人教B版高中数学必修四§3.3 三角函数的积化和差与和差化积

§3．3 三角函数的积化和差与和差化积
课时目标
1．能从两角和与差的正、余弦公式推导积化和差与和差化积公式．2．了解积化和差与和差化积的简单运用．
一、选择题
1．cos 215°＋cos 2
75°＋cos15°cos75°的值是( ) A ．32B ．62C ．34D ．54
2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )
A ．2
B ．1
C ．1
2
D ． 3
3．cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°的值为( )
A ．－12
B ．12
C ．32
D ．22
4．化简1＋sin 4α－cos 4α
1＋sin 4α＋cos 4α
的结果是( )
A ．cot2α
B ．tan2α
C ．cot α
D ．tan α
5．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D ．最小正周期为π的非奇非偶函数
6．cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2
(30°－α)的值为( ) A ．12B ．32C ．34D ．14
二、填空题
7．sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________． 8．给出下列关系式：
①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ； ②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；
③sin3θ－sin5θ＝－1
2
cos4θcos θ；
④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；
⑤sin x sin y ＝1
2
[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．
其中正确的序号是________．
9．sin20°cos70＋sin10°sin50°的值是________．
10．已知cos 2α－cos 2
β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________．
三、解答题
11．求证：1＋cos x ＋cos x 2＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 4－π6．
12．求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°．
能力提升
13．求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C
2．
14．已知sin α－sin β＝－13，cos α－cos β＝1
2
，求sin(α＋β)的值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会．只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可．
2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．
3．除了课本上所列的积化和差公式、和差化积公式外，公式
1－cos α＝2sin
2
α
2
，1＋cos α＝2cos
2
α
2
，a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2
sin(α＋φ)也应
视作和差化积公式；同样sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2
α＝1＋cos 2α2
也应视作积化和差公式．
§3．3 三角函数的积化和差与和差化积
答案
知识梳理 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)] 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －1
2
[cos(α＋β)－cos(α－β)] 2sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cos θ＋φ2sin θ－φ2 2cos θ＋φ2cos θ－φ2
－2sin θ＋φ2sin θ－φ2
作业设计
1．D [原式＝1＋cos 30°2＋1＋cos 150°2＋cos 90°＋cos 60°2＝5
4．]
2．B [y ＝2sin x cos π
3
＝sin x ．]
3．B [原式＝(cos20°＋cos140°)＋cos100°＋cos60°
＝2cos80°cos60°＋cos100°＋cos60°＝cos80°－cos80°＋cos60°＝1
2
．]
4．B [原式＝2sin 2
2α＋2sin 2αcos 2α
2cos 2
2α＋2sin 2αcos 2α
＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)
＝tan2α．] 5．D [f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin π2
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12
∴T ＝2π
2
＝π，f (x )为非奇非偶函数．]
6．C [原式＝1＋cos 2α2－12[cos(60°＋2α)＋cos60°]＋1－cos (60°－2α)
2
＝1＋12cos2α－12cos(60°＋2α)－14－1
2cos(60°－2α)
＝34－12[cos(60°＋2α)＋cos(60°－2α)]＋1
2cos2α ＝34－12×2cos60°cos2α＋12cos2α＝34．] 7．－ 3
解析 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°
＝－2cos30°＝－2×
3
2
＝－3． 8．⑤
解析 ①②③④都错，只有⑤是正确的． 9．14
解析 原式＝12(sin90°－sin50°)＋1
2
(cos40°－cos60°)
＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14． 10．－m
解析 cos 2α－cos 2
β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)
＝2cos α＋β2cos α－β2⎝
⎛
⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin α－β2
＝－2sin α＋β2cos α＋β2·2sin α－β2cos α－β
2
＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m ∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－m ． 11．证明 左边＝2cos 2
x 2＋cos x
2
＝2cos x 2⎝
⎛
⎭⎪⎫cos x 2＋12
＝2cos x 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos x 2＋cos π3
＝2cos x 2·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 4－π6
＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 4－π6＝右边．
12．解 原式＝12(cos120°＋cos40°)＋12(cos240°＋cos80°)＋1
2
(cos200°＋cos120
°)
＝12(cos40°＋cos80°＋cos200°)－3
4 ＝12(2cos60°cos20°－cos20°)－34 ＝12(cos20°－cos20°)－34＝－34
． 13．证明 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C
2
＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2
＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2
＝4sin A 2sin B 2cos C
2＝右边．
14．解 sin α－sin β＝2sin
α－β
2
cos
α＋β
2
＝－1
3
，①
cos α－cos β＝－2sin α－β2sin α＋β2＝1
2
．②
∴由②①得：tan α＋β2＝32
∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β
2
＝2sin α＋β2cos
α＋β2
sin 2α＋β2＋cos
2
α＋β2
＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×
321＋
94
＝12
13．。