2019-2020学年湖南师大附中教育集团“攀登杯”八年级(下)竞赛数学试卷及答案解析

2019-2020学年湖南师大附中教育集团“攀登杯”八年级（下）

竞赛数学试卷

一、选择题（每小题4分，共28分）

1．（4分）下列因式分解正确的是（）

A．x2﹣x+＝（x﹣）2

B．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）

C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2

D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）

2．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜

3．（4分）如图，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将△OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（）

A．（1，2）B．（4，2）C．（3，2）D．（﹣1，2）4．（4分）已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（）

A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2

5．（4分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG 于G，下列结论：

①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；

③CA平分∠BCG；④∠DFB＝∠CGE．

其中正确的结论是（）

A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④

6．（4分）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分

式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．13B．15C．20D．22

7．（4分）如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）

A．9.5B．10C．10.5D．11

二、填空题（每小题4分，共24分）

8．（4分）最简二次根式与是同类二次根式，则b＝．

9．（4分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，延长BC到E，使CE ＝CD，DF⊥BC于点F，则F点到DE距离为．

10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+5＝0与x2+5x﹣k＝0只有一个公共的实根，求关于x的方程|x2+kx|＝|k|所有的实根之和为．

11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．

12．（4分）课堂上，郭老师将一副标准三角板如图放置，若DB＝2，那么点E到BC的距离为．

13．（4分）某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．则这间宿舍里住学生人数为人．三、解答题（每小题6分，共48分）

14．（6分）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；

15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．

16．（12分）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元．5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超

市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．

17．（12分）意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①（左边白色部分）和②（右边黑色部分）拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF刚好可以由两个正方形和

：S正方形CDEG 两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为28，S

正方形ABGF ＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A'F'＝90°，求四边形B'C'E'F'的面积．

18．（12分）如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4．

（1）求k的值；

＝9时，在线段AC （2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S

△ACD

上取一点F，使得CF＝FA，点M，N分别为x轴、y轴上的动点，连接NF，将△CNF 沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值；

（3）如图2，H，P分别为射线AC，AO上的动点，连接PH，PC是否存在这样的点P，使得△PCH为等腰三角形，△PHA为直角三角形同时成立．请直接写出满足条件的点P 坐标．

四、填空题（每小题4分，共20分）

19．（4分）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为．

20．（4分）对于实数x，符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则关于x的方程的整数解x为．

21．（4分）分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝．

22．（4分）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为．

五、解答题（每小题10分，共30分）

23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，

y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N （4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D和E的融合点．

（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；

（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：

（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．