多元微分

x y x y
6 2
3
lim
kx
6
4 2 2
x 0
x k x
lim
kx
4
2 2
x 0
x k
0
但
lim
y kx
x y x y
6 2
3
x 0
lim
x
6
6 6
x 0
x x
xy x y
2 2

1 2
故
( x , y ) ( x0 , y 0 )
lim
f ( x, y )
F a)一元隐函数： ( x , y ) 0 且 F ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域有一阶连续的偏
导数，且 其中
Fx
'
F ( x0 , y0 ) 0
，若
Fy ( x0 , y0 ) 0
'
则存在 y y ( x )
'
Fy
'
' ，F y 是二元函数 F ( x , y ) 对 x , y 的偏导数 .
''

y x
(
z
)
z
2
xy
f xy ( x , y ),
''
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z
2
x y yx
,

x y
(
z
)
z
2
yx
f yx ( x , y ),
''

y y
(
z
)
z
2
y
2
f yy ( x , y ),
''
若函数 z f ( x , y ) 的两个混合偏导数
u (x 2 y)
y2x
【例7.5】
，则
u x
x 1 y0
lim
f ( x, y )
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
xy x y
2 2
.
因为
lim
y kx
xy x y
2 2
x 0
lim
y kx
kx
2
2 2 2
x 0
x k x

k 1 k
2
不k有关
故 ( x , lim0 ,0 ) f ( x , y ) 丌存在。 y )( 【例7.2】
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【例7.1】
xy 2 2 f ( x, y ) x y 0
( x , y ) (0, 0 ) ( x , y ) (0, 0 )
证明
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
f ( x, y )
丌存在
解析：( x , y ) ( 0 ,0 )
2 2
2
x y

2
x y
2
2
0
( x , y ) ( 0 ,0 )
所以，由夹逼法则知
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
f ( x, y ) 0
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（二）多元函数的偏导数
（1）偏导数的概念 1）定义： 设函数 z
lim
f ( x, y )
lim
f ( x, y )
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
xy x y
2 2
.
因为 lim x
x 0
y kx
xy
2
y
2
lim
y kx
kx
2
2 2 2
x 0
x k x

k 1 k
2
不k有关，故
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
f ( x, y )
, g ( x, y ) x y
在
(0, 0 )
的连续
性不偏导数的存在.
f 解析： (0, 0 ) lim
' x
f ( x ) f (0 ) x0
x 0
0
f ， (0, 0 ) lim
' y
f ( y ) f (0 ) y0
x 0
0
偏导数存在
( x , y ) ( 0 ,0 )
，其中点集D称为函数
f ( D ) z z f ( x , y ), ( x , y )
称为函数的值域。
类似可定义三元函数 u f ( x , y , z ) 2)几何意义： 二元函数 z f ( x , y ) 表示空间曲面 例如
z
z x y
2
2 2
2
的图形为旋转抛物面；
导数存在，则
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z x
f u (u , v )
'
u x
f v (u , v )
'
v z u v ' ' , f u (u , v ) f v (u , v ) x y y y
①结构法：复合函数求偏导数等于若干项之和，其其项数取决于中间 变量的个数，每一项是两个偏导数的乘积。 2）隐函数求偏导 ①由一个方程所确定的隐函数的导数
的极限
②若可找到两条丌同路径沿 ( x , y ) 趋于 ( x 0 , y 0 ) 时 f ( x , y ) 的极限丌相等，
则二元函数的极限丌存在。特别，当 ( x 0 , y 0 ) =（0,0）时选择 y kx
若极限不k有关，则二元函数的极限丌存在。
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③即使沿着 y 是存在的。
kx
函数的极限存在也相等也丌能说明二元函数的极限
2）计算（可借助一元函数求极限的方法球二元函数的极限） （3）多元函数的连续性 1）定义：设二元函数 z
( x , y ) ( x0 , y 0 )
f ( x, y )
在 ( x 0 , y 0 ) 的邻域有定义， 若
P0 ( x 0 , y 0 )
' '
' z
( x0 , y0 , z 0 ) 0
则存在 z z ( x , y ) ， 且
z
'
， 其中 F
' x
, F y , Fz
是三元函数 F ( x , y , z ) 对 x , y , z 的偏导数。
②由方程组所确定的隐函数的导数 每个方程两边对同一自变量求导，然后用解方程组的方法求解。 2记忆方法: ⑴复合函数求偏导通常用结构法:复合函数的偏导数等于若干项之和, 其项数取决于中间变量的个数,每一项是两个偏导数的积. ⑵由一个方程
1 x y
的图形为上半球面。
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（2）二元函数的极限 1）定义：设 z
f ( x, y )
在 ( x 0 , y 0 ) 的去心邻域有定义，若对仸意 0
( x x0 ) ( y y0 )
2 2
存在 0 ，使得当0
时，有
f ( x, y ) A
'
' 根据导数的几何意义，f x ( x 0 , y 0 ) 是曲线 z f ( x , y ) 在 M 0 ( x 0 y 0 ) 处的

y y0
z f ( x, y ) 同理 f y ( x 0 , y 0 ) 是曲线 在 M 0 ( x 0 y 0 ) 处的切线对y轴的斜率。 x x0
①有界性：在有界闭区域D上连续的多元函数必定在D上有界。 ②最大值不最小值定理： 在有界闭区域D上连续的多元函数必定在D上 取得最大值和最小值。 ③介值定理：有界闭区域D上连续的多元函数必取得介于最大值和最 小值之间的仸何值。 3）二元初等函数在定义区域内连续。 2.记忆方法：二元函数连续性不一元函数的连续性在定义和闭区域上 的性质是十分相似的。定义——极限值等于函数值；性质——有界性， 存在最大值和最小值，介值定理。
f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 )
' '
y 0
如果函数在定义域内每点的偏导数都存在，则称 偏导函数. 2)偏导数的几何意义（数一数二）
为
由偏导数的定义，f x ( x 0 , y 0 ) 可看成函数 z f ( x , y 0 ) 在点 x 0 处的导数，
z
2
xy
,
z
2
yx
在某区域内均连续，
则在该区域内这两个混合偏导数必相等。 注：二阶混合偏导数在连续的时候一定要合并。 （2）求偏导的方法 1）复合函数求偏导
z f ( u , v ), v v ( x , y ) ，z 对 u , v 有连续的偏导数，u , v 对 x , y 偏
' ' 一般情况，函数 z f ( x , y ) 的两个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 仍然是x和y
的函数。因此可以考虑 次为
x x ( z ) z
2
f x ( x, y )
'
和
f y ( x, y )
'
的偏导数，即二阶偏导数，依
x
2
f xx ( x , y ),
丌存在。
f 所以， ( x , y ) 在 (0, 0 ) 丌连续。
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u (x 2 y)
y2x
lim ( x y ) 0 g (0, 0 )
x 0 y 0
故连续
'
g ( x , 0) x
在 x=0 导数存在, 故 g x (0, 0 ) 丌存在。
处对x的偏导数，
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
x 0
类似，函数 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处对y的偏导数定义为
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f y ( x 0 , y 0 ) lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) y
，
则称 A为函数 f ( x , y ) 当 ( x , y )
，
( x0 , y0 )
时的极限， 记为 ( x , y )limx , y (
0
f ( x, y ) A
0 )
注：①二元函数的极限只有当动点 ( x , y ) 趋于 ( x 0 , y 0 ) 时 都为A时才存在。
f ( x, y )
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多元函数微分法及其应用
（数学—公共课VIP精讲课程） 太原 分校 张国俭
(一)多元函数,极限,连续性 (1)多元函数的概念 1)定义: 设 D 是平面上的一个非空子集, 称映射 f : D R 为定义 在 D 上的二元函数,记 为 的定义域。集合
z f ( x , y ), ( x , y ) D
丌存在。
【例7.3】
f ( x, y )
,
( x , y ) (0 , 0 ) , ( x , y ) (0 , 0 )
求
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
f ( x, y )
0,
解析： 0
xy x y
2 2

2 xy x y
2 2

x y
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b)二元隐函数：F ( x , y , z ) 0 且 阶偏导数，且 F ( x
' Fy Fx z ', ' x Fz y Fz
F ( x, y, z )
在 (x
0
, y0 , z0 )
的某邻域有连续的一
0
, y0 , z0 ) 0
，若 F
lim
f ( x, y ) f ( x , y ) 0 0
则称 f ( x , y ) 在点
连续。
如果函数 f ( x , y ) 在 D 的每一点都连续， 则称函数 f ( x , y ) 在D上连续， 或者说
f ( x, y )
是D上的连续函数。
2）多元函数在有界闭区域上的性质
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x3 y 6 2 f ( x, y ) x y 0 ( x , y ) (0，) 0 , ( x , y ) (0，) 0
证明：
( x , y ) ( x0 , y 0 )
lim
f ( x, y )
丌存在。
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解析：lim0 x
y kx
'
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3)偏导数存在和连续的关系 偏导数存在推丌出连续,连续也推丌出偏导数存在. 注:
f x ( x0 , y0 )
'
存在虽然推丌出函数连续, 但可以推出 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 )
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 )
0
对x是连续的，即 xlim x 3)高阶偏导数
在点( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有定义，如果
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) x
( x0 , y0 )
x 0
存在，则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 记为 f x' ( x 0 , y 0 ) . 即
f x ( x 0 , y 0 ) lim
F ( x0 , y 0 , z 0 ) 0
所确定的隐函数的 偏导数
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z x

Fx Fz
' '
,
z y

Fy Fz
' '
【例7.4】 判断
xy 2 2 f ( x, y ) x y 0
( x , y ) (0, 0 ) ( x , y ) (0, 0 )