初三数学提优专题(新定义问题)

第十四节新定义问题
讲方法
一、到点O的距离为d的点的轨迹
如图1,到定点O的距离等于定长d的点的轨迹是以O为圆心,d为半径的圆.
图1
二、直线l与⊙O相离,在⊙O上找一点到直线l的距离最小
如图2,过点O作直线l的垂线OH交l于H,交⊙O于A,即⊙O上A点到l的距离最小.
图2
三、与A、B两定点连接形成的角度不变的点的轨迹
如图3,点A、B是平面内的两个定点,若∠APB的大小不变,则点P在△ABP的外接圆的圆弧上
图3
四、定线动圆
一般会求解圆心到线的距离,进而求解圆心的运动位置,也会求解位于临界点圆的位置，如与定线相切的圆、过特殊点的圆等
学思路
铺垫
在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:
对于⊙C及⊙C外一点P，M、N是⊙C上两动点,当∠MPN最大, 称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”
直线l与⊙C相离,点Q在直线l上运动,当点Q关于⊙C的“视角”最大时,则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”.
(1)如图4,⊙O的半径为1,
①已知点A(1,1),直接写出点A关于⊙O的“视角”;已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O 的“视角”；
②若点B关于⊙O的“视角”为60°,直接写出一个符合条件的B点坐标;
(2)⊙C 的半径为1.
①点C 的坐标为(1,2),直线l:y=kx+b(k>0)经过点D(-23+1,0),若直线l 关于⊙C 的“视角”为60°,求可能的k 值;
②圆心C 在x 轴正半轴上运动,若直线y=3x+3关于⊙C 的上“视角”大于120°,直接写出圆心C 的横坐标x c 的取值范围.
图4
思路
①读懂定义,注意什么是点的视角
②60°为特殊角,可以用特殊直角三角形三边关系进行计算
③先找到临界值等于120°的位置,再找大于120°的轨迹
压轴题
【北京中考】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C,给出如下的定义:若⊙C 上存在两个点A 、B,使得∠APB=60°,则称P 为⊙C 的关联点,已知点D(21,2
1),E(0,-2),F(23,0) (1)当⊙O 的半径为1时.
①在点D 、E 、F 中,⊙O 的关联点是________
②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l 上的点P(m,n)是⊙0的关联点,求m 的取值范围；
(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r 的取值范围.
提能力
1.(北京中考) 如图6，在平面直角坐标系xOy 中,⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点,
点P 关于⊙C 的反称点的定义如下:若在射线CP 上存在一点P /,满足CP+CP /=2r,则称P /为点P
关于⊙C 的反称点,如图4-1-6为点P 及其关于⊙C 的反称点P /的示意图.
特别地,当点P /与圆心C 重合时,规定CP /=0.
(1)当⊙O 的半径为1时.
①分别判断点M(2,1),N （2
3，0），T(1, 3)关于⊙O 的反称点是否存在?若存在,求其坐标； ②点P 在直线y=-x+2上,若点P 关于⊙O 的反称点P /存在,且点P /不在x 轴上,求点P 的横坐
标的取值范围；
(2)⊙C 的圆心在x 轴上,半径为1,直线y=
33x+23与x 轴、y 轴分别交于点A,B,若线段AB 上存在点P,使得点P 关于⊙C 的反称点P /在⊙C 的内部,求圆心C 的横坐标的取值范围.
2.在平面直角坐标系xOy 中,给出如下定义:若点P 在图形M 上,点Q 在图形N 上,称线段PQ 长度的最小值为图形M,N 的密距,记为d(M,N).特别地,若图形M,N 有公共点,规定d(M,N)=0.
(1)如图7,⊙O 的半径为2.
①点A(0,1),B(4,3),则d(A,⊙O)=_________;d(B,⊙O)=___________________
②已知直线l:y=4
3x+b 与⊙O 的密距d(l,⊙O)=56,求b 的值; (2)如图8,C 为x 轴正半轴上一点,⊙C 的半径为1,直线y=-
33x+334与x 轴交于点D,与y 轴交于点E,线段DE 与⊙C 的密距d(DE,⊙C)<
2
1·请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.
3.(北京中考)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M,给出如下的定义:若在图形M 上存在点Q,使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1,则称点P 为图形M 的关联点.
(1)当⊙O 的半径为2时.
①在点P 1(21,0),P 2(21,23),P 3(2
5,0)中,⊙O 的关联点是_________; ②点P 在直线y=-x 上,若P 为⊙O 的关联点,求点P 的横坐标的取值范围;
(2)⊙C 的圆心在x 轴上,半径为2,直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B.若线段AB 上所有点都是⊙C 的关联点,直接写出圆心C 的横坐标的取值范围
4.在平面直角坐标系xOy 中,⊙C 的半径为r(r>1),P 是圆内与圆心C 不重合的点,⊙C 的“完美点”的定义如下:若直线CP 与⊙C 交于点A,B,满足|PA-PB|=2,则称点P 为⊙C 的“完美点”,如图9为⊙C 及其“完美点”P 的示意图.
(1)当⊙O 的半径为2时.
①点M(2
3,0)_________ ⊙O 的“完美点”, 点N(0,1) _________ ⊙O 的“完美点”, 点T(-23,-2
1)_________⊙O 的“完美点”(填“是”或者“不是”); ②若⊙O 的“完美点”P 在直线y=3x 上,求PO 的长及点P 的坐标;
(2)⊙C 的圆心在直线y=3x+1上,半径为2,若y 轴上存在⊙C 的“完美点”,求圆心C 的纵坐标t 的取值范围.。