2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.1指数函数的概念、图象及性质课件新人教A版必修1

类型三 指数函数的定义域与值域 [例 5] 求下列函数的定义域和值域：
[解] (1)由 1－2x≥0 得 2x≤1，∴x≤0，∴y＝ 1－2x的定 义域为(－∞，0]．
由 0<2x≤1 得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1. ∴y＝ 1－2x的值域为[0,1)．
1.函数 y＝afx的定义域与函数 fx的定义域相同，值域要先 确定 fx的值域，再根据 y＝ax 的单调性确定 y＝afx的值域.
解析：由 1<x≤5 得－2<x－3≤2， 则 3－2<3x－3≤32，即19<f(x)≤9.故选 C.
4．函数 y＝3x－4＋b 的图象恒过定点(4,6)，则 b＝ 5 .
解析：∵当 x＝4 时 y＝6，即 34－4＋b＝6， 化简，得 30＋b＝6，b＝5.
5．已知函数 f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中 a>0 且 a≠1.
(2)函数 y＝(13)x 在区间[－1,2]上是减函数， 所以(13)2≤(13)x≤(13)－1，即19≤(13)x≤3.
于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.
1．给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是( B )

1 (3)已知函数 f(x)为指数函数，且 f－32＝ 93，则 f(－2)＝ __9______.
[分析] (1)(2)利用指数函数的定义；(3)设 f(x)＝ax，采用待
定系数法．
[解析] (1)由指数函数的定义可知，只有 B 符合定义． (2)由 y＝(a2－3a＋3)·ax 是指数函数， ∴aa2>－0且3aa＋≠31＝. 1， ∴a＝2.选 C. (3)设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2．1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的概念、图象及性质
[目标] 1.能说出指数函数的定义；2.记住指数函数的图象与 性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题．
[重点] 指数函数的概念、图象、性质．
[难点] 指数函数性质的概括总结.
要点整合夯基础 课堂达标练经典
[变式训练 2] 已知 1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝ nx 的图象为( C )
解析：由于 0<m<n<1，所以 y＝mx 与 y＝nx 都是减函数，故 排除 A、B，作直线 x＝1 与两个曲线相交，交点在下面的是函数 y＝mx 的图象，故选 C.
命题视角 2：指数函数过定点问题 [例 3] 函数 y＝a2x＋1＋2(a>0 且 a≠1)的图象必过定点
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 指数函数的概念
[填一填] 一般地，函数 y＝ax (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R .
[答一答] 1．下列函数是指数函数吗？ ①y＝3x＋1；②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2.
提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．
∴a＝3，∴f(x)＝3x， ∴f(－2)＝3－2＝19，故填19.
[变式训练 1] (1)已知指数函数图象经过点 P(－1,3)，则 f(3) ＝217.
(2)已知函数 f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x 为指数函数，则 a＝1 .
解析：(1)设指数函数为 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，由题意得 a－
其图象如图所示．
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞) 上是减函数．
(3)由图象知当 x＝－1 时，函数有最大值 1，无最小值．
与指数函数有关的函数的图象，一般是根据其解析式的结构 特征，利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到，然后利用图 象直观地研究其性质.
[变式训练 4] 函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是 (D )
知识点二
指数函数的图象和性质 [填一填]
[答一答] 3．观察同一直角坐标系中函数 y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝(12)x， y＝(13)x，y＝(14)x 的图象如图所示，能得到什么规律？
提示：(1)当 a>1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速 度越快．
(2)当 0<a<1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度 越快．
(3)底互为倒数时，图象关于 y 轴对称，即 y＝ax 与 y＝(1a)x 图象关于 y 轴对称．
4．怎样快速画出指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象？
提示：由指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性质知，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，(－1，1a)，只要 确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数 y＝ax(a>0， 且 a≠1)的图象．
设 a>b>1>c>d>0，则 y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx 的图象如 图所示，从图中可以看出：在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底 数由大变小，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小， 即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大，或者说 在第一象限内，指数函数的图象，底数大的在上边，也可以说底 数越大越靠近 y 轴．
2．指数函数定义中为什么规定 a>0 且 a≠1?
提示：①如果 a＝0，当 x>0 时，ax 恒等于 0；当 x≤0 时， ax 无意义．
②如果 a<0，例如 y＝(－4)x，这时对于 x＝12，14，…，在实 数范围内的函数值不存在．
③如果 a＝1，则 y＝1x 是一个常量，无研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定 a>0 且 a≠1.
解析：当 a>1 时，y＝ax－1a为增函数，函数 y＝ax－1a的图象 可由 y＝ax 的图象向下平移1a∈(0,1)个单位得到，A、B 均不符合 要求；
当 0<a<1 时，y＝ax－1a为减函数， 函数 y＝ax－1a的图象可由 y＝ax 的图象向下平移1a>1 个单位 得到，C 不符合，D 符合，所以选 D.
[变式训练 5] (1)已知函数 y＝ ax－1的定义域是(－∞，0]，
则实数 a 的取值范围为 0<a<1 ；
(2)函数 f(x)＝(13)x－1，x∈[－1,2]的值域为 [－89，2]
．
解析：(1)由 ax－1≥0，得 ax≥1＝a0，因为 x∈(－∞，0]， 由指数函数的性质知 0<a<1.
2.求函数 y＝fax的定义域，需先确定 y＝fu的定义域，即 u ＝ax 的值域，由此确定 x 满足的不等式组，再利用单调性求 x 的范围；求函数 y＝fax的值域，需先利用单调性求 u＝ax 的值 域，即 u 的取值范围，再确定函数 y＝fu的值域，即函数 y＝fax 的值域.
(1)求 a 的值． (2)求函数 y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点2，12， 所以 a2－1＝12，则 a＝12. (2)由(1)知函数 f(x)＝12x－1(x≥0)， 由 x≥0，得 x－1≥－1. 于是 0<12x－1≤12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．
定点 13，－2
.
(2)函数 f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)的图象恒过点(1,10)，则 m ＝9 .
解析：(1)令 3x－1＝0，即 x＝13时，y＝－2，所以函数 y＝ a3x－1－3(a>0 且 a≠1)过定点13，－2.
(2)由题意 f(1)＝10，即 a0＋m＝10，∴m＝9.
[例 2] 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝ dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为( B )
A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c
[解析] 由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底数必小 于 1.
过点(1,0)作直线 x＝1，如图所示，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则 1<d<c， b<a<1，从而可知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 b<a<1<d<c.
1＝3，解得 a＝13，所以 f(x)＝13x，故 f(3)＝133＝217. (2)函数 f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x 是指数函数，
a2－2a＋2＝1， ∴a＋1>0，
a＋1≠1，
解得 a＝1.
类型二 指数函数的图象 命题视角 1：指数函数的底与其图象的关系
类型一 指数函数的概念
[例 1] (1)下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是
(B ) A．y＝(－4)x
B．y＝πx
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2)若 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( C )
A．a＝1 或 2 B．a＝1
C．a＝2
D．a>0 且 a≠1
命题视角 3：指数函数的图象变换 [例 4] 已知函数 y＝13|x＋1|. (1)试利用指数函数的图象作出该函数的图象； (2)由图象指出该函数的单调区间； (3)由图象指出当 x 取何值时，函数有最值．
[解]
(1)y＝13|x＋1|＝313x＋x1＋，1，x<x－≥1－. 1，
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由指数函数的定义可知只有③是指数函数．
2．指数函数 y＝ax 与 y＝bx 的图象如图，则( C ) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1
解析：结合指数函数的图象知 b>1,0<a<1.
3．函数 f(x)＝3x－3(1<x≤5)的值域是( C ) A．(0，＋∞) B．(0,9) C.19，9 D.13，27
_－__12_，__3__．
[解析] 根据指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 (0,1)，不论 a 取什么值，总有 a0＝1，∴当 2x＋1＝0，即 x＝－12 时，y＝3.∴函数的图象必过定点－12，3.
[变式训练 3] (1)函数 y＝a3x－1－3(a>0 且 a≠1)的图象必过