中考数学复习----《数式规律》专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《数式规律》专项练习题（含答案解析）
1.按规律排列的一组数据：12，3
5，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ） A ．
23
B ．511
C ．59
D ．12
【答案】D 【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，
∴第n 个数据为：
221
1
n n −+ 当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=
∴这个数为
51102
= 故选：D ． 【点睛】
本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 2.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =−
，3211a a =−，4311a a =−，54
11a a =−，……，1
1
1n n a a −=−
．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23−
B ．
13
C ．12
−
D ．
23
【答案】D 【分析】
当13a =时，计算出23421
,,3,32
a a a ==−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值． 【详解】
解：当13a =时，计算出23421
,,3,32
a a a ==−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 会发现是以：2
1
3,,32
−
，循环出现的规律，
202136732=⨯+，
2021223
a a ∴==
， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
3.按一定规律排列的单项式：a ，2a −，4a ，8a −，16a ，32a −，…，第n 个单项式是（ ） A ．()
1
2n a −−
B ．()2n
a −
C ．12n a −
D ．2n a
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案． 【解析】解：
a ，2a −，4a ，8a −，16a ，32a −，…，
可记为：()()()()()()0
1
2
3
4
5
2,2,2,2,2,2,,a a a a a a −−−−−−•••
∴ 第n 项为：()
1
2.n a −− 故选A ．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
4.计算11111
133557793739+++++⨯⨯⨯⨯⨯…的结果是 A ．1937 B ．1939 C ．3739
D ．
38
39
【答案】B 【解析】 原式 =
1111111111
111119(1)(1)22233557737373923939
⨯−+−+−+−+++−=⨯−=．故选B ． 【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
5.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A．【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
6.一列数按某规律排列如下：1121231234
1213214321，，，，，，，，，，…，若第n个数为
5
7
，则
n=
A．50 B．60 C．62 D．71 【答案】B
【解析】1121231234 1213214321，，，，，，，，，，…
可写为：1121231234
()()() 1213214321，，，，，，，，，，…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345667891011
11109877554321
，，，，，，，，，，，，
∴第n个数为5
7
，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．
【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律
7.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
【答案】B
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题
8.已知有理数a≠1，我们把
1
1a
−
称为a的差倒数，如：2的差倒数是
1
12
−
=-1，-1的差倒
数是
11
1(1)2
=
−−
．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……
依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5 【答案】A
【解析】∵a1=-2，∴a2=
11
1(2)3
=
−−
，a3=
13
12
1
3
=
−，a4=
1
3
1
2
−=-2，…，
∴这个数列以-2，1
3
，
3
2
依次循环，且-2+
1
3
+
3
2
=-
1
6
，
∵100÷3=33……1，∴a1+a2+…+a100=33×（-1
6
）-2=-
15
2
=-7.5，故选A．
【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
9.a是不为1的有理数，我们把
1
1a
−
称为a的差倒数，如2的差倒数为
1
12
−
=-1，-1的差
倒数
11
1(1)2
=
−−
，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，
依此类推，a2019的值是
A．5 B．-1
4
C．
4
3
D．
4
5
【答案】D
【解析】∵a 1=5，a 2=11111154
a ==−−−，a 3=21141151()4a ==−−−，a 4=3
114115
a =−−=5， ……∴数列以5，-14，45三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a 2019=a 3=4
5
，故选D ．
【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）
A ．135
B ．153
C ．170
D ．189
【答案】C
【分析】由观察发现每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=可求解b ，从而得到a ，再利用,,a b x 之间的关系求解x 即可．
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=
218,b ∴= 9,b ∴= 由观察发现：8,a =
又每个正方形内有：2419,36220,48335,⨯+=⨯+=⨯+=
18,b a x ∴+= 1898170.x ∴=⨯+= 故选C ．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
11.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据
此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）
A ．4860年
B ．6480年
C ．8100年
D ．9720年
【答案】C 【分析】
根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案． 【详解】 解：由图可知：
1620年时，镭质量缩减为原来的
12
， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的
2
1142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182
=， ，
∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232
=， 此时1
32132
⨯
=mg ， 故选C ． 【点睛】
本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键． 12.如图，点1B 在直线1
:2
l y x =
上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．
1
532n −⎛⎫
⎪
⎝⎭
【分析】
根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长． 【详解】 解：
点1B 在直线1
:2
l y x =
上，点1B 的横坐标为2， ∴点1B 纵坐标为1．221215,OB ∴=+=
分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；
111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠,
∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有 111112
11112n n n n
C A B
D B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=， 不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：
115
22
OB l =
=
， 12112353
222
l l l
C A
=+=
=，
2
23223353222l l l C A ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
⋅⋅⋅
1
11135322n n n n n n l l l C A −−−−⎛⎫
=+== ⎪
⎝⎭
按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +1
532n −⎛⎫
⎪
⎝⎭，
故答案是：1
5322n −⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n 个正方形边长的方法与技巧．
13.如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P −−；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．
【答案】(1011,1011)−− 【分析】
先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】
解：由题意得：2(12,12)P −+−+，即2(1,1)P ，
3(13,13)P −−，即3(2,2)P −−， 4(24,24)P −+−+，即4(2,2)P ， 5(25,25)P −−，即5(3,3)P −−，
观察可知，点1P 的坐标为
(1,1)−−，其中1211=⨯−， 点3P 的坐标为(2,2)−−，其中3221=⨯−， 点5P 的坐标为(3,3)−−，其中5231=⨯−，
归纳类推得：点21n P −的坐标为(,)n n −−，其中n 为正整数，
2021210111=⨯−，
∴点2021P 的坐标为(1011,1011)−−，
故答案为：(1011,1011)−−． 【点睛】
本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
14.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．
【答案】3 【分析】
通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和． 【详解】
解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律， 例如：
第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加， 即：211=+；
第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加， 即：321=+；
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
由此规律：
故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加， 即空缺数为：3， 故答案是：3． 【点睛】
本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．
15.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则
4200a a +=_________．
【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式()
12
n n n a +=
，代入即可求值． 【解析】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()
12
n n n a +=
， ∴445102a ⨯=
=，200200201
201002
a ⨯==，∴420020100+10=20110+=a a ．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 16.根据图中数字的规律，若第n 个图中出现数字396，则n =（ ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
【答案】B
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得n 为正整数即成立，否则舍去． 【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：2(1)n n +，若2(1)396n n +=，解得n 不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为：21n −，若21396n −=，解得n 不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：21n −，若21396n −=，解得n 不为正整数，舍去； 下右三角形的数据的规律为：(4)n n +，若(4)396n n +=，解得18n =，或22n =−，舍去。

故选：B ．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
17.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A ．C 、E
B ．E 、F
C ．G 、C 、E
D ．
E 、C 、F
【答案】D
【分析】设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k
次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝
1
2
k （k+1），然后根据题目中所给的第k 次依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解析】设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格， 因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k+1），应停在第12
k （k+1）﹣7p 格，
这时P 是整数，且使0≤
1
2
k （k+1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时， 1
2
k （k+1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020， 设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k+1）﹣7p ＝7m+1
2
t （t+1），
由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
18.按一定规律排列的一列数：3，23，13−，33，43−，73，113−，183，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是__________． 【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a ，b ，c 之间满足的关系式．
【解析】解：∵一列数：3，23，13−，33，43−，73，113−，183−，…， 可发现：第n 个数等于前面两个数的商，
∵a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，∴bc=a ，故答案为：bc=a ．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a ，b ，c 之间的关系式． 19.观察下列等式：122
1131
1112212
x =+
+==+⨯； 222
1171
1123623
x =+
+==+⨯；
322
11131
11341234
x =+
+==+⨯； ……
根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++−=______．
【答案】1
2016
− 【分析】
根据题意，找到第n 2211
1(1)
n n +
++1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝1
12+116+1112+…+1120202021
⨯﹣2021，然后把12化为1﹣1
2，16化为1
2﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016
，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
2211111(1)(1)n n n n +
+=+++，20201
120202021
x =+⨯ 12320202021x x x x +++
+−
＝1
1
2+116+1112+ (20202021)
⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+1
2﹣13+…+12015﹣12016﹣2021 ＝2020+1﹣1
2016
﹣2021 ＝1
2016
−
． 故答案为：1
2016
−． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
20.观察等式：232222+=−，23422222++=−，2345222222+++=−，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．
【答案】100(21)m − 【分析】
根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的
和，即可计算1001011011992222++++的和．
【详解】
由题意规律可得：2399100222222++++=−．
∵1002=m ∴23991000222222=2m m +++++==，
∵22991001012222222+++
++=−，
∴10123991002222222=+++
+++12=2m m m m =+=． 102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．
1032399100101102222222222=+++
+++++3248=2m m m m m m =+++=．
……
∴1999922m =． 故10010110110199992222222m m m ++++=+++．
令012992222S +++
+=① 12310022222S +++
+=②
②-①，得10021S −= ∴10010110110199992222222m m m +++
+=+++=100
(2
1)m −
故答案为：100(21)m −． 【点睛】
本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 21.观察下列一组数：﹣
23，69，﹣1227，2081，﹣30243
，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____．
【答案】(1)n
−(1)
3⨯+n
n n 【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n 个数． 【解析】解：观察下列一组数：﹣
23＝﹣1123⨯，69＝2233⨯，﹣12
27＝﹣3343⨯2081＝445
3
⨯， ﹣
30
243＝﹣5563
⨯，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是：（﹣1）n (1)
3
⨯+n
n n ， 故答案为：(1)n
−(1)
3⨯+n
n n ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
22.对于正整数n ，定义()()2
,10
,10
n n F n f n n ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字
的平方和．例如：()2
6636F ==，()2
2
1231310F =+=．规定()()1F n F n =，
()()()1k F n F F n +=（k 为正整数），例如，()()112312310F F ==，
()()()()21123123101F F F F ===．按此定义，则由()14F =__________，()20194F =
___________． 【答案】16 58
【分析】根据题意分别求出F 1（4）到F 8（4），通过计算发现，F 1（4）＝F 8（4），只需确定
()()2019344F F =即可求解．
【解析】F 1（4）＝16，F 2（4）＝F （16）＝12+62=37， F 3（4）＝F （37）＝32+72=58，F 4（4）＝F （58）＝52+82=89， F 5（4）＝F （89）＝82+92=145，F 6（4）＝F （145）＝12+52=26， F 7（4）＝F （26）＝22
+62
=40，F 8（4）＝F （40）＝42
+0=16，… 通过计算发现，F 1（4）＝F 8（4），
∵2019÷7＝288…3，∴F 2019（4）＝F 3（4）＝58；故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
23.a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，…，是一列数，已知第1个数a 1=4，第5个数a 5=5，且任意三
个相邻的数之和为15，则第2019个数a 2019的值是__________． 【答案】6
【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a 1+a 2+a 3=15，a 2+a 3+a 4=15，a 3+a 4+a 5=15，…，a n +a n+1+a n+2=15，
可以推出：a 1=a 4=a 7=…=a 3n+1，a 2=a 5=a 8=…=a 3n+2，a 3=a 6=a 9=…=a 3n ， 所以a 5=a 2=5，则4+5+a 3=15，解得a 3=6， ∵2019÷3=673，因此a 2017=a 3=6．故答案为：6．
【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解． 24.如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．
【答案】2019
【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n 2
，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025-6=2019，故答案为：2019．
【名师点睛】本题考查规律型——数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．
25.观察下列一组数： a 1=
13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533
，…， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示） 【答案】
1
(1)
22
n n n +++ 【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n
+1， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
(1)
2
n n +， ∴a n =1
(1)
(1)22122n n n n n n +++=++，故答案为：1(1)
2
2
n n n +++．
【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
26.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt △OA3A4，并使∠A3OA4=60°……按此规律进行下去，则点A2019的坐标为__________．
【答案】（-22017，23
【解析】由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，3，A3的坐标为（-2，3，A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，3A6的坐标为（16，3A7的坐标为（64，0），…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为23
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为23
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-23
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-23
∵2019÷6=336……3，
∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为23故答案为：（-22017，23
【名师点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．
27.观察以下等式：
第1个等式：211111=+， 第2个等式：211
326=+，
第3个等式：211
5315=+，
第4个等式：211
7428=+，
第5个等式：211
9545
=+，
……
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n 个等式：__________（用含n 的等式表示），并证明． 【解析】（1）第6个等式为：
21111666=+，故答案为：21111666
=+． （2）
211
21(21)
n n n n =+−−， 证明：∵右边=112112(21)(21)21
n n n n n n n −++==−−−=左边． ∴等式成立， 故答案为：
211
21(21)
n n n n =+−−． 【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出
211
21(21)
n n n n =+−−的规律，并熟练加以运用． 28.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到
11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线3
4
y x =−上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋
转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线3
4
y x =−上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．
为______．
【答案】387 5
【分析】
计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．
【详解】
解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入
3
4
y x =−，
得：
3
3
4
x
=−，得：x=-4，即A（-4，3），
∴OB=3，AB=4，22
34
+，
由旋转可知：
OB=O1B1=O2B1=O2B2=...=3，OA=O1A=O2A1=...=5，AB=AB1=A1B1=A2B2= (4)
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，
∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
设B21（a，
3
4
a
−），则OB21
2
2
3
129
4
a a
⎛⎫
+−
⎪
⎝⎭
，
解得：
516
5
a=−或
516
5
（舍），
则
33516387
4455
a
⎛⎫
−=−⨯−=
⎪
⎝⎭
，即点B21的纵坐标为
387
5
，
故答案为：387
5
．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB 的各边，计算出OB 21的长度是解题的关键．
29.如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．
【答案】（20212，0）. 【分析】
根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可. 【详解】
解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=45° ∵1ONM =∠90° ∴1ON NM = ∵1ON NM ⊥ ∴11OM MM == ∴1M 的坐标为（2，0）
同理可以求出2M 的坐标为（4，0）
同理可以求出3M 的坐标为（8，0）
同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）
∴2021M 的坐标为（20212，0）
故答案为：（20212，0）.
【点睛】 本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.
30.如图，点1B 在直线1:2
l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．
【答案】20202020
2019202033(,)22
【分析】
由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】
解：∵点1B 在直线1:2
l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，
∴
1(2,0)
A，
1(2,1)
B，∴A1B1=1，根据题意，OA2=2+1=3，
∴
2(3,0)
A，
2
3 (3,)
2
B，
同理，
3
9 (,0) 2
A，
3
99 (,) 24
B，
4
27 (,0) 4
A，
4
2727 (,) 48
B ……
由此规律，可得：
1
2
3
(,0)
2
n
n n
A
−
−
，
11
21
33
(,)
22
n n
n n n
B
−−
−−
，
∴
2021120211
20212021220211
33
(,)
22
B
−−
−−
即
20202020
202120192020
33
(,)
22
B，
故答案为：
20202020
20192020
33 (,) 22
．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．
23。