直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学

解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经 过第四象限，则有a≤3.
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若 直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过
第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝
答案：2x－y＋1＝0
题型一 求直线的一般式方程 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－1，经过点 A(8，－2)； 2
(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、－3；
2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解析：选择合适的直线方程形式．
②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直．
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存 在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1， 所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
解析：∵kAB＝
m－2－3 －5－－2m
，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－
13，∴由题意得－m5－＋52m＝－13，解得m＝4.故选A.
答案：A
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式 为：2x－y＋1＝0.
解析：(1)方法一 将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(1，3)，
55 而点 A(1，3)在第一象限内，故不论 a 为何值，l 恒过第一象限．
55
方法二 直线 l 的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的 a 总成立，
(1) 若 l1∥l2 ⇔ A1B2 － A2B1 ＝ 0 且 B1C2 － B2C1≠0( 或 A1C2 － A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝ 0，(m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝ 0.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y
的二元一次方程来表示．( √ )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( √ )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.( × ) (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．(
解析：(1)方法一 ①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2 ＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．
②若m＋1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－ m＋2 1，k2＝－m3 ，若l1∥l2时，k1＝k2，即－m＋2 1＝－m3 ，解得m＝2
或m＝－3，经验证，m＝2或－3符合条件，所以m的值为2或－3.
(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0. (3)由截距式得3x＋－y3＝1，即2x－y－3＝0.
2 (4)由两点式得－y－4－－－22＝5x－－33，即x＋y－1＝0.
[方法技巧]
求直线一般式方程的策略
1．当 A≠0 时，方程可化为 x＋BAy＋CA＝0，只需求BA，CA的值； 若 B≠0，则方程化为 ABx＋y＋CB＝0，只需确定AB，CB的值．因此， 只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还 是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一
般式．
题型二 直线一般式下的平行与垂直问题 例 1 (1)已知直线 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 l2：mx＋3y －2＝0 平行，求 m 的值； (2)当 a 为何值时，直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0 与直线 l2： (a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直？ 分析：注意考虑斜率不存在情况
√
)
2．在直角坐标系中，直线x＋ 3y－3＝0的倾斜角是( ) A．30° B．60° C．150° D．120°
解析：直线斜率k＝－ 33，所以倾斜角为150°，故选C. 答案：C
3．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1 ＝0平行，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．10 D．－10
变式训练 1 已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0，求直线 l′ 的一般式方程，l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解析：方法一 由题设 l 的方程可化为 y＝－3x＋3， 4
∴l 的斜率为－3. 4
(1)由 l′与 l 平行，∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为 y－3＝－3(x＋1)，即 3x
若
m＝0
时，直线
l1
的方程为
y＝5和 4
x＝4，这两条直线垂直．
综上 m＝0.
答案：0
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
忽视斜率不存在，把直线的一般 含参数的直线方程中，一定注意
式化为斜截式得，kl1＝－m8 ，kl2
垂直于 x 轴的情况，此情况直线 方程存在而斜率不存在，常常忽
＝－21m导致出错.
视而漏解.
题型三 由含参一般式求参数的值或取值范围 例 2 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围．
分析：1当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线 总经过第一象限；2直线不过第二象限，即斜率大于 0 且与 y 轴的 截距不大于 0.
方法二 由直线 l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得 a＝±1. 将 a＝±1 代入方程，均满足题意． 故当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
[方法技巧] 1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
必有
5x－1＝0， 5y－3＝0，
x＝1， 5
即 y＝35.
即 l 过定点 A(1，3).以下同方法一． 55
(2)直线OA的斜率为k＝3515－－00＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a的取值范围为[3，＋∞)．
变式探究 1 本例中若直线不经过第四象限，则 a 的取值范围 是什么？
1 a－1
x－
a＋2 a－1
，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且
在y轴的截距小于等于零，即
a－1 1≥0， aa＋－21≥0，
解得
a＞1 a≤－2或a＞1
，所以a＞1.综上可知a≥1.
[方法技巧] 求直线过定点的策略
1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标； 2．将方程变形，把 x，y 看作参数的系数，因为此式子对于任 意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x，y 的值， 即为直线过的定点．
易错辨析 忽视斜率不存在的情况引发错误
例 3 已知直线 l1：mx＋8y＋m－10＝0 和直线 l2：x＋2my－4 ＝0 垂直，则 m＝________.
解析：若 m≠0 时，kl1＝－m8 ，kl2＝－21m
∵kl1·kl2＝(－m8 )×(－21m)＝116≠－1，显然不成立，因此两条直 线不能垂直；
方法二 令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合， ∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2 不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)方法一 由题意，直线 l1⊥l2， ①若 1－a＝0，即 a＝1 时，直线 l1：3x－1＝0 与直线 l2：5y ＋2＝0，显然垂直．
[答疑解惑]
在方程 Ax＋By＋C＝0 中， ①当 A＝0、BC≠0 时，方程为 y＝－C，表示的直线平行于 x
B 轴．
②当 B＝0、AC≠0 时，方程为 x＝－CA，表示的直线平行于 y 轴．
③当 A＝C＝0，B≠0 时，方程为 y＝0，表示 x 轴． ④当 B＝C＝0，A≠0 时，方程为 x＝0，表示 y 轴．
2.2.3直线的一般式方程
[知识要点]
要点 直线的一般式方程
1．定义：关于 x，y 的二元一次方程___A_x_＋__B_y_＋__C__＝__0_____(其中
A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表
示． 3．系数的几何意义：当 B≠0 时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y 轴
上的截距)； 当 B＝0，A≠0 时，则－C＝a(x 轴上的一般式： ①方程是关于 x，y 的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排 列． ③x 的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件 即可求得直线的方程．
变式训练 2 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 为直线 l 的方程， 求证：不论 k 取何实数，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标．
证明：整理直线 l 的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论 k 取何
值，该式恒成立，
所以
x＋y＝0， x－y－2＝0，
解得
x＝1， y＝－1.
所以直线 l 经过定点 M(1，－1)．
4 ＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43， 又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得 m＝－9. ∴所求直线方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设其方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线方程为 4x－3y＋13＝0.