极限存在准则两个重要极限公式

极限存在准则两个重要极限公式
首先，我们来介绍极限保号公式。

设函数f(x)在点a的一些邻域内
有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。

现在我们来证
明极限保号公式：
假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使
得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。

如果limx→a
f(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。

证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，
f(x)-L，<ε。

现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的
x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。

这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，
f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。

我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，
使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。

所以有，L，≤M。

这就是极限保号公式的证明。

接下来我们来介绍夹逼准则。

设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一
些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有
g(x)≤f(x)≤h(x)。

如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么
limx→a f(x)=L也存在。

证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在
δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，
g(x)-L，<ε。

同样地，由于limx→a h(x)=L存在，那么存在δ2>0，使
得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ2，那么有，h(x)-L，
<ε。

我们取δ=min{δ1, δ2}，那么对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，就有同时满足0<，x-a，<δ1和0<，x-a，<δ2、根据夹逼法则，我们有g(x)≤f(x)≤h(x)，所以有，g(x)-L，<，f(x)-L，<，h(x)-L。

由于0<，x-a，<δ1和0<，x-a，<δ2同时成立，所以，g(x)-L，<ε和，h(x)-L，<ε同时成立。

综上所述，对于任意的x∈(a-h,a+h)，我们都有，g(x)-L，<ε和，
h(x)-L，<ε，所以有，f(x)-L，<ε。

这就证明了limx→a f(x)=L。

总结一下，极限存在准则是判断一个函数在其中一点上是否存在极限
的重要工具。

其中，极限保号公式用来判断函数的保号性质是否对极限的
值也成立，夹逼准则用来判断函数在其中一点上的极限是否存在。

这两个
公式在数学分析中有着广泛的应用。