2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2_课件_课后训练案巩固提升__第一章 推理与证明 1.2

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+
1������+xy,
只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,
只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0,
只需证(xy-1)(xy+1-x-y)≥0,
只需证(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.
因为x≥1,y≥1,所以上式显然成立.
所以原不等式成立.
探究一
探究二
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探究三
规范解答
,
1 2������
+
1 2������

������+2 ������.
以上三个不等式相加得ห้องสมุดไป่ตู้
1 2������
+
1 2������
+
1 2������
+
1 2������
+
1 2������
+
1 2������

2 ������+������
+
2 ������+������
+
������+2 ������.
分析法的应用
【例 2】 已知 a>0,求证:
������2
+
1 ������2

√2≥a+1������-2.
分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用
分析法,寻找结论成立的充分条件.
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AYIJIEHUO
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∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)
≥2xy+2yz+2xz.
∴3(x2+y2+z2)
≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,
即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1.
∴x2+y2+z2≥13
当且仅当������
=
������
=
������
=
1 3
时,取等号
.
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∴32sin B+√23cos B=√3,即 sin (B+30°)=1. ∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°,即B=60°. ∴A=B=C=60°.因此△ABC为等边三角形.
探究一
探究二
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探究三
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AYIJIEHUO
式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
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AYIJIEHUO
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)综合法是由因导果的顺推证法. ( √ ) (2)分析法是执果索因的逆推证法. ( √ ) (3) 分析法的推理过程要比综合法优越. ( × ) (4)所有证明的题目均可使用分析法证明. ( × )
·√������������
·√������������
=
√������2������2������2=abc,
即������+������
2
·������+2 ������
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探究三
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(2)∵由(1)知A=60°,且A+B+C=180°, ∴B+C=120°. 又 sin B+sin C=√3, ∴sin B+sin (120°-B)=√3,
即 sin B+(sin 120°cos B-cos 120°sin B)=√3.
证明:因为√������������ ≤ ������+2������,所以√1������������ ≥ ������+2������.
所以 1
2������
+
1 2������

1 √������������

������+2 ������.
同理,可得21������
+
1 2������

2 ������+������
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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综合法与分析法的综合应用
【例3】 已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1,求证: logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解决本题的关键是利用对数的运算法则和对数函数的性质 转化为证明整式不等式.
探究一
探究二
探究三
规范解答
证明:要证
������2
+
1 ������2

√2≥a+1������-2
成立,
只需证 ������2 + ���1���2+2≥a+1������ + √2成立,
又 a>0,只需证
2
������2
+
1 ������2
+
2

������
+
1 ������
+
√2
2
,
即证 a2+���1���2+4
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反思感悟综合法证明问题的思路 (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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【做一做2】
将下面用分析法证明
������2
+ 2
������2≥ab的步骤,补充完整:
要证
������2
+ 2
������2
≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证
,
即证
,由于
显然成立,因此原不等
而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
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探究二
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AYIJIEHUO
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反思感悟利用分析法证明不等式 (1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明. (2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条 件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式. (3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要 证”“只需证”“即证”等词语.
只需证明 logx
������+������ 2
·������+2 ������
·������+2 ������
<logx(abc).
∵0<x<1,∴只需证明������+2������ ·������+2 ������ ·������+2 ������>abc.
∵a,b,c 都是正数,
∴������+������
√3 转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的 大小也为60°,命题得证.
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AYIJIEHUO
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证明:(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,
A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求证:A的大小为60°. (2)若sin B+sin C= √3 ,证明△ABC为等边三角形. 分析:(1)要证A的大小为60°,可先从已知条件出发,利用正弦定
理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小. (2)要证△ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sin B+sin C=
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变式训练
2

x≥1,y≥1,求证:x+y+������1������

1 ������
+
1������+xy.
证明:要证
x+y+������1������

1 ������
(5)欲证√2 − √3 < √6 − √7成立,只需证(√2 − √3)2<(√6 − √7)2 成立即可. ( × )
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综合法的应用 【例1】 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin
������2 + ���1���2+4≥a2+2+���1���2+2√2
������
+
1 ������
+2 成立.
从而只需证 2
������2
+
1 ������2

√2
������
+
1 ������
成立,
只需证 4
������2
+
1 ������2
≥2
������2
+
2
+
1 ������2
,
即 a2+���1���2≥2 成立.
3.能根据综合法、分析法的推理
特点及问题的特征,选择适当的方 法进行数学命题的证明.
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1.综合法 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演 绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们 把这样的思维方法称为综合法. 名师点拨综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”. (2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所 要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下: P⇒Q1 Q1⇒Q2 Q2⇒Q3 … Qn⇒Q
2

√������������>0,������+2 ������

√������������>0,������+2 ������

√������������>0,
又 a,b,c 不全相等,
∴������+������
2
·������+2 ������
·������+2 ������
>
√������������
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AYIJIEHUO
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变式训练
1
已知
a,b,c
都是正数,求证:21������
+
1 2������
+
1 2������

1 ������+������
+
1 ������+������
+
������+1 ������.
整理得 1
2������
+
1 2������
+
1 2������

1 ������+������
+
1 ������+������
+
������+1 ������(当且仅当
a=b=c
时,取等号).
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探究三
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AYIJIEHUO
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且 ������
sin������
=
������ sin������
=
si���n��� ������,
∴2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,
即bc=b2+c2-a2.
∴cos A=������2+2������������2������-������2 = 12.因此 A=60°.
探究一
探究二
(3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易 于表达的特点.
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AYIJIEHUO
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【做一做1】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥
1
3.
证明:∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz,
§2 综合法与分析法
-1-
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AYIJIEHUO
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学习目标
思维脉络
1.了解综合法证明问题的思考过
程和推理特点,学会运用综合法证
明简单题目. 2.了解分析法证明问题的思考过 程和推理特点,学会运用分析法证
明简单题目.
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AYIJIEHUO
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2.分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理 等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需 证……,…由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中 的关联词语不能省略.
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