双曲线及其标准方程

m 1或m 2
m 1 0 3 1 m 2且m 2 m 0 解： 2 m 1 2 m 2 2 x y 若m R, 方程 1表示哪种曲线. m 1 2 m
若此方程表示椭圆，m 的取值范围？
练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及a: 2 2 x y (0,-5),(0,5) =1 (1) 9 a =3 16
F2
；
；
以F1、F2为端点的两条射线 ； 若a=c，动点M的轨迹 M
不存在 若a>F c1，动点M的轨迹 F2 .
F1
M 线段F1F2的垂直平分线 若a=0，动点M的是轨迹_______________________.
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小
.
双曲线的标准方程：
如图建立坐标系，使x轴经过F1、F2， 并 且原点O与线段F1F2的中点重合。设M(x,y) 为双曲线上任一点,双曲线焦距为 2c(c>0),则F1(－c,0), F2(c,0) F1 P= {M ||MF1 | - | MF2| = ±2a }
2
1.若 PF1 PF2 6呢？
2.若 PF1 PF2 10呢？
两条射线 轨迹不存在
3.若 PF1 PF2 12呢？
例2.求双曲线的标准方程. (1)c= 6 ,经过点(-5,2)焦点在x轴上;
2 2
x y 解(1): 1(0 6), 6
则 5, 30(舍去) x 2 y 1 5
(2)
2 x -
3
2 y =
3
(-2,0),(2,0) a= 3
例题分析
例1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1 、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程. 解：由双曲线的定义知点 P 的轨迹是双曲线.因为 双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b 2c=10 a 3 2 2 2 由已知 , , b c a 25 9 16 2a=6 c 5
2 x a2
-
y2 ( a >0, b >0) 1 = b2
双曲线的标准方程：
2 y 方程 a2 - b2 = 1 (a>0,b>0) 叫做双曲线的标准方程
M
y
y
o
x2
它表示的双曲线焦点在x轴上， 焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
x
F1
M y
F2
x
2 2 2 x y x -y 1 方程 a2 b2 = (a>0,b>0) x 叫做双曲线的标准方程 y
常数等于|F1F2| 、 大于|F1F2| 、等于0呢?
问题2
①常数等于|F1F2|时
P
Q
M M F1 F2 ||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P， F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
②常数大于|F1F2 |时 |MF1|－|MF2| >|F1F2| 是不可能的，因为三角 形两边之差小于第三边。此时无轨迹。 ③常数等于0时
y x y
F22 F
它表示的双曲线焦点在y轴上， 焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2
x y y F y y M M
1
o o o
F11 F
x x x x
x F 2
y
x
问题
1、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系? 2、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
焦点在x轴上
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
问题1
P= P= {M {M ||| |MF |MF ||| MF | MF | |=2 2a } 11 2|2= P= {M ||MF | -F | MF 2| =－2a } 平面内与两个定点 F1 ， 的距离的差的绝对值等于常
1 2
数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。这两个定 点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.
2 2
焦点在y轴上
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
看 x , y 前的系数，哪一个为正， 则焦点在哪一个轴上
练一练:
x2 y2 1 表示双曲线， 已知方程 m 1 2 m
则 m 的取值范围是____________. 解： ( m 1)(2 m) 0
y
M
o
F2
x
(x c) y (x c) y 2a
2 2 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
移项平方整理得 cx -a2=±a (x-c)2+y2 再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得：
x2 y 2 1 所求双曲线的方程为： 9 16
例题分析
例1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程. 所求轨迹的方程为：
x y 1 9 16
x2 y 2 1( x 0) 9 16
2
2
已知焦距和 焦点的位置 如何设标准 方程？
例2.求双曲线的标准方程. x y (2)与双曲线 - =1有共同焦点,过 16 4 点(3 2 ,2);
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
2.3.1双曲线及其标准方程
复习与问题
1、椭圆的定义是什么？
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常 数（大于 大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
M
M
F1
F2
思考
到平面上两定点 F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为非零常数的点的 轨迹是什么?
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
M 则|MF1|=|MF2| 此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 F1 F2
试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？ （F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支