2023年高考数学立体几何真题练习(含答案解析)

2023年高考数学立体几何真题练习（含答案解析）
1．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥−P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ） A ．
34
π
B ．π
C ．2π
D ．3π
【答案】B 【解析】
设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，
且263BO =⨯=PO 因为5PQ =，故1OQ =，
故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，
而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为
236
4
1
36
=>⨯， 故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π 故选：B
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）
A ．αβγ≤≤
B ．βαγ≤≤
C ．βγα≤≤
D ．αγβ≤≤
【答案】A
【解析】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，
则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α=
=≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FP
PM PE
γβ=≥=， 所以αβγ≤≤， 故选：A ．
3．（多选题）（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD −，F ABC −，F ACE −的体积分别为123,,V V V ，
则（ ）
A ．322V V =
B ．31V V =
C ．312V V V =+
D ．3123V V =
【答案】CD 【解析】
设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2
311
114223323
ACD
V ED S
a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()2
321
11223323
ABC
V FB S
a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥，
又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，
又1
2
BM DM BD ==
=，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则
,FG BD EG a ===，
则,EM FM =
=，3EF a =，
222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM
S
EM FM =
⋅，AC =， 则331
23
A EFM C EFM EFM
V V V AC S a −−=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错
误；C 、D 正确. 故选：CD.
4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒
【答案】ABD
【解析】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1
BC
与1DA 所成的角，
因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；
连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，11
11A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，
又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确； 连接11AC ，设1111AC
B D O =，连接BO ，
因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥， 因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ， 所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，
设正方体棱长为1
，则1C O =
1BC =11
11sin 2C O C BO BC ∠==， 所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；
因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD
5．（多选题）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足
1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A ．当1λ=时，1A
B P △的周长为定值
B ．当1μ=时，三棱锥1P A B
C −的体积为定值
C ．当1
2
λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当1
2
μ=
时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD 【解析】
易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．
对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；
对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，
11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．
对于C ，当1
2λ=
时，112
BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，
所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
()0,0P μ,，
10,,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭，则112A P μ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭
，10,,2BP μ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()110A P BP μμ⋅=−=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误； 对于D ，当1
2μ=
时，112
BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所
以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，因为0,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以01,2AP y ⎛⎫
=− ⎪ ⎪⎝⎭
，
11,122A B ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭
，所以00311104222y y +−=⇒=−，此时P 与N 重合，故D 正确． 故选：BD ．
6．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D
BCC 1B 1的交线长为________．
【答案】
2
. 【解析】如图：
取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，
因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D −的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，
所以1D E =111D E B C ⊥，
又四棱柱1111ABCD A B C D −为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1
111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，
设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，
1D E =||EP =
所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E
因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114
B EF
C EG π
∠=∠=
，所以2
FEG π
∠=
，
所以根据弧长公式可得2
2
FG π
==
.
.。