2020年北京市平谷区中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年北京市平谷区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.某年全国财政收入为9057.97亿元，9057.97用科学记数法表示为()
A. 9.05797×102
B. 9.05797×103
C. 9.05797×104
D. 9.05797×105
2.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的
是()
A. B.
C. D.
3.一个多边形的内角和是900°，则它是()边形．
A. 八
B. 七
C. 六
D. 五
4.有理数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()．
A. m>0；
B. n<0；
C. mn>0；
D. mn<0．
5.如图，AC=BD，∠ADB=∠BCA=90°，AC与BD交于点E.有下列结
论：
①△ABC≌△BAD；
②△ADE≌△BCE；
③点E在线段AB的垂直平分线上；
④AC、BD分别平分∠DAB和∠CBA；
以上结论正确的个数有()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.如果a2+2a−1=0，那么代数式(a−4
a )·a2
a−2
的值是()
C. √2
D. 2
A. 1
B. 1
2
7.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格
点，则线段AB的长为()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 25
8.某同学将自己7次体育测试成绩(单位：分)绘制成折线统计图，
则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是()
A. 50和48
B. 50和47
C. 48和48
D. 48和43
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.因式分解；ab2+6ab+9a=______．
10.如图是某个几何体的表面展开图，则围成几何体后，与点E重合的两个点是．
11.若使代数式2x−1
有意义，则x的取值范围是_____．
x+2
12.已知点A(4,y1)，B(1,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=ax2−4ax+3(a>0)的图象上，则y1、
y2、y3的大小关系是______________.(从小到大排列)
13.说明命题“若x>−4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是_______．
14.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、
ED分别交于点M，N.已知AB=4，BC=6，则MN的长为______．
15.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”.内容
为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”.大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，请你算出塔的顶层有_____________盏灯．
16.如图，是光明中学七年级(2)班四个小组交的创新教育实践的调查报告，四个小组中交的篇数最
多的有______篇，占全班总数的______%.
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17.计算：2tan45°−|√2−3|+(1
2
)−2−(4−π)0．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）
18.解不等式组：{2(x+1)≤x+4 x−1
3
<x+1
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，AM=AN，∠N+
∠CAN=180°.求证：MN=AC．
20.已知：关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若a，b是此方程的两个根，且满足(a2−2a+2)(2b2−4b−1)=3，求m的值．
21.如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE//AC，CE//BD，DE、CE相交于点E.求证：
(1)四边形OCED是菱形．
(2)连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．
22.如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=
DA，AE//BC交CF于E．
(1)求证：EA是⊙O的切线；
(2)求证：BD=CF．
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数
(x>0)的图象交于点A(3,2)．
y=m
x
(1)求k，m的值；
(2)将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y=
m
(x>0)的图象交于点D．
x
①当t=2时，求线段CD的长；
②若√2≤CD≤2√2，结合函数图象，直接写出t的取值范围．
24.为了调查学生对雾霾知识的了解程度，某校抽取400名同学做了一次调查，调查结果共分为四
个等级，A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
(1)m=__________，n=__________；
(2)请在图中补全条形统计图；
(3)请问如图所示的扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是多少度？
(4)该校共有学生2400人，求全校对雾霾非常了解和比较了解的学生共有多少人．
25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)，以
AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若AB=√2，CD=1，则△DCE的周长为______．
拓展：(1)如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为______．
(2)如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为______．
26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−mx+n．
(1)当m=2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A(−2,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2>y1，则x2的取值范围是______；
(2)已知点P(−1,2)，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n=3时，若抛物线与线段PQ
恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
27.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针
旋转α°(0<α<180)，得到线段BD，且AD//BC．
(1)依题意补全图形；
(2)求满足条件的α的值；
(3)若AB=2，求AD的长．
28.如图，一次函数y=kx−2(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例
(x>0)的图象交于点B(3,b).点C是线段AB上的动点(与
函数y=3
x
点A、B不重合)，过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数
的图象于点D，O为坐标原点．
(1)求△OCD面积为3
时，点D的坐标；
2
(2)求△OCD面积的最大值；
(3)当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在
r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
解：9057.97=9.05797×103，
故选：B．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
2.答案：C
解析：
根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3.答案：B
解析：
本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
根据多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
解：设这个多边形的边数为n，
则有(n−2)×180°=900°，
解得：n=7，
∴这个多边形的边数为7．
故选B．
4.答案：D
解析：
本题考查的是数轴有关知识及有理数的乘法，首先根据数轴判断出m，n的符号，然后再进行解答即可．
解：由题意可得：m<0，n>0，
∴mn<0．
故选D．
5.答案：C
解析：
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△BAC，可得∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB，AD=BC，再由“ASA”可证△ADE≌△BCE，可得AE=BE，即可求解．
解：∵AC=BD，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，
∴∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB，AD=BC，
∴∠DAE=∠CBE，且AD=BC，∠ADB=∠BCA=90°，
∴△ADE≌△BCE(ASA)，
∴AE=BE，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
故①②③正确，由题意无法证明④正确，
故选：C．
6.答案：A
解析：
先将原式进行化简，然后将a2+2a的值整体代入计算即可．本题考查了分式的化简求值，运用整体代入法是解题的关键．【详解】
解：(a−4
a )·a2
a−2
=
a2−4
a
⋅
a2
a−2
=
(a−2)(a+2)
a
⋅
a2
a−2
=a2+2a
∵a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1．
故选A．
7.答案：A
解析：
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用.建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
解：如图所示：
AB=√AC2+BC2=5．
故选：A．
8.答案：A
解析：解：由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，
7次测试成绩的众数为50，中位数为48，
故选：A．
根据折线统计图，可得该同学7次的成绩，根据众数、中位数，可得答案．
本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．9.答案：a(b+3)2
解析：解：ab2+6ab+9a
=a(b2+6b+9)
=a(b+3)2．
故答案为：a(b+3)2．
直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10.答案：A，C
解析：
【试题解析】
本题主要考查的是展开图折成几何体，解答本题需要同学们熟记四棱锥的特征及四棱锥展开图的各种情形．也可以动手操作一下，增强空间想象能力．
解：结合图形可知，围成几何体后，该几何体是四棱锥，
∴与点E重合的两个点是A点与C点．
故答案为A，C．
11.答案：x≠−2
解析：
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件．
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
∵分式2x−1
有意义，
x+2
∴x+2≠0，
解得：x≠−2．
故答案是：x≠−2．
12.答案：y2<y1<y3
解析：
【试题解析】
本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
解：∵二次函数的解析式为y=ax2−4ax+3(a>0)，
=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−4a
2a
∵A(4,y1)、B(1,y2)、C(−2,y3)，
∴点C离直线x=2最远，点B离直线x=2最近，
又∵a>0，
∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∴y2<y1<y3．
故答案为y2<y1<y3．
13.答案：x=−3(答案不唯一)
解析：
本题考查了命题与定理，
根据判断一个命题是否为假命题，举一个反例即可．
说明命题“x>−4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是x=−3．
−3>−4，但(−3)2<16
故答案为−3．
14.答案：4
3
解析：
延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ=BC，AB=DW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴∠BAD=90°，AD=BC=6，AD//BC，
∵F为AD中点，
∴AF=DF=3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=√AB2+AF2=√42+32=5，∵AD//BC，
∴∠Q=∠ECB，
∵E为AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
在△QAE和△CBE中
{∠QEA=∠BEC ∠Q=∠ECB AE=BE
∴△QAE≌△CBE(AAS)，∴AQ=BC=6，
即QF=6+3=9，
∵AD//BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴FM
BM =QF
BC
=9
6
，
∵BF=5，
∴BM=2，FM=3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，∵AB//CD，
∴△BNE∽△WND，
∴BN
NW =BE
DW
，
∴BN
5−BN+5=2
4
，
解得：BN=10
3
，
∴MN=BN−BM=10
3−2=4
3
，
故答案为：4
3
．
15.答案：3
解析：
该题主要考查一元一次方程的应用.根据题意，假设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．
解：假设顶层的红灯有x盏，由题意得：
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，
127x=381，
x=3(盏)；
答：塔的顶层是3盏灯．
故答案为：3．
16.答案：10 40
解析：解：四个小组中交的篇数最多的有10篇，占全班总数的10
6+4+10+5
×100%=40%．
由条形统计图可知：各小组中交的篇数及篇数最多的有10篇，求得全班总篇数，进而求得篇数最多的占全班总数的比值．
本题主要考查条形统计图，读懂统计图是解决本题的关键．
17.答案：解：原式=2×1−(3−√2)+4−1
=2−3+√2+4−1
=2+√2．
解析：【试题解析】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
18.答案：解：{2(x +1)≤x +4①x−13
<x +1② 由①得x ≤2，
由②得x >−2；
∴不等式组的解集为−2<x ≤2．
解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.答案：证明：∵∠ACB =90°，M 是斜边AB 的中点，
∴CM =AM ，
∴∠MCA =∠MAC ，
∵AM =AN ，
∴∠AMN =∠ANM ，
∵∠N +∠CAN =180°，
∴AC//MN ，
∴∠AMN =∠MAC ，
∴∠AMC =∠NAM ，
∴AN//MC ，又AC//MN ，
∴四边形ACMN 是平行四边形，
∴MN =AC ．
解析：根据直角三角形的性质得到CM =AM ，得到∠MCA =∠MAC ，根据平行线的判定定理得到AC//MN ，AN//MC ，得到四边形ACMN 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明．
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜
边的一半是解题的关键．
20.答案：解：(1)∵x2−2x−m=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4(−m)≥0，
解得m≥−1；
(2)∵a，b是此方程的两个根，
∴a2−2a−m=0，b2−2b−m=0，
∴a2−2a=m，b2−2b=m，
∴(m+2)(2m−1)=3，
整理得2m2+3m−5=0，
解得m1=−5
，m2=1，
2
∵m≥−1，
∴m=1．
解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
(1)根据判别式的意义得到Δ=(−2)2−4(−m)≥0，然后解不等式即可；
(2)根据方程解的定义得到a2−2a−m=0，b2−2b−m=0，则a2−2a=m，b2−2b=m，所以(m+2)(2m−1)=3，再解关于m的一元二次方程，然后利用(1)中的条件确定m的值．
21.答案：解：(1)证明：∵DE//OC，CE//OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∴OC=DE，OD=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴CE=OC=OD=DE．
∴四边形OCED是菱形；
(2)如图，连接OE．
在Rt△ADC中，AD=4，CD=3，
由勾股定理得，AC=5，∴OC=2.5，
∴C
菱形OCED
=4OC=4×2.5=10，
在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OE//AD．
∵DE//AC，OE//AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=4．
∴S
菱形OCED =1
2
CD⋅OE=1
2
×3×4=6．
解析：此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．
(1)首先由CE//BD，DE//AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
(2)根据C菱形OCED=4OC以及S
菱形OCED =1
2
CD·OE即可解决问题．
22.答案：证明：(1)连接OA，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE//BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵{AB=AC
∠BAD=∠CAF AD=AF
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
解析：(1)根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE 是⊙O的切线；
(2)先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，
得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
23.答案：解：(1)将点A(3,2)的坐标分别代入y=kx−1和y=m
x
中，得
2=3k−1，2=m
3
，
∴k=2，m=3×2=6；
(2)①∵直线y=kx−1与y轴交于点C(0,−1)，
∴当t=2时，C(0,1)．
此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=6
x
中，整理得，x(x+1)=6，
解得x1=−3(舍去)，x2=2，
∴D(2,3)，
∴CD=2√2．
②当CD=√2时，点C的坐标为(0,6)，
∴2≤t≤6．
解析：(1)将点A分别代入y=kx−1(k≠0)与函数y=m
，即可求出k、m的值；
x
(2)①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=6
中，整理得，x(x+1)=6，解方程求出点D的坐
x
标，即可求出CD的长；②观察图象解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
24.答案：解：(1)15%；35%．
(2)∵D等级的人数为：400×35%=140，
∴补全条形统计图如图所示：
(3)D部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=126°．
(4)2400×(5％+15％)=2400×20％=480(人)．
答：全校对雾霾非常了解和比较了解的学生共有480人．
解析：
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
(1)根据被调查学生总人数，用B的人数除以被调查的学生总人数计算即可求出m，再根据各部分的百分比的和等于1计算即可求出n；
(2)求出D的学生人数，然后补全统计图即可；
(3)用D的百分比乘360°计算即可得解；
(4)根据非常了解和比较了解的学生共占(5％+15％)，就可得出答案．
解：(1)60÷400×100%=15%，
1−5%−15%−45%=35%，
故答案为15%；35%．
(2)见答案．
(3)见答案．
(4)见答案．
25.答案：解：2+√2；(1)BC=CD−CE；(2)BC=CE−CD．
解析：
解：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD.
应用：在Rt△ABC中，AB=AC=√2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC−CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE=√2，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+√2
故答案为：2+√2
拓展：(1)同探究的方法得，△ABD≌△ACE.
∴BD=CE
∴BC=CD−BD=CD−CE，
故答案为BC=CD−CE；
(2)同探究的方法得，△ABD≌△ACE.
∴BD=CE
∴BC=BD−CD=CE−CD，
故答案为：BC=CE−CD．
探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；
应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；
拓展：(1)同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；
(2)同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ABD≌△ACE，是一道中考常考题．
26.答案：(1)①∵m=2，
∴抛物线为y=x2−2x+n．
=1，
∵x=−−2
2
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
∵当线x=1时，y=1−2+n=n−1，
∴顶点的纵坐标为：n−1．
②x2<−2或x2>4．
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
x=−2到x=1的距离为3，
∴点A(−2,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2>y1，则x2的取值范围是x2<−2或x2>4，
故答案为：x2<−2或x2>4．
(2)∵点P(−1,2)，向右平移4个单位长度，得到
点Q．
∴点Q的坐标为(3,2)，
∵n=3，
抛物线为y=x2−mx+3．
；
当抛物线经过点Q(3,2)时，2=32−3m+3，解得m=10
3
当抛物线经过点P(−1,2)时，2=(−1)2+m+3，解得m=−2；
=2，解得m=±2．
当抛物线的顶点在线段PQ上时，12−m2
4
结合图象可知，m的取值范围是m≤−2或m=2或m>10
．
3
．
故答案为：m≤−2或m=2或m>10
3
解析：本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．
(1)①把m=2代入抛物线解析式，利用x=−b
，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含
2a
n的式子表示出顶点的纵坐标；
②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；
(2)把n=3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P(−1,2)，抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论．
27.答案：解：(1)满足条件的点D和D′如图所示．
(2)作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E.则四边形AFED是矩形．
∴AF=DE，∠DEB=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∴AF=1
BC，
2
∵BC=BD，AF=DE，
∴DE=1
2
BD，
∴∠DBE=30°，
∴∠D′BC=120°+30°=150°，
∴满足条件的α的值为30°或150°．
(3)由题意AB=AC=2，
∴BC=2√2，
∴AF=BF=DE=√2，
∴BE=√3DE=√6，
∴AD=√6−√2，AD′=2√6−(√6−√2)=√6+√2．
解析：(1)根据要求好像图形即可．
(2)分两种情形分别求解即可．
(3)解直角三角形求出BE，BF即可解决问题．
本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．
28.答案：解：(1)∵点B(3,b)在反比例函数y=3
x
的图象上，
∴3b=3，
∴b=1，
∴B(3,1)，
∵点B(3,1)在一次函数y=kx−2(k≠0)的图象上，
∴3k−2=1，
∴k=1，
∴直线AB的解析式为y=x−2，
设点C的坐标为(m,m−2)(0<m<3)，
∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，
∴D(m,3
m
)，
∴CD=3
m −(m−2)=3
m
+2−m，
∴S△OCD=1
2CD⋅m=1
2
(3
m
+2−m)×m=−1
2
(m2−2m−3)，
∵△OCD面积为3
2
，
∴−1
2(m2−2m−3)=3
2
，
∴m=0(舍)或m=2，∴D(2,3
2
)，
(2)由(1)知，S△OCD=−1
2(m2−2m−3)=−1
2
(m−1)2+2，
∵0<m<3，
∴m=1时，△OCD面积的最大值为2．
(3)存在，
理由：∵直线AB的解析式为y=x−2，
∴A(0,−2)，
∴OA=2，
由(1)知，B(3,1)，
∴OB=√=√10
由(2)知，m=1，
∴C(1,−1)，D(1,3)，
∴OC=√12+12=√2，OD=√12+32=√10，
∴OC<OA<OB=OD，
∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．
∴2<r≤√10．
解析：(1)将点B坐标代入反比例函数解析式中，求出b，进而得出B的坐标，再将点B坐标代入直
线解析式中，求出直线AB解析式，设出点C坐标，进而表示出点D坐标，即可得出CD=3
m
+2−m，
即：S△OCD=−1
2
(m2−2m−3)，即可得出结论；
(2)由(1)得S△OCD=−1
2
(m2−2m−3)，配方即可得出结论；
(3)由(2)得出m，进而求出OA，OB，OC，OD，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，点和圆的位置关系，表示出△COD的面积是解本题的关键．。