教学设计5：§1.1 第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征

§1.1 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征

教学目标

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.

2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.

3.了解简单组合体的概念及结构特征.

教学知识梳理

知识点一圆柱的结构特征

圆柱图形及表示

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所

围成的旋转体叫做圆柱

相关概念：

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

图中圆柱表示为

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱O′O

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

思考圆柱的轴截面有无穷多个，它们全等(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高相等.

知识点二圆锥的结构特征

圆锥图形及表示

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形

成的面所围成的旋转体

相关概念：

圆锥的轴：旋转轴

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

图中圆锥表示侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

为圆锥SO

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？

【答案】圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连

线都是母线.

知识点三 圆台的结构特征

圆台

图形及表示

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台

图中圆台表示为：圆台O ′O

相关概念： 圆台的轴：旋转轴

圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识点四 球的结构特征

球

图形及表示

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球

图中的球表示为球O

相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径

知识点五 简单组合体的结构特征

(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的.

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 教学案例

题型一 旋转体的结构特征

例1下列说法正确的是________.(填序号)

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；

④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

【答案】③④⑤

【解析】①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确.

反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成.

②明确旋转轴是哪条直线.

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.

跟踪训练1下列说法，正确的是()

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.

A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

【答案】D

【解析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.

题型二简单组合体的结构特征

例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.

解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.

(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.

反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.

(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.

跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()

A.棱柱、棱台

B.棱柱、棱锥

C.棱锥、棱台

D.棱柱、棱柱

【答案】B

(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()

A.一个圆台、两个圆锥

B.两个圆柱、一个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱

D.一个圆柱、两个圆锥

【答案】D

【解析】图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.

题型三旋转体的有关计算

例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.

解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.

又由题意知AB＝12 cm，

所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm).

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得l－12

l＝

2

5，解得l＝20(cm).

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

反思感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.

跟踪训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底