点睛】
本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法的运算法则是关键.
23．(1)11
x x +-;(2)见解析. 【解析】
【分析】
（1）将x ＝2代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先判断，然后令化简的结果等于0，求出x 的值，再将所得的x 的值代入化简后的式子，看是否使得原分式有意义即可解答本题．
【详解】 解：2222111211
x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ 22(1)11(1)(1)(1)1
x x x x x x ⎡⎤+-+=-⋅⎢⎥+--⎣⎦ 21(1)11x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭ 1(1)1x x =
⋅+- 11
x x +=- （1）当x ＝2时，原式＝
2121+-＝3； （2）原代数式的值不等等于0， 理由：令11
x x +-＝0，得x ＝﹣1， 当x ＝﹣1时，原分式无意义，
故原代数式的值不等等于0．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
24．（1）7(25)0.68(25)A x y x x ⎧=⎨->⎩…;10(50)0.620(50)B x y x x ⎧=⎨->⎩
…; (2) 当0＜x ＜30时，y A ＜y B ，选择A 方式上网学习合算，当x ＝30时，y A ＝y B ，选择哪种方式上网学习都行，当x ＞30时，y A ＞y B ，选择B 方式上网学习合算．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件即可求得y A 与x 之间的函数关系式为：当x≤25时，y A =7；当x ＞25时，y A =7+（x-25）×60×0.01，
由图象知：m=10，n=50，超时费25107550
--=0.6（元/h ）；进而求出y B 与x 之间函数关系为：当x≤50时，y B =10；当x ＞50时，y B =10+（x-50）×0.6；
（2）分0＜x≤25；25＜x≤50；x ＞50三种情况分别讨论即可．
解：（1）由表格可知：
当x≤25时，y A ＝7；
当x ＞25时，y A ＝7+（x ﹣25）×60×0.01，y A ＝0.6x ﹣8，
则y A 与x 之间的函数关系式为：y A ＝()()7250.6825x x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩
＞ ； 由图象知：m ＝10，n ＝50，超时费
25107550
--＝0.6（元/h ）； 当x≤50时，y B ＝10，
当x ＞50时，y B ＝10+（x ﹣50）×0.6＝0.6x ﹣20， 则y B 与x 之间的函数关系式为：y B ＝()()10500.62050x x x ＞⎧≤⎪⎨-⎪⎩
； （2）①当0＜x≤25时，
∵y A ＝7，y B ＝50，
∴y A ＜y B ，
∴选择A 方式上网学习合算；
②当25＜x≤50时，
如果y A ＝y B ，即0.6x ﹣8＝10，解得x ＝30，
∴当25＜x ＜30时，y A ＜y B ，选择A 方式上网学习合算；
当x ＝30时，y A ＝y B ，选择哪种方式上网学习都行；
当30＜x≤50，y A ＞y B ，选择B 方式上网学习合算；
③当x ＞50时，
∵y A ＝0.6x ﹣8，y B ＝0.6x ﹣20，y A ＞y B ，
∴选择B 方式上网学习合算．
综上所述：当0＜x ＜30时，y A ＜y B ，选择A 方式上网学习合算，
当x ＝30时，y A ＝y B ，选择哪种方式上网学习都行，
当x ＞30时，y A ＞y B ，选择B 方式上网学习合算．
【点睛】
考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．
25．（Ⅰ）15030,1400280x x --；（Ⅱ）能完成此项任务的最节省费用的租车方案 是A 型客车3辆，B 型客车2辆
【解析】
【分析】
（Ⅰ）B 型客车载客量=车辆数×每辆车载客量;B 型客车租金=车辆数×每辆车租金
（Ⅱ）当租用A 型客车x 辆（x 为非负整数）时，设租车总费用为y 元，则两种客车的总费用为
y=400x+280(5-x)=120x+1400，为使195名九年级师生有车坐，x 不能小于3；为使租车费用不超过1900元，x 不能超过4，即可求解
（Ⅰ）150-30x,1400-280x.
（Ⅱ）能完成此项任务的最节省费用的租车方案是A型客车3辆，B型客车2辆.
理由：当租用A型客车x辆（x为非负整数）时，设租车总费用为y元，
则两种客车的总费用为y=400x+280(5-x)=120x+1400；
为使195名九年级师生有车坐，x不能小于3；为使租车费用不超过1900元，x不能超过4.综合起来可知x的取值为3或4.
∵120>0，∴在函数y=4120x+1400中，y随x的增大而增大.
∴当x=3时，y取得最小值.
即能完成此项任务的最节省费用的租车方案是A型客车3辆，B型客车2辆.
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，准确找到自变量的范围是解题关键
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞1
2
B．k≥
1
2
C．k＞
1
2
且k≠1D．k≥
1
2
且k≠1
2．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）
A．1 B．-1 C．±1D．±1和0
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞b B．a＝b＞0 C．ac＞0 D．|a|＞|c|
4．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）
A．140°B．130°C．120°D．110°
5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）
A. B. C. D.
6．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）
A. B.
C. D.
7．如图，过∠MAN的边AM上的一点B（不与点A重合）作BC⊥AN于点C，过点C作CD⊥AM于点D，则下列线段的比等于tanA的是（）
A ．
CD AC
B ．BD BC
C ．B
D CD
D ．CD BC 8．已知x ，y 满足方程组24342x y x y +=⎧⎨
-=⎩，则2x y -的值为 A ．3 B ．4
C ．7-
D ．17- 9．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）
A B ．2 C ．D ．(1+
10．若5-m （0，则（ ）
A ．m ＜5
B ．3≤m＜5
C ．3≤m≤5
D ．3＜m ＜5
11．下列说法中错误的是( ) ．
A ．一个三角形中至少有一个角不少于60°
B ．三角形的中线不可能在三角形的外部
C ．直角三角形只有一条高
D ．三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分
12．已知关于x 的一元二次方程2304
x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( ) A ．-1
B ．0
C ．2
D ．1 二、填空题 13．不等式组1x x m >-⎧⎨<⎩
有2个整数解，则m 的取值范围是_____． 14．如图，四边形ABCD 中，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，若四边形ABCD 的面积为4，则AC ＝_____．
15．2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家贸易总额超过3万亿美元，将3万亿美元用科学记数法表示为 ．
16．计算73x x ÷的结果等于_____．
17．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程组23
ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a 2﹣b 2＝_____． 18．如图，过圆外一点P 作⊙O 的切线PC ，切点为B ，连结OP 交圆于点A ．若AP ＝0A ＝1，则该切线长为_____．
三、解答题
19．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．
（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．
20．现在A 、B 两组卡片共5张，A 组中三张分别写有数字2、4、6，B 组中两张分别写有3、5，他们除数字外完全一样。

（1）随机地从A 组中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A 、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果。

现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜。

请问这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由。

21．先化简，再求值：（x ﹣1+221x x -+）÷21
x x x -+，其中x 的值从不等式﹣1≤x＜2.5的整数解中选取． 22．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，在AB 上取点D ，使得AD CD =，若//CD BE ．
（1）求证：AB BE =；
（2）若CD 平分ACB ∠，求ABE ∠的度数．
23．计算：（1
0)a ≥；
（2
24．如图，ABC ∆内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠
.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，2CE =，求AC 、EF 的长.
25．解不等式组31112x x x +≥-⎧⎨-≤⎩①②
，请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________；
(Ⅱ)解不等式②，得_________；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为_________．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．1＜m≤2
14．
15．3×1012．
16．4x
17．1
18．
三、解答题
19．（1）见解析；（2）BF
＝2．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得到三角形ABC 与三角形ADE 全等，以及AB ＝AC ，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可；
（2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可．
【详解】
解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，
∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ，
在△AEC 和△ADB 中，
AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；
（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，
∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，
由（1）得：AB ＝AD ，
∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，
∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝
，
∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，
∴BF ＝BD ﹣DF ＝
﹣2．
【点睛】
此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
20．(1)13
;(2)见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据概率公式直接计算即可.
（2）先画出树状图，然后根据概率的意义分别计算出甲、乙获胜的概率，从而求出答案.
【详解】
（1）解：∵A中三张分别写有数字2、4、6，
∴抽到数字为2的概率P=1
3
.
（2）解：不公平.
树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中积为3的倍数的有4种，
∴甲获胜的概率P=4
6
=
2
3
，乙获胜的概率P=
1
3
，
∵甲、乙的概率不相等，
∴游戏规则对甲、乙双方不公平.
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．
11
,
2
x
x
-
.
【解析】
【分析】
先算括号里的，然后算除法化简分式，最后将中不等式﹣1≤x＜2.5的整数解代入求值．【详解】
原式＝
221 1
1(1)
x x
x
x x x
-+⎛⎫
-+⋅
⎪
+-⎝⎭
＝
12(1)1 (1)+
(1)1(1)
x x x
x
x x x x x
+--+ -⋅⋅
-+-
＝
12 x
x x +-
+
＝
1 x
x -
﹣1≤x＜2.5的整数解为﹣1，0，1，2，∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0，
∴x≠0且x≠1，且x≠﹣1，
∴x＝2
当x＝2时，原式=211 22 -
=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．22．（1）见解析；（2）∠ABE＝120°．
【解析】
【分析】
（1）欲证明AB=BE，只需推知∠A=∠E即可．
（2）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠A=30°，结合（1）中的∠A=∠E和△ABE的内角和是180°解答．
【详解】
（1）∵AD＝CD ∴∠A＝∠ACD．
又∵CD∥BE ∴∠ACD＝∠E．
∴∠A＝∠E．
∴AB＝BE；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
∴∠A+∠ACB＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD．
又∵∠A＝∠ACD，
∴∠A+∠ACD+∠BCD＝3∠A＝90°．
∴∠A＝30°．
∵由（1）得∠A＝∠E＝30°．
∴∠ABE＝180°﹣2∠A＝120°．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．解题过程中，注意“等角对等边”、“等边对等角”以及三角形内角和是180度等性质的运用，难度一般．
23．（1）4a2；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据二次根式的乘法法则得出即可;
(2)可以把二次根式化简,合并括号里同类二次根式,再做乘法;也可以用分配律计算
【详解】
（1
＝4a2
（2
＝
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
24．（1）证明见解析；（2）AC=
3
EF=.
【解析】
【分析】
（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接BF，
∵∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△OCA，
∴AC AE CE OC OA AC
==，
∴
2
33
AC AE
AC
==，
∴，
∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，
∴AE BE CE EF
=，
62
=
EF
-
，
∴
3
EF=．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．(Ⅰ)1x ≥-；(Ⅱ)3x ≤；(Ⅲ)数轴见解析；(Ⅳ)13x -≤≤
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先移项，两边同时除以2即可得答案；（Ⅱ）移项，即可得答案；(Ⅲ)根据不等式解集的表示方法解答即可；(Ⅳ)根据数轴，找出不等式①②的公共解集即可.
【详解】
(Ⅰ)
3x 1x 1+≥- 移项得：2x≥-2
系数化为1得：x≥-1.
故答案为：x≥-1
(Ⅱ) x 12-≤
移项得：x≤3.
故答案为：x≤3
(Ⅲ)不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
(Ⅳ)由数轴可得①和②的解集的公共解集为-1≤x≤3，
∴原不等式组的解集为-1≤x≤3，
故答案为：-1≤x≤3
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．。